魏艷華，王丙參，邢永忠

（天水師范學(xué)院a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.電子信息與電氣工程學(xué)院，甘肅 天水 741001）

0 引言

在統(tǒng)計(jì)推斷中，由于目標(biāo)統(tǒng)計(jì)量的真實(shí)分布往往很難獲得，這就對(duì)目標(biāo)量的估計(jì)與檢驗(yàn)造成了很大困難。假設(shè)檢驗(yàn)的推斷基礎(chǔ)是樣本，是一種不完全歸納推斷，盡管在大多數(shù)情況下得到的結(jié)論是正確的，但也有可能犯錯(cuò)：一類(lèi)是棄真錯(cuò)誤（第I型錯(cuò)誤），一類(lèi)是存?zhèn)五e(cuò)誤（第II型錯(cuò)誤）。通常，很難獲得統(tǒng)計(jì)量在已知條件（比如原假設(shè)成立或備擇假設(shè)成立條件）下的精確分布或極限分布，因此，也無(wú)法確定接受原假設(shè)的臨界值與犯錯(cuò)的概率。這時(shí)，利用蒙特卡洛方法逼近統(tǒng)計(jì)量的分布不失為一種可行辦法，其主要思想是通過(guò)產(chǎn)生參考數(shù)據(jù)，構(gòu)造新分布去逼近基于觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量分布[1-4]。本文將對(duì)此方法進(jìn)行探討。

1 假設(shè)檢驗(yàn)錯(cuò)誤率的蒙特卡洛估計(jì)

設(shè) (Ω，?X)為可測(cè)空間，樣本X取值于 (Ω，?X)，其分布族為{Pθ，θ∈Θ}，又因總體與樣本同分布，故總體分布族也為{Pθ，θ∈Θ}。一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)是關(guān)于樣本X的函數(shù)，或者說(shuō)，關(guān)于參數(shù)θ的一個(gè)命題：H0:θ∈Θ0，其中Θ0已知，是Θ的一個(gè)真子集。設(shè)非空集Θ1?Θ-Θ0，則命題H1:θ∈Θ1稱為H0的備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)。注意，在一般情況下Θ1=Θ-Θ0，采用Θ1是Θ-Θ0的子集具有更大的靈活性。如果Θ1是Θ-Θ0的真子集，則H0成立未必H1不成立，這時(shí)，H1是本文最關(guān)心的非H0情況?；跇颖緓而做出是否拒絕原假設(shè)H0，稱為對(duì)H0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。這樣，一個(gè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)就是把樣本空間Ω分解為兩個(gè)不交子集 ΩA與 ΩB，當(dāng)x∈ΩA時(shí)接受H0，當(dāng)x∈ΩB時(shí)拒絕H0，故ΩA與ΩB分別稱為檢驗(yàn)的接受域與拒絕域。按照隨機(jī)化決策的思想，可引入更一般的檢驗(yàn)方法：在樣本空間Ω上定義一個(gè)取值為[0，1]的?x可測(cè)的函數(shù)φ(x)，對(duì)于樣本x計(jì)算φ(x)，然后以概率φ(x)否定原假設(shè)H0，以1-φ(x)的概率接受原假設(shè)，這樣的φ(x)稱為檢驗(yàn)函數(shù)，即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。如果?x)∈(0，1)，檢驗(yàn)稱為隨機(jī)化的。如果φ(x)取值只是0或1，則檢驗(yàn)退化為一般的檢驗(yàn)，即非隨機(jī)化檢驗(yàn)，這時(shí)，檢驗(yàn)的接受域?yàn)閧x:φ(x)=0}，拒絕域?yàn)閧x:φ(x)=1}。

對(duì)于正態(tài)總體，由于構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量往往已知，所以可通過(guò)解析方法獲得兩類(lèi)錯(cuò)誤的表達(dá)式，但是，如果假設(shè)檢驗(yàn)總體的正態(tài)性假設(shè)不滿足或者不能通過(guò)解析方法獲得兩類(lèi)錯(cuò)誤的表達(dá)式，此時(shí)，利用蒙特卡洛方法模擬兩類(lèi)錯(cuò)誤便是一個(gè)很好的選擇，這就是蒙特卡洛檢驗(yàn)（MCT）[4]。MCT的關(guān)鍵在于利用蒙特卡洛方法逼近統(tǒng)計(jì)量的分布，其基本思想是利用產(chǎn)生的參考數(shù)據(jù)構(gòu)造新的分布去逼近基于觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量分布，因此如何產(chǎn)生參考數(shù)據(jù)是至關(guān)重要的。當(dāng)然，如果在原假設(shè)成立或備擇假設(shè)成立條件下總體的分布已知，則產(chǎn)生觀測(cè)數(shù)據(jù)是比較容易的，只需要生成已知總體的樣本觀測(cè)值即可。在參數(shù)的情況下，如果沒(méi)有討厭參數(shù)，MCT可能達(dá)到精確的顯著性水平，即使與一致最優(yōu)檢驗(yàn)相比，它的功效也是非常高的；在討厭參數(shù)存在情況下，MCT仍然可能達(dá)到精確的顯著性水平。在參數(shù)族情況下，不論是否有討厭參數(shù)，不論統(tǒng)計(jì)量的漸近分布是否樞軸，利用MCT逼近的誤差比統(tǒng)計(jì)量的漸近引起的誤差小，且可區(qū)分n-0.5的速度逼近備擇假設(shè)。這些結(jié)論進(jìn)一步奠定了MCT法的理論依據(jù)。

利用蒙特卡洛方法模擬棄真錯(cuò)誤α的步驟：

（1）確定原假設(shè)H0成立條件下總體的分布函數(shù)。

（2）抽取樣本容量為n的樣本的樣本觀測(cè)值，即生成n個(gè)總體分布隨機(jī)數(shù)。用臨界值方法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，確定棄真錯(cuò)誤是否發(fā)生，即觀測(cè)是否拒絕原假設(shè)H0，并記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

（3）重復(fù)第（2）步N次。

同理，利用蒙特卡洛方法模擬存?zhèn)五e(cuò)誤β的步驟：

（1）確定原假設(shè)H0不成立條件下總體的分布函數(shù)。

（2）抽取樣本容量為n的樣本的樣本觀測(cè)值，即生成n個(gè)總體分布隨機(jī)數(shù)。用顯著性水平α與相應(yīng)臨界值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，確定存?zhèn)五e(cuò)誤是否發(fā)生，即觀測(cè)是否未拒絕原假設(shè)H0，并記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

（3）重復(fù)第（2）步N次。

注意，由于原假設(shè)H0不成立具有多種可能，因此在分析存?zhèn)五e(cuò)誤時(shí)應(yīng)指明選取的備擇假設(shè)。

設(shè)φ(x)是檢驗(yàn)H0的檢驗(yàn)函數(shù)，則函數(shù)：

gφ(θ)=Pθ(否定H0)

稱為檢驗(yàn)方法φ(x)的功效函數(shù)。通俗地說(shuō)，樣本觀測(cè)值落入拒絕域內(nèi)的概率稱為該檢驗(yàn)的功效函數(shù)，即：

gφ(θ)=Pθ(否定H0)=Pθ(X∈W)，θ∈Θ

其中X為樣本觀測(cè)值，W為拒絕域。顯然，當(dāng)θ∈Θ0時(shí)，gφ(θ)=α=α(θ)，當(dāng)θ∈Θ1時(shí)，gφ(θ)=1-β=1-β(θ)?？梢?jiàn)，求功效函數(shù)就是求檢驗(yàn)犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率。如果利用蒙特卡洛方法估計(jì)出兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率，也就估計(jì)出了功效函數(shù)。

例 1：假定X～P(λ) ，利用樣本觀測(cè)值檢驗(yàn)假設(shè)：H0:λ=5VSH1:λ＞5 。令，機(jī)械地利用中心極限定理會(huì)得出：當(dāng)Z≥1.645時(shí)拒絕原假設(shè)H0。顯然，對(duì)于確定的n（尤其當(dāng)n較小時(shí)），統(tǒng)計(jì)量的精確分布是未知的，但利用MCT方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。下面利用MCT方法模擬棄真錯(cuò)誤的概率α。每次模擬α?xí)r生成N=1000個(gè)參考值z(mì)，總共模擬1000個(gè)α值，直方圖見(jiàn)圖1。

圖1 利用MCT方法模擬棄真錯(cuò)誤的概率（左圖n=10，右圖n=100）

當(dāng)n=10，棄真錯(cuò)誤α的均值為0.0551，標(biāo)準(zhǔn)差為0.0071，利用分位數(shù)方法估計(jì)的95%的置信區(qū)間為（0.0420,0.0690）；當(dāng)n=100，棄真錯(cuò)誤α的均值為0.0523，標(biāo)準(zhǔn)差為0.0070，利用分位數(shù)方法[5]估計(jì)的95%的置信區(qū)間為（0.0390,0.0660）。如果統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，棄真錯(cuò)誤的概率應(yīng)為0.05。隨著n的增大，Z越來(lái)越近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，棄真錯(cuò)誤的概率也越來(lái)越可能接近0.05，方差也會(huì)相應(yīng)的減少，模擬結(jié)果也驗(yàn)證了此結(jié)論。注意，這些結(jié)論是在概率意義下成立的，在實(shí)際模擬中也會(huì)出現(xiàn)例外，尤其當(dāng)n相差不大時(shí)。

圖2 λ∈[5.1,6.5]時(shí)的功效函數(shù)

對(duì)于λ∈[5.1,6.5]，利用蒙特卡洛方法估計(jì)存?zhèn)五e(cuò)誤的概率，進(jìn)而得出相應(yīng)區(qū)間的功效函數(shù)曲線，如圖2所示，其中n=100，每次模擬存?zhèn)胃怕师聲r(shí)生成N=1000個(gè)參考值z(mì)。λ從5.1～6.2（間隔為0.1）的功效函數(shù)取值分別為：

（0.1070 0.2350 0.3820 0.5580 0.7210 0.8300 0.9260 0.9660 0.9870 0.9990 0.9990 1.0000）

可見(jiàn)，隨著λ的增大，功效函數(shù)遞增，從λ=6.2開(kāi)始，功效函數(shù)取值幾乎為1，即當(dāng)λ較大時(shí)利用中心極限定理進(jìn)行近似檢驗(yàn)的效率非常高，但是，λ較小時(shí)，效率則是非常低的，比如λ=5.1時(shí)，功效函數(shù)才為0.1070。

例2：（非平穩(wěn)序列虛假回歸的隨機(jī)模擬）為正確理解虛假回歸，本文考慮一元?jiǎng)討B(tài)線性回歸模型：yt=β0+β1xt+εt。為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娘@著性，需要檢驗(yàn)：H0:β1=0 VSH1:β1≠0 。如果序列相互獨(dú)立，理論上應(yīng)該接受原假設(shè)H0。如果檢驗(yàn)結(jié)果恰好與理論相反，就會(huì)犯拒真錯(cuò)誤。由于樣本的隨機(jī)性，拒真錯(cuò)誤會(huì)一直存在。通常采用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，如果都平穩(wěn)，則該統(tǒng)計(jì)量服從t(n)，其中n為樣本容量。如果不平穩(wěn)，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不再服從t(n)分布，且樣本方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于t(n)分布的方差。如果仍用t(n)分布臨界值進(jìn)行檢驗(yàn)，拒真概率就會(huì)大大增加。這就會(huì)導(dǎo)致無(wú)法控制拒真概率，容易接受回歸模型顯著的錯(cuò)誤結(jié)論，即產(chǎn)生虛假回歸現(xiàn)象。假如擬合兩個(gè)隨機(jī)游走模型序列：

圖3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的頻數(shù)直方圖（左）與頻率直方圖（右）

圖4 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的頻數(shù)直方圖（左）與頻率直方圖（右）

拒真錯(cuò)誤概率才0.0650，這說(shuō)明在此非平穩(wěn)序列場(chǎng)合，虛假回歸現(xiàn)象幾乎不存在，原因主要在隨機(jī)游動(dòng)系數(shù)的選擇上。如果保持其他參數(shù)不變，令a=0.5，b=0.5，拒真錯(cuò)誤概率為0.11700；令a=0.1，b=0.1，拒真錯(cuò)誤概率為0.0500?？梢?jiàn)，隨機(jī)游動(dòng)系數(shù)越小，拒真錯(cuò)誤概率越低，甚至?xí)咏Ｖ担怀霈F(xiàn)虛假回歸現(xiàn)象。

2 檢驗(yàn)p值的蒙特卡洛估計(jì)

由于假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論很簡(jiǎn)單，在給定顯著性水平α下，要么接受原假設(shè)，要么拒絕原假設(shè)。然而，會(huì)出現(xiàn)這樣情況：在一個(gè)較大的顯著性水平得到拒絕原假設(shè)的結(jié)論，但是一個(gè)較小的顯著性水平下得到拒絕原假設(shè)的結(jié)論，因?yàn)轱@著性水平變小，會(huì)使得檢驗(yàn)的拒絕域變小。為此，本文引入檢驗(yàn)p值，即利用樣本所能夠拒絕原假設(shè)的最小顯著性水平[6，7]。

考慮總體為F(.)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本假定原假設(shè)為H0:F(.)=G(.，θ)，其中θ是未知參數(shù)，G(.)為已知函數(shù)。對(duì)于這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的任何統(tǒng)計(jì)量蒙特卡洛檢驗(yàn)方法就是從中獨(dú)立產(chǎn)生參考數(shù)據(jù)并計(jì)算作為統(tǒng)計(jì)量的參考值，其中?是θ的估計(jì)值。不妨令=T0，T1，…，TN表示由蒙特卡洛方法得到的N個(gè)參考值，如果T值較大，拒絕原假設(shè)，則檢驗(yàn)p值的估計(jì)為，其中k為T(mén)0，T1，…，TN大于等于T0的個(gè)數(shù)。如果?小于等于給定的顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)；反之則否。同理，對(duì)于其他檢驗(yàn)情況（比如雙邊檢驗(yàn)）不難進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。值得注意的是，參數(shù)蒙特卡羅檢驗(yàn)的具體步驟非常類(lèi)似20世紀(jì)80年代發(fā)展的參數(shù)自助近似[8]。

對(duì)于非參數(shù)或半?yún)?shù)的情形，在原假設(shè)成立情況下很難模擬參考數(shù)據(jù)，進(jìn)而也無(wú)法計(jì)算統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的MCT的條件統(tǒng)計(jì)量。這是因?yàn)榧词乖谠僭O(shè)成立下，模型不能用含有幾個(gè)未知數(shù)的具體模型刻畫(huà)。自助法是解決此問(wèn)題方法之一，它是完全的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)模型結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的限制很少。但是，如果模型不是非參數(shù)的，而是半?yún)?shù)，自助法就效率不高，這時(shí)可改進(jìn)蒙特卡洛逼近，充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，這也是目前研究的熱點(diǎn)之一。如果隨機(jī)向量X獨(dú)立可分解，即X=Y·Z依分布獨(dú)立，Y，Z獨(dú)立且已知，Y·Z表示Y，Z點(diǎn)乘，這時(shí)可采用非參數(shù)蒙特卡洛檢驗(yàn)（NMCT）。記表示總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，如果xi在原假設(shè)下可獨(dú)立分解為xi=yi·zi，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量NMCT的具體做法為：給定z1，…，zn，從分布Y中獨(dú)立生成一組參考數(shù)據(jù)于是相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的值為假設(shè)T值較大，拒絕原假設(shè)；雙邊檢驗(yàn)不難做相應(yīng)調(diào)整。如果原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的T值為T(mén)0，通過(guò)蒙特卡洛方法生成N組參考數(shù)據(jù)，則檢驗(yàn)p值的估計(jì)為其中k為T(mén)0，T1，…，TN大于等于T0的個(gè)數(shù)。給定顯著性水平α，只要就拒絕原假設(shè)。因?yàn)橥植加?，而且在給定下，它們有相同的條件分布，因此檢驗(yàn)可能精確有效。原因如下：

如果Ti之間有結(jié)，且k≤[α(N+1)]，那么T0至少比Ti中第個(gè)大的元素大，因此也有

對(duì)zi求積分，可得這說(shuō)明在變量可獨(dú)立分解時(shí)，NMCT是可以精確有效的，而自助法就沒(méi)有這個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

例3：（分布族的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)）考慮檢驗(yàn)H0:F(.)=G(.，θ)，其中θ是r維未知參數(shù)，在H0下X的所有可能取值Ω可分為k個(gè)互不相交的子集其中k＞r+1，記fi為n個(gè)樣本觀測(cè)值落入集合Ai的次數(shù)，則樣本觀測(cè)值落入集合Ai頻率為另一方面，利用假設(shè)分布函數(shù)G(.，θ)可計(jì)算：

某地區(qū)在夏季一個(gè)月中由100個(gè)氣象站報(bào)告的暴雨次數(shù)如表1所示，要求檢驗(yàn)假設(shè)H0:F(x)=P(θ)。

表1 某地區(qū)100次觀測(cè)的暴雨次數(shù)

下面利用MCT方法，每次生成100個(gè)參考數(shù)據(jù)，共模擬10000次，結(jié)果如圖5所示，p值為0.8336。如果每次生成10000個(gè)參考數(shù)據(jù)，共模擬1000次，結(jié)果如圖6所示。注意，此時(shí)分組應(yīng)變?yōu)锳i=P(X=i-1)，i=1，…，8，并把 ≥8作為一類(lèi)，記為A9。由于最初樣本值只有100個(gè)，所以此時(shí)不能得到原檢驗(yàn)的p值，只能模擬檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。

圖5 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的頻率分布圖（n=100）與χ2(3)密度曲線

顯然，當(dāng)n=100時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與漸近分布χ2(3)相比，右偏，厚尾，這會(huì)導(dǎo)致低估p值，故利用MCT可提高檢驗(yàn)效率。由于p值0.8336顯著大于0.05，故可認(rèn)為接受原假設(shè)，即某地區(qū)暴雨次數(shù)分布服從泊松分布。

圖6 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的頻率分布圖（n=10000）與χ2(7)密度曲線

顯然，當(dāng)n=10000時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與漸近分布χ2(7)吻合的非常好，這也驗(yàn)證了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布為χ2(k-r-1)。故在進(jìn)行分布族的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)時(shí)，樣本觀測(cè)值要盡量多（建議大于2000），否則，建議使用MCT方法。

3 結(jié)論

本文利用蒙特卡洛方法產(chǎn)生參考數(shù)據(jù)去逼近統(tǒng)計(jì)量的分布，模擬假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤發(fā)生概率與p值。在非平穩(wěn)序列場(chǎng)合構(gòu)造一元?jiǎng)討B(tài)回歸模型，探討虛假回歸現(xiàn)象出現(xiàn)的原因與影響因素。對(duì)于分布族的卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，得出：當(dāng)樣本量較少時(shí)，使用漸進(jìn)分布誤差較大，建議使用蒙特卡洛檢驗(yàn)方法。