姜艷紅 余小芬 董萬平

摘?要：本文研究了中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的八種類型：社會熱點(diǎn)型、趣味邏輯型、實踐操作型、數(shù)據(jù)分析型、歸納推理型、閱讀理解型、空間想象型、方案設(shè)計型，列舉并評析了這些類型對應(yīng)的中考數(shù)學(xué)試題

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);中考試題;創(chuàng)新

習(xí)近平總書記在全國兩會參加廣東代表團(tuán)審議時的重要講話中提出“三個第一”的重要論斷，即“發(fā)展是第一要務(wù)，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動力”.的確，創(chuàng)新是推動民族進(jìn)步和社會發(fā)展的不竭動力，它已經(jīng)普及每一個領(lǐng)域，它也是教育領(lǐng)域最重要的詞匯?.數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，它是“思維的體操”，它具有的高度抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性、廣泛應(yīng)用性決定了數(shù)學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的重要途徑?.所謂創(chuàng)新意識，表現(xiàn)為認(rèn)識創(chuàng)新的重要性，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中有好奇心，對新事物感興趣，不斷地發(fā)現(xiàn)和提出問題，有創(chuàng)新的欲望，嘗試去做一些對自己是新的、沒有想過、沒有做過的事情，用學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決問題?.而創(chuàng)新能力是指完成創(chuàng)新工作的能力[1].

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）把“創(chuàng)新意識”確定為數(shù)學(xué)教學(xué)的十大核心概念之一，強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”“要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”.[2]中考作為人才選拔的重要方式，中考命題也應(yīng)體現(xiàn)這一導(dǎo)向，重視對學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的考查?.本文以近年中考數(shù)學(xué)試題為例，評析中考創(chuàng)新型試題的七大類型：社會熱點(diǎn)型、趣味邏輯型、實踐操作型、數(shù)據(jù)分析型、歸納推理型、閱讀理解型、空間想象型、方案設(shè)計型?.

一、社會熱點(diǎn)型

《標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)背景的現(xiàn)實性和“數(shù)學(xué)化”，以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活和社會實踐為問題的背景，注重讓學(xué)生在實際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型、估算、求解、驗證解的正確性與合理性過程，最終解決實際問題[2].社會熱點(diǎn)型試題取材生產(chǎn)生活實際，不僅展示時代特征，還聚焦社會熱點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會和國家熱點(diǎn)問題?.

例1?（2017年湖南衡陽市中考24題）為響應(yīng)綠色出行號召，越來越多市民選擇租用共享單車出行，已知某共享單車公司為市民提供了手機(jī)支付和會員支付兩種支付方式，圖1描述了兩種方式用支付金額y（元）與騎行時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象回答下列問題?.

（1）求手機(jī)支付金額y（元）與騎行時間x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）李老師經(jīng)常騎行共享單車，請根據(jù)不同的騎行時間幫他確定選擇哪種支付方式比較合算.

評析?本例以當(dāng)前社會熱點(diǎn)“共享單車”為命題背景，不僅考查了學(xué)生對一次函數(shù)及其圖象的理解，也發(fā)揮了“立德樹人”的功能，宣傳了綠色出行的交通方式，培養(yǎng)了學(xué)生的環(huán)保意識?.

二、趣味邏輯型

我國古代教育家孔子曾說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”?.興趣是最好的老師，要使學(xué)生對枯燥的數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生濃厚興趣，便是將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行趣味化?.而邏輯推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式[1].新穎有趣的數(shù)學(xué)邏輯問題能極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)、探究興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性?.

例2?（2017年湖北恩施中考16題）如圖2，在6×6的網(wǎng)格內(nèi)填入1至6的數(shù)字后，使每行、每列、每個小粗線宮中的數(shù)字不重復(fù)，則a×c=.

評析?數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種運(yùn)用紙、筆演算的數(shù)學(xué)邏輯游戲?.本例以數(shù)獨(dú)游戲為命題背景，考查學(xué)生的邏輯推理能力，滲透了分類討論、正難則反的數(shù)學(xué)思想?.

三、實踐操作型

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”[2].通過實踐操作，例如折紙、拼剪、繪制、測量等，讓學(xué)生積極主動地參與學(xué)習(xí)過程，更能發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，更有助于知識的內(nèi)化和經(jīng)驗的積累?.

例3?（2017年內(nèi)蒙古通遼中考25題）鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下的一個四邊形，稱為第一次操作;在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作;…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形.如圖3，平行四邊形ABCD中，若AB=1，BC=2，則平行四邊形ABCD為1階準(zhǔn)菱形.

（1）猜想與計算

鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是階準(zhǔn)菱形;已知平行四邊形ABCD的鄰邊長分別為a，b（a>b），滿足a=8b+r，b=5r，請寫出平行四邊形ABCD是階準(zhǔn)菱形.

（2）操作與推理

小明為了剪去一個菱形，進(jìn)行了如下操作：如圖4，把平行四邊形ABCD沿BE折疊（點(diǎn)E在AD上），使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，得到四邊形ABFE.請證明四邊形ABFE是菱形.

評析?本例以新定義“n階準(zhǔn)菱形”為載體，考查學(xué)生的實踐操作能力?.（1）問中，結(jié)合“n階準(zhǔn)菱形”的定義，通過剪（或畫），不難分析出n的值?.（2）問中，通過折疊圖形，利用對稱性和平行線性質(zhì)即可證四邊形ABFE是菱形.（1）、（2）問緊密銜接，從認(rèn)識理解“n階準(zhǔn)菱形”，到由定義計算n的值;再通過折疊為求解n值提供實踐操作的方式;最后推理驗證操作的科學(xué)合理性?.該試題對獲得數(shù)學(xué)體驗和心理認(rèn)知，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗具有積極導(dǎo)向功能?.

四、數(shù)據(jù)分析型

以數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思考方式已成為現(xiàn)代社會普遍應(yīng)用的思維模式[3]，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)據(jù)說話”的理性思維是培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代生活的合格公民的必由之路?.王尚志、史寧中等專家也特別強(qiáng)調(diào)“數(shù)據(jù)分析”應(yīng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)具備的核心素養(yǎng)之一?.近年中考?？疾閷W(xué)生畫（或完善）頻率頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖，能從樣本數(shù)據(jù)中提取或計算如中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)等數(shù)據(jù)，并能對總體進(jìn)行合理的解釋或評價.

例4?（2017年北京中考25題）某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部門員工的生產(chǎn)技能情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補(bǔ)充完整.

（1）收集數(shù)據(jù)

從甲、乙兩個部門各隨機(jī)抽取20名員工，進(jìn)行了生產(chǎn)技能測試，測試成績（百分制）如下：

甲??78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙??93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

（2）整理、描述數(shù)據(jù)

按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：

（說明：成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70—79分為生產(chǎn)技能良好，60—69分為生產(chǎn)技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格?.）

（3）分析數(shù)據(jù)

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：

得出結(jié)論：a?.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為;

b?.可以推斷出部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為.（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

評析?本例考查對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，考查對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算，考查學(xué)生利用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體特征的應(yīng)用意識.

五、歸納推理型

歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結(jié)論的推理?.波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面……用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)演繹的科學(xué);但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實驗性的歸納科學(xué)”.法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說過：“發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比?.”人們在科學(xué)研究中，往往是首先通過對事物的觀察、分析，運(yùn)用類比、歸納，提出合理猜測，這種猜測既可能是具體的結(jié)論，又可能是具體的解決問題的方法?.中考作為人才選拔性考試，不僅注重對知識本身的考查，還側(cè)重于對學(xué)生能力測試.其中，對學(xué)生歸納能力的考查越來越受命題者的青睞?.

例5?（2017年河北中考22題）發(fā)現(xiàn)任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù)?.

驗證?（1）（-1）2+02+12+22+32的結(jié)果是5的幾倍？

（2）設(shè)五個連續(xù)整數(shù)的中間一個為n，寫出它們的平方和，并說明是5的倍數(shù)?.

延伸?任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是幾呢？請寫出理由?.

評析?《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想”“在觀察、試驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力”[2].解決例5，從“發(fā)現(xiàn)”到“驗證”，學(xué)生經(jīng)歷從“猜想”到“證明”的問題探索，經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程，讓學(xué)生感悟從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，體會用字母表示數(shù)的代數(shù)優(yōu)越?.“延伸”又體現(xiàn)了類比推理，通過“任意五個連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù)”到思考“任意三個連續(xù)整數(shù)的平方和被3除的余數(shù)是幾？”體現(xiàn)了知識的遷移和發(fā)散，有助于培養(yǎng)學(xué)生的類比思維和創(chuàng)新意識?.

六、閱讀理解型

數(shù)學(xué)閱讀是指學(xué)生根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，通過閱讀數(shù)學(xué)材料（數(shù)學(xué)公式、方法、圖形、符號、文字等）汲取信息，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義和方法的心理和智力過程[4].數(shù)學(xué)閱讀過程是一個完整的心理活動過程，包含語言符號的感知和認(rèn)讀，新概念的同化和順應(yīng)，閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素?.?同時它也是一個不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動的認(rèn)知過程[4].近年中考中，閱讀理解型試題成為了一道亮麗的風(fēng)景線，考查學(xué)生對文字、數(shù)學(xué)符號等信息的分析、處理能力，以及對知識的靈活運(yùn)用能力?.

評析?本例（Ⅰ）問利用折疊對稱性不難證明ΔPBC是等邊三角形;（Ⅱ）問探究出矩形ABCD中較大等邊ΔPBC對學(xué)生的空間觀念要求較高，需要學(xué)生能夠想象三角形不斷擴(kuò)充的過程，從而大膽猜想出最大等邊三角形的位置;（Ⅲ）問中，在矩形中畫出最大的等邊三角形也需依靠學(xué)生的空間想象能力，進(jìn)而才能為驗證“誰”的面積最大提供圖形依據(jù)，最終保證作圖有理有據(jù);（Ⅳ）問用一張正方形鐵片剪一個已知直角邊長的直角三角形鐵片，求所需正方形鐵片的最小邊長也要充分發(fā)揮學(xué)生的空間想象能力，只有明確直角三角形在正方形內(nèi)的位置，才能依據(jù)相似、勾股定理等知識展開計算?.

八、方案設(shè)計型

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要培養(yǎng)學(xué)生能夠形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題的多樣性[2].”方案設(shè)計型題要求學(xué)生在具體的問題情景中給出滿足條件的方案，強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用能力、關(guān)注學(xué)生的個性培養(yǎng)、體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新思維?.

例8?（2017年黑龍江龍東中考27題）為了推動“龍江經(jīng)濟(jì)帶”建設(shè)，我省某蔬菜企業(yè)決定通過加大種植面積、增加種植種類，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展.2017年春，預(yù)計種植西紅柿、馬鈴薯、青椒共100公頃（三種蔬菜的種植面積均為整數(shù)），青椒的種植面積是西紅柿種植面積的2倍，經(jīng)預(yù)算，種植西紅柿的利潤可達(dá)1萬元/公頃，青椒1?.5萬元/公頃，馬鈴薯2萬元/公頃，設(shè)種植西紅柿x公頃，總利潤為y萬元.

（Ⅰ）求總利潤y（萬元）與種植西紅柿的面積x（公頃）之間的關(guān)系式;

（Ⅱ）若預(yù)計總利潤不低于180萬元，西紅柿的種植面積不低于8公頃，有多少種種植方案？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，該企業(yè)決定投資不超過獲得最大利潤的18在冬季同時建造A、B兩種類型的溫室大棚，開辟新的經(jīng)濟(jì)增長點(diǎn).經(jīng)測算，投資A種類型的大棚5萬元/個，B種類型的大棚8萬元/個，請直接寫出有哪幾種建造方案？

評析?本例以一次函數(shù)和一元一次不等式（組）為知識背景，通過“問題情境—建立模型—求解驗證”，讓學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)知識“到哪里去”，體會到數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活中無處不在，進(jìn)而真正理解數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)，活用數(shù)學(xué)?.

創(chuàng)新型試題作為中考數(shù)學(xué)的一種重要題型，是數(shù)學(xué)知識、思想、能力交融的良好載體，是立德樹人、發(fā)展素養(yǎng)的典型素材.因此，創(chuàng)新型試題在未來的命題中必將成為永恒的焦點(diǎn)?.

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會?.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012?.

[2]中華人民共和國教育部?.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2012?.

[3]胡成龍.2010年高考理科試題對高中統(tǒng)計與概率教學(xué)的啟示[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報，2010（5）：111-115?.

[4]劉成龍，黃祥勇?.2014年中考成都卷第23題分析及啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2015（2）：40-43?.