對活動的關(guān)注，最初源自在觀摩眾多公開課教學(xué)時，感同身受學(xué)生的40分鐘是怎樣度過的，發(fā)現(xiàn)學(xué)生活動的環(huán)節(jié)是被忽視的。確定“數(shù)學(xué)活動”為研究主題，期望通過我們的研究，讓每個孩子在課堂中都有空間和時間，做點事、說點話，表達(dá)自己的一點想法，從而讓每節(jié)課因生命的拔節(jié)成長而富有意義。

一、為什么是數(shù)學(xué)活動

1.落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的需要?！昂诵乃仞B(yǎng)”一詞源自20世紀(jì)末 21世紀(jì)初，是全球許多國際組織、國家和地區(qū)面對日新月異的社會與經(jīng)濟(jì)變革，對如何培養(yǎng)未來的公民的追問。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是什么？史寧中教授指出，中國學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必須涵蓋三種成分：一是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動而習(xí)得的數(shù)學(xué)思維方式；二是學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力；三是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動而形成的良好的數(shù)學(xué)品格及健全人格養(yǎng)成。學(xué)生應(yīng)學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)是什么？在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中可以看到具體的闡釋：在“知識與技能”方面，能參與綜合實踐活動，積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、技能和方法等解決簡單問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；在“數(shù)學(xué)思考”方面，能在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法；在“情感態(tài)度”方面，能積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲。

從以上的觀點和要求中我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)活動在落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的重要位置，素養(yǎng)的形成、能力的培養(yǎng)、目標(biāo)的達(dá)成等，均需在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行。數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)技能可以通過教學(xué)傳授，而數(shù)學(xué)素養(yǎng)只能在學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動中產(chǎn)生，并在真實的情境中表現(xiàn)出來，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生存依賴于學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中對數(shù)學(xué)的體驗、感悟和反思。

2.尊重兒童認(rèn)知特征的需要。數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出，數(shù)學(xué)活動可以分為三個階段：一是借助于觀察、試驗、歸納、類比、概括積累事實材料；二是從積累的材料中抽象出原始概念和公理體系并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上建立理論；三是應(yīng)用理論。活動的階段性反映了兒童思維發(fā)展的路徑與層次性，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維活動中則是經(jīng)驗材料的組織化、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化、數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的現(xiàn)實還原的過程。兒童只有經(jīng)歷這樣的過程，才能逐漸觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)與核心，獲得智慧啟蒙。皮亞杰認(rèn)為，兒童從出生到成人的認(rèn)知發(fā)展不是一個數(shù)量不斷增加的簡單的累積過程，而是伴隨同化性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷再構(gòu)，使認(rèn)知發(fā)展形成幾個按不變順序相繼出現(xiàn)的時期或階段。兒童的生理活動是心理活動的基礎(chǔ)，心理活動是行為活動的前提條件，行為活動支撐著心理活動。主體活動是兒童心理發(fā)展的基本途徑，數(shù)學(xué)活動的存在，既尊重了兒童的認(rèn)知特征，滿足其好奇心，釋放了天性，又促使兒童探索未知，實現(xiàn)能力的提升與認(rèn)知的發(fā)展。

3.展現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的需要。數(shù)學(xué)是人類的一種活動，是一種充滿情感、富于思考的經(jīng)歷體驗和探索的活動，這種活動具有多種成分并經(jīng)歷了逐級抽象的動態(tài)過程。數(shù)學(xué)本質(zhì)的展現(xiàn)，需要我們聯(lián)系人類文明、社會歷史、數(shù)學(xué)發(fā)展，才能讓數(shù)學(xué)的每一個內(nèi)容既平易近人，又能保留數(shù)學(xué)的特點。小學(xué)數(shù)學(xué)課程的價值與意義又在何處？日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“只是把數(shù)學(xué)上的定理當(dāng)作單純的知識來講授，則大多數(shù)學(xué)生在以后的生涯中沒有機(jī)會使用它，并在學(xué)后不到一年就忘掉了。能讓學(xué)生學(xué)會發(fā)明、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的種種方法、種種方針的著眼點和種種的法則，能培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的應(yīng)用能力、邏輯推理能力、想辦法的能力……使他們終生受益，使他們一遇到問題，能隨機(jī)應(yīng)變?！焙唵蔚卣f，就是在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中能夠影響學(xué)生將來生活的，不是數(shù)學(xué)內(nèi)容的本身，而是蘊(yùn)含在內(nèi)容中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想，即通過數(shù)學(xué)精神、思想的滲透增長兒童的智慧。作為過程性知識的最高形態(tài)，數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想包含兩種特征成分：一是技術(shù)性成分，主要指抽象、推理、概括、化歸、推廣及應(yīng)用的各種意識；二是哲學(xué)性成分，主要指經(jīng)過提煉、升華形成的信念，它能給所有反思提供方向和力量。這兩種成分決定數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法是潛隱在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中、數(shù)學(xué)知識的理解中，決不可以通過講授、告知完成，需要在兒童的自我活動過程中積淀、內(nèi)化、漸進(jìn)地獲得的。

二、數(shù)學(xué)活動的內(nèi)涵是什么

關(guān)于數(shù)學(xué)活動的內(nèi)涵，不同的專家給出的解釋并不相同：斯托利亞爾著重強(qiáng)調(diào)學(xué)生的思維活動；弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程的活動，是學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動。也有學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動本質(zhì)上是一個運(yùn)用數(shù)學(xué)工具、是以完成某種數(shù)學(xué)任務(wù)為目標(biāo)的行為活動、是情感活動和思維活動的活動集合體。在近兩年的研究中，我們還不能用短短的一句話概括我們所期望的數(shù)學(xué)活動的特點，但我們認(rèn)為，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)活動應(yīng)具有包容性、探究性、驚異感和數(shù)學(xué)味。

1.包容性。數(shù)學(xué)活動的主體是學(xué)生，載體是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)活動的包容性體現(xiàn)在兩方面：一是需悅納學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格。教師要關(guān)注每個學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格與學(xué)習(xí)起點，讓他們在活動中能找到適合自己的方式，活動方式要多樣，活動起點應(yīng)適當(dāng)，要讓每個學(xué)生都能參與到活動中來；二是需呈現(xiàn)知識的豐富內(nèi)涵。一個知識的教學(xué)可以從知識與技能、思想方法、價值觀三個層面去分析。數(shù)學(xué)活動需以知識為載體發(fā)揮育人價值，在獲得豐富的過程性知識后，積淀凝結(jié)內(nèi)化結(jié)構(gòu)，經(jīng)過提煉、升華形成信念。

2.探究性。數(shù)學(xué)活動的探究性是根據(jù)數(shù)學(xué)逐級抽象的特點以及兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理特征提出的，其體現(xiàn)在：一是活動結(jié)果與過程的開放與多元。活動過程與結(jié)果的開放與多元可以激發(fā)學(xué)生的主動性、創(chuàng)造性，喚醒他們的探索精神。開放，是指每個人都有自己的發(fā)現(xiàn)，結(jié)果不封閉，答案不唯一，打開學(xué)生思維的天窗；多元，可以體現(xiàn)在用多種方式表征思考過程，如學(xué)習(xí)一個概念后，學(xué)生可以用自己的方式表示對概念的理解。二是活動中的任務(wù)具有挑戰(zhàn)性。具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)活動應(yīng)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生會覺得有一點不容易，但還會有一點突破、一點發(fā)現(xiàn)，需要借助已有經(jīng)驗或舊知才能解決。

3.驚異感。驚異，是內(nèi)在于知識內(nèi)核的一種精神力量。所有的科學(xué)研究和探究活動都開始于我不知道為什么……的困惑和驚奇。數(shù)學(xué)活動同樣需要驚異感，以此激發(fā)學(xué)生的興趣，吸引學(xué)生的參與。驚異感可以來自兩處：一是數(shù)學(xué)本身帶來的驚異。如數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系、數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的和諧與奇異美；二是活動過程中的驚異。運(yùn)用一題多解，多題一解，讓學(xué)生通過思維活動帶來驚異。

4.數(shù)學(xué)味。教師對數(shù)學(xué)教育目標(biāo)理解的不同，數(shù)學(xué)活動就會顯現(xiàn)為不同的狀態(tài)：強(qiáng)制性的活動，關(guān)注知識的傳授與技能的形成；道德約束下的活動，重在思維的訓(xùn)練與能力的提升。數(shù)學(xué)活動應(yīng)凸顯數(shù)學(xué)的美，用數(shù)學(xué)的魅力維持活動的秩序，滿足兒童的好奇心與求知欲。通過數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化、縱向數(shù)學(xué)化的過程，經(jīng)歷抽象、推理、建模的過程，數(shù)學(xué)化過程的方向、突破點可能不同，但必然會有數(shù)學(xué)的思維與方法相伴。最有力量的教學(xué)是傳遞思想，在數(shù)學(xué)活動整體設(shè)計中顯化思想，在活動經(jīng)歷中點化思想，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)活動怎么設(shè)計

活動理論中分析的基本單位是活動系統(tǒng)，活動系統(tǒng)由三個核心要素（主體、客體、工具）和三個次要要素（規(guī)則、分工、共同體）組成，數(shù)學(xué)活動設(shè)計的要素構(gòu)成如圖1所示。為落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，我們可從以下幾方面尋找設(shè)計數(shù)學(xué)活動的路徑。

圖1

1.開展學(xué)情調(diào)研，分析教學(xué)內(nèi)容，確定活動目標(biāo)。從結(jié)構(gòu)圖（圖1）中可以看出，學(xué)生是唯一不可以設(shè)計的活動要素，但好的活動一定是基于學(xué)生的認(rèn)知起點和心理需求的。由此，活動設(shè)計最重要的一個環(huán)節(jié)就是前期分析。首先是分析學(xué)生，通過問卷、訪談、調(diào)查或?qū)W生的作業(yè)反饋，在學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙中找到認(rèn)知沖突，找到學(xué)生在新知面前最需解決的問題；其次是分析內(nèi)容，從具體的知識結(jié)構(gòu)到方法結(jié)構(gòu)，分析教材的內(nèi)在邏輯、分析教材的基礎(chǔ)知識與基本能力目標(biāo)，將內(nèi)容既當(dāng)目的，又當(dāng)育人載體；最后結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實與教學(xué)內(nèi)容的特點確定教學(xué)目標(biāo)，目標(biāo)設(shè)定需多維，既有知識技能的目標(biāo)，也需有思想方法層面的目標(biāo)。

2.開發(fā)活動資源，創(chuàng)造探索空間，豐富活動材料。赫爾巴特指出，有時教師只需在某些事情上給學(xué)生以初步的推動，并繼續(xù)注意引起他們的動機(jī)，給予他們材料，他們就會自己進(jìn)行學(xué)習(xí)，并且也許會很快擺脫教師的照料。數(shù)學(xué)活動材料是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、參與到學(xué)習(xí)中的重要載體，豐富的材料既要包括蘊(yùn)涵概念本質(zhì)屬性的材料，又要包括反映概念非本質(zhì)屬性的材料。開發(fā)活動材料時需注意：一是圍繞目標(biāo)提供材料，最大限度地為思維的提升、經(jīng)驗的積累服務(wù)；二是豐富材料的結(jié)構(gòu)，避免材料呈現(xiàn)單一帶來的歧義；三是設(shè)計材料呈現(xiàn)的時機(jī)，材料的呈現(xiàn)可以在學(xué)生有了問題意識之后進(jìn)行驗證活動，也可以先操作再思考，但每一件材料的呈現(xiàn)均需承載著數(shù)學(xué)教育的目的；四是開發(fā)學(xué)生熟悉的物品，如“鐘面”，可以從一年級的認(rèn)數(shù)用到六年級的分?jǐn)?shù)問題，可以從數(shù)的認(rèn)識用到圖形的運(yùn)動，充分利用直觀物品，培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的意識；五是充分利用信息技術(shù)，將數(shù)學(xué)觀念、內(nèi)容與方法滲透到數(shù)學(xué)活動中，數(shù)學(xué)活動的范圍會更寬廣和豐富，教師應(yīng)有讓信息技術(shù)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、核心素養(yǎng)的發(fā)展服務(wù)的意識。

3.圍繞核心內(nèi)容，聚焦教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計活動問題。在確定了活動目標(biāo)，找到了合適的活動資源和素材后，我們下一步需要確定的就是數(shù)學(xué)活動中的問題，以目標(biāo)為內(nèi)核，將活動目標(biāo)轉(zhuǎn)化為問題。數(shù)學(xué)活動中的問題應(yīng)是好玩的、有趣的、引人深思的。問題的轉(zhuǎn)化和設(shè)計可以在學(xué)生學(xué)習(xí)的難點處、知識的關(guān)聯(lián)處、方法的遷移處，問題的解決需引起學(xué)生多元認(rèn)知或認(rèn)知沖突、溝通經(jīng)驗間的聯(lián)系，需要學(xué)生有從已有知識、路徑中調(diào)用恰當(dāng)?shù)呐f知，并進(jìn)行重組產(chǎn)生問題以及質(zhì)疑的意識。將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為問題時需注意整合，內(nèi)部活動和外部活動不分離，數(shù)學(xué)活動之間形成內(nèi)在或外在邏輯的序，以符合兒童學(xué)習(xí)生活特點的情境，用兩三個活動貫穿整節(jié)課的教學(xué)過程，讓數(shù)學(xué)活動更具整體性。

關(guān)于數(shù)學(xué)活動的設(shè)計，因其活動的社會性、結(jié)構(gòu)性，還會涉及學(xué)習(xí)共同體的建設(shè)、活動記錄單的設(shè)計等多種因素，這需要我們逐一開展研究，并根據(jù)時代發(fā)展的要求，尋求適宜學(xué)生成長、發(fā)展的方式，從而真正發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。