柯余仙，畢思文

(中國科學(xué)院遙感與數(shù)字地球研究所，北京 100101)

0 引言

一副圖像的邊緣包含了圖像的大部分信息，在實際應(yīng)用中尤其是遙感圖像，其邊緣的提取，對后續(xù)的圖像分割、特征提取和目標地物識別等起到了至關(guān)重要的作用。經(jīng)典的邊緣提取算法有Prewitt算子、Sobel算子和Canny算子等，Prewitt算子和Sobel算子是基于領(lǐng)域間隔為2的差分運算[1]，忽略了中心像素自身的灰度值，邊緣檢測效果不太理想。Canny算子[2]仍然是現(xiàn)在應(yīng)用最廣泛的邊緣檢測算子，雖然其檢測精度和抗噪性能要遠遠優(yōu)于Prewitt算子和Sobel算子，但需要人工干預(yù)，選取最佳閾值，實時性較差。近些年來，基于這些經(jīng)典的邊緣檢測方法，也有許多學(xué)者提出了新的算法，如數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測算法[3]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)邊緣檢測算法[4]、人工魚群算法[5]和遺傳算法[6]等。

量子衍生思想是受人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等自然規(guī)律衍生出來的算法的啟發(fā)，然后利用量子力學(xué)的概念、原理以及公理化數(shù)學(xué)體系改進已有的算法或者開發(fā)新算法，應(yīng)用在經(jīng)典計算機上[7]。2007年，謝可夫等人[8]基于量子力學(xué)、量子信息等理論與概念，提出了量子衍生形態(tài)學(xué)邊緣檢測，該方法具有檢測噪聲污染圖像的優(yōu)點，但不如普通圖像邊緣檢測優(yōu)越。2016年，S.Abdel-Khalek[9]等人提出基于量子熵的圖像邊緣檢測算法，通過計算圖像的量子熵，來確定圖像分割閾值，提取圖像邊緣。

2001年初，遙感地球所畢思文院士首次提出了量子遙感[10]的概念，經(jīng)過17年多的研究，創(chuàng)建了量子遙感理論與技術(shù)體系框架[11]。在此基礎(chǔ)上，畢思文院士帶領(lǐng)其團隊在2014年提出了量子遙感圖像處理的概念，實現(xiàn)了量子遙感圖像去噪、量子遙感圖像增強和量子遙感圖像分割等量子遙感圖像處理技術(shù)[12]。本文借鑒量子疊加態(tài)的三量子位態(tài)矢正反跳變特性，并結(jié)合邊緣的多方向性，構(gòu)造出3×3的12方向模板邊緣檢測算子對遙感圖像進行邊緣提取，進一步完善了量子遙感圖像處理體系。

1 量子理論

1.1 量子比特

比特是經(jīng)典計算機的基本儲存單位，其狀態(tài)處于0或1。經(jīng)典計算機的一比特等價于量子物體的2種不同的組態(tài)或狀態(tài)，稱為量子比特[13]。與經(jīng)典比特不同的是，由于量子疊加態(tài)的原理，一個量子系統(tǒng)可以同時處于|0>和|1>之間，即

|φ>=a|0>+b|1>，

(1)

式中，a和b是復(fù)系數(shù)，分別表示出現(xiàn)0態(tài)矢和1態(tài)矢的概率，若|0>和|1>是相互正交的，則a和b滿足歸一化條件，即

a2+b2=1。

(2)

一個系統(tǒng)|φ>由n個子系統(tǒng)構(gòu)成，子系統(tǒng)的狀態(tài)為{φ1，φ2，φ3，......，φn}，根據(jù)量子力學(xué)的第四假設(shè)[14]，該復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)為：

|φ>= |φ1>?|φ2>?|φ3>?......?|φn>=

(3)

1.2 量子Hadamard變換

根據(jù)量子力學(xué)的第三和第四假設(shè)[14]，利用單比特量子門Hadamard(簡記為H)作用于式(1)，得

H|φ>=H(a|0>+b|1>)=

(4)

式中，

(5)

2 灰度圖像的量子比特表示與像素的疊加態(tài)關(guān)聯(lián)

2.1 經(jīng)典圖像的量子比特表示

設(shè)f(m，n)為一副數(shù)字圖像，(m，n)∈z2。f(m，n)是歸一化處理后的圖像，其像素值大小范圍為[0，1]，f(m，n)表示圖像在(m，n)處的灰度值。根據(jù)式(1)以及文獻[15-16]，可以將灰度圖像表示為量子比特的形式：

(6)

這里，|0>和|1>分別對應(yīng)著經(jīng)典圖像的黑點與白點，即二值化圖像的像素值取“0”或“1”。1-f(m，n)表示在位置(m，n)處圖像的像素值取0的概率，f(m，n)表示在位置(m，n)處圖像的像素值取1的概率，顯然它們滿足歸一化條件。

2.2 圖像像素的疊加態(tài)關(guān)聯(lián)分解

在3×3窗口中，設(shè)中間像素(m，n)的值為fm，n，鄰近像素值為fi，j，m-1≤i≤m+1，n-1≤j≤n+1，如圖1所示。

fm-1,n-1fm-1,nfm-1,n+1fm,n-1fm,nfm,n+1fm+1,n-1fm+1,n-1fm+1,n+1

圖13×3像素關(guān)聯(lián)

以水平方向為例，按照式(3)，可得如下三量子位的復(fù)合系統(tǒng)：

|fm，n-1fm，nfm，n+1>= |fm，n-1>?|fm，n>?|fm，n+1>=

(7)

圖2 lena分解子圖

3 量子衍生邊緣檢測算法

常見的經(jīng)典邊緣檢測算子有一階微分算子Prewitt，Sobel，Robert；二階微分算子LOG，Canny。Canny算子的構(gòu)成基本分為4步[17]：先用高斯濾波器平滑圖像；再用一階偏導(dǎo)的有限差分來計算梯度的幅值和方向；接著用非極大值抑制的方法增強梯度圖像；最后設(shè)置高低閾值來檢測和連接邊緣。在量子理論的基礎(chǔ)上，受Canny算子的啟發(fā)，本文研究了基于量子衍生的邊緣檢測算子，具體步驟如圖3所示。

圖3 量子衍生邊緣檢測流程

3.1 量子衍生中值濾波

利用式(4)和式(5)對式(6)進行量子Hadamard門操作，得

(8)

根據(jù)量子系統(tǒng)的測量和坍縮原理[18]，若對圖像中某點經(jīng)過Hadamard變換后的新態(tài)矢H|fm，n>進行測量，則得到|0>的概率為：

(9)

由式(9)可以看出，當圖像中該點為黑點或者白點(即“0”或“1”)時，此式的等號才能成立。在0和1之間的任何一個數(shù)值都會使此式的值大于0.5。而噪聲中典型的椒鹽噪聲正好符合這一特性，可以利用此式并結(jié)合條件中值濾波[19]去除遙感圖像中的椒鹽噪聲。

3.2 量子衍生邊緣檢測算子的構(gòu)成

分析圖2中的各個子圖可以看出，態(tài)矢|110>，|011>，|100>和|001>對應(yīng)的4幅子圖圖2(d)、圖2(h)、圖2(g)和圖2(e)存在著灰度邊緣的變化，并且在態(tài)矢|110>和|100>中，對于中間的量子位來說發(fā)生了跳變情況，由圖像的量子比特定義可知，此現(xiàn)象正好對應(yīng)灰度圖像3個相鄰像素中，中間像素值發(fā)生了跳變。由此，是定義|110>和|100>兩個態(tài)矢表示圖像灰度值的反跳變，|011>和|001>兩個態(tài)矢表示圖像灰度值的正跳變。在此，將構(gòu)成提跳變的2個量子位進行取反操作，則得到對應(yīng)態(tài)矢的反態(tài)矢，如態(tài)矢|110>的反態(tài)矢是|101>，它們的概率差正好反映了該處發(fā)生灰度跳變的可能性大小，即是圖像邊緣的可能性大小。水平方向的4個態(tài)矢正反跳變的概率分別為：

正跳變：

|w011|2-|w101|2=(fm，n-fm，n-1)*fm，n+1，

|w001|2-|w010|2=(fm，n+1-fm，n)*(1-fm，n-1)。

(10)

負跳變：

|w110|2-|w101|2=(fm，n-fm，n+1)*fm，n-1，

|w100|2-|w010|2=(fm，n-1-fm，n)*(1-fm，n+1)。

(11)

為了得到更加精確的邊緣檢測模型，本文提出用2個正態(tài)矢或者2個反態(tài)矢的算術(shù)平均值作為灰度的跳變概率，即

(12)

(13)

(14)

(15)

其他方向上的算子由此類推。6個方向，一共12組算子，其中6個水平模板構(gòu)成了水平方向上的邊緣檢測算子，6個垂直模板構(gòu)成了垂直方向上的邊緣檢測算子。本文提出，在水平方向上分別取正負2個方向算子的平均值的最大值作為水平檢測分量Gx，在垂直方向上分別取正負2個方向算子的平均值的最大值作為垂直檢測分量Gy，即

(16)

(17)

最后，取水平檢測分量與垂直檢測分量的梯度絕對值之和作為最終的邊緣檢測結(jié)果，即

G(m，n)=|GX|+|Gy|。

(18)

3.3 邊緣二值化提取

本文采用單一閾值，并根據(jù)Canny算法的非極大值抑制思想對3.2節(jié)得到的灰度邊緣圖G進行二值化提取，得到二值化邊緣圖E，具體算法步驟如下：

① 單一閾值為邊緣梯度圖像的均值，即t=mean(G(：))；

② 對邊緣梯度圖G進行非極大值抑制二值化，若

(G(m，n)>t)&&{[(Gx(m，n)>Gy(m，n))&&(G(m，n)>

G(m，n-1)&&(G(m，n)>G(m，n+1)]

||[(Gy(m，n)>Gx(m，n))&&(G(m，n)>

G(m-1，n)&&(G(m，n)>G(m+1，n)]}，

則E(m，n)=1，否則E(m，n)=0；

③ 輸出邊緣二值化圖E。

3.4 量子衍生邊緣檢測函數(shù)

本文將量子衍生中值濾波，量子衍生邊緣檢測算子封裝在一個量子衍生邊緣檢測函數(shù)中，即

functionE=Qedge(f)，

式中，f為對原灰度圖I進行歸一化之后的灰度圖，將像素值歸一化到[0，1]之間；E為最終的二值化邊緣檢測圖像。

4 實驗結(jié)果分析

利用3.4節(jié)提出的量子衍生邊緣檢測函數(shù)Qedge()，可以有效地檢測出結(jié)構(gòu)復(fù)雜并含有椒鹽噪聲的遙感圖像邊緣圖。在Matlab2016的環(huán)境下分別對復(fù)雜的街景圖和航拍遙感圖進行了仿真實驗，在此基礎(chǔ)上對加噪的航拍遙感圖片(加上噪聲強度為0.03的椒鹽噪聲)也進行了仿真實驗，并將這些結(jié)果與經(jīng)典的Sobel算法和目前較優(yōu)的Canny算法進行的比較，效果如圖4、圖5和圖6所示。

圖4 街景圖

圖5 遙感航拍圖

圖6 加噪遙感航拍圖

4.1 主觀評價

根據(jù)3組實驗，對比各種算法的仿真實驗結(jié)果，可以看出本文提出的量子衍生邊緣檢測算法對于復(fù)雜的圖像邊緣定位更加準確，優(yōu)于Sobel算法與Canny算法。如圖4的4幅圖右上角的屋檐瓦片和右下角的樹木，Sobel算法和Canny算法都沒有檢測出來，而本文提出的算法，對于這些微小的精細結(jié)構(gòu)的邊緣檢測定位精確，檢測效果更優(yōu)。在圖6中，可以看出，對于含有椒鹽噪聲的復(fù)雜遙感圖像，Sobel算法基本喪失了能力，Canny算法產(chǎn)生了輕微的通心粉效應(yīng)，去噪不徹底，而本文提出的邊緣檢測算法幾乎不受噪聲的影響，邊緣檢測定位精確，去噪能力徹底。

4.2 客觀評價

為了更直觀地反映出各個算法的性能，采用一種基于連通域的邊緣評價方法[20]來客觀地評價圖像邊緣檢測效果。即統(tǒng)計一幅圖像的邊緣點個數(shù)E，4-連通域個數(shù)(C4)與8-連通域個數(shù)(C8)以及它們之間的比值(C8/C4)，比值越小，則說明邊緣的線性連接度越好，漏檢、錯檢的概率就越小。街景邊緣圖統(tǒng)計結(jié)果如表1和表2所示。

表1 第1組街景邊緣圖統(tǒng)計結(jié)果

表2 第2組遙感航拍邊緣圖統(tǒng)計結(jié)果

分析表1和表2可知，Sobel算子檢測到的邊緣數(shù)最少，Canny算子其次，而本文檢測到的邊緣數(shù)最多，這說明了本文邊緣檢測算法精度較高，能檢測到精細結(jié)構(gòu)的邊緣，這與主觀評價結(jié)果一致。不足的是，本文算法的C8/C4較小于Canny算法，說明本文算法在邊緣連接性上沒有Canny算法優(yōu)越，但大大優(yōu)于Sobel算法，這一結(jié)論與圖片視覺效果相吻合。

5 結(jié)束語

基于量子比特與量子疊加態(tài)的理論，構(gòu)造了基于量子衍生的邊緣檢測算法，并將其應(yīng)用于復(fù)雜的遙感圖像。仿真實驗結(jié)果表明，提出的邊緣檢測函數(shù)不僅能檢測出結(jié)構(gòu)精細復(fù)雜的遙感圖像邊緣，而且還能從受椒鹽噪聲污染的遙感圖像中有效地檢測出其邊緣信息。在后續(xù)工作中，可以將本文量子衍生邊緣檢測思想與頻域相結(jié)合，利用頻域的優(yōu)勢進一步加強提高遙感圖像邊緣檢測的精確度與信噪比，以及邊緣的連接性。