李麗園 周茂定 張元海

(蘭州交通大學土木工程學院, 蘭州 730070)

現(xiàn)代大跨度橋梁常用的截面形式為箱形截面,而組成箱形截面的各箱壁板厚遠小于其截面寬度和高度,具有薄壁桿件的特性[1].薄壁箱梁橋在彎曲荷載作用下存在翼板和腹板的剪切效應,導致其彎曲靜力和動力特性的求解較為復雜[2-3].橋梁的彎曲自振特性對于判斷橋梁剛度、計算橋梁沖擊系數(shù)以及分析橋梁的抗震性能有著重要的作用.因此，較為準確地求出箱梁的彎曲自振頻率十分重要.

張永健等[4]分析了考慮剪力滯效應影響的簡支箱梁彎曲自振特性.甘亞楠等[5]采用2個未知參數(shù)分別表示箱梁翼板和腹板剪切變形,建立了彎曲自振頻率的控制微分方程,并根據(jù)連續(xù)梁的邊界條件,求解高次微分方程得到相應的彎曲自振頻率.周旺保等[6]在此基礎(chǔ)上考慮截面的軸向平衡條件,求得考慮剪力滯和剪切變形時的箱梁自振頻率.冀偉等[7]將上述一般箱梁的分析理論引入波形鋼腹板箱梁,并結(jié)合波形鋼腹板的特點,分析出適用于波形鋼腹板箱梁的彎曲自振頻率計算式.以上文獻均采用2個未知函數(shù)分別考慮箱梁翼板和腹板的剪切變形,且未給出考慮剪切變形影響的等截面連續(xù)箱梁自振頻率解析表達式.

本文基于薄壁箱梁的彎曲理論,選取一個未知剪切函數(shù)來綜合表達薄壁箱梁考慮剪切變形影響時翼板和腹板的縱向位移,并以此位移函數(shù)為基礎(chǔ),運用三彎矩法求得考慮剪切變形影響的等截面連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率表達式.

1 薄壁箱梁的彎曲總勢能分析

薄壁箱梁截面示意圖見圖1.坐標系為xyz,z為沿梁軸線方向坐標,坐標原點o位于截面形心處.nsz為箱壁中面上的流動坐標系;s為沿箱壁周邊的切向坐標;n為沿箱壁周邊的法向坐標;ys為形心軸至頂板中面的距離;yx為形心軸至底板中面的距離;b1為頂板中心至腹板中心的距離;b2為腹板中心至翼板邊緣的距離;D1為x軸與腹板中面的交點;D2為腹板與頂板的交點;D3為腹板與底板的交點.

圖1 箱梁截面示意圖

對薄壁箱梁采用如下基本假設:

1) 小變形條件下,桿件的外形輪廓不變形,即周邊不變形;

2) 忽略組成箱梁壁板厚度方向的應變,即τnz=0,σn=0;

3) 各板中面應變εs=0,即箱梁各壁板沿s方向(板平面)切向不可伸縮.

根據(jù)如上假設可知,當薄壁箱梁受彎曲荷載時,其剪應變與彎曲剪力流的微分關(guān)系如下[8]:

(1)

式中,γ為剪應變;u為箱梁z軸向位移;v為箱梁截面周向位移;q(z)為彎曲剪力流;G為剪切模量;ti為箱梁壁厚.

根據(jù)薄壁箱梁的彎曲理論[9]可求得箱梁腹板任意點的剪力流表達式為[10]

(2)

式中,q1(z)為點D1處的剪力流;Q(z)為箱梁剪力;Ix為截面慣性矩;At,Au分別為x軸以上翼板和腹板的面積;tw為腹板厚度.

將式(2)代入式(1),關(guān)于s積分整理后可得

(3)

式中,u2(z)為積分起點D2處的縱向位移;v′(z)為v(z)對z的一階導數(shù).

對于箱梁腹板,截面周向位移v即為箱梁豎向位移w.根據(jù)s與y的坐標關(guān)系,通過式(3)可將箱梁腹板上任一點的縱向位移表示為

(4)

式中

式中,w′(z)為w(z)對z的一階導數(shù);u1(z)為D1點的縱向位移.

采用同樣的分析方法,根據(jù)彎曲剪力流與剪應變關(guān)系,在基本假設條件下,可求得分別用D2點和D3點表示的箱梁翼板彎曲縱向位移,具體分析過程參見文獻[10],其表達式為

u(x,y,z)=us,x+βζ(x,y)g(z)

(5)

式中

(6)

式中,us,x為頂板、底板與腹板相交點的縱向位移.

箱梁全截面的縱向位移可統(tǒng)一表示為

β(x,y)g(z)+u1(z)

(7)

式中,β(x,y)為全截面廣義剪切翹曲位移函數(shù).

考慮截面應力的軸向平衡條件可得

(8)

式中,Fz為截面軸力;σz,εz分別為截面正應力和應變;E為彈性模量;A為箱梁全截面的面積.

將式(7)代入式(8),根據(jù)小變形假設可得

u1(z)=-dg(z)

(9)

式中

(10)

式中,Ad,Ac,Ab分別為箱梁頂板、懸臂板、底板的面積.

將式(9)代入式(7)后,將d合并至式(6),可得箱梁截面各點的縱向應變?yōu)?/p>

(11)

翼板的剪切應變?yōu)?/p>

(12)

腹板的剪切應變?yōu)?/p>

(13)

式中,g′(z)為g(z)對z的一階導數(shù).

由能量原理可得薄壁箱梁的彎曲應變能為

(14)

剪切應變能為

(15)

薄壁箱梁總的彎曲剪切應變能為

G(Ax+Ay)g2]dz

(16)

式中

式中,Ax,Ay分別為翼板和腹板的剪切翹曲面積;Ix為平截面假定下的彎曲慣性距;Iβ為截面翹曲慣性距;Iyβ為截面翹曲慣性距;l為箱梁跨徑.

薄壁箱梁的動能主要包括豎向彎曲動能和梁的轉(zhuǎn)動動能.對于一般箱梁,其轉(zhuǎn)動動能很小,可忽略不計[6].因此,箱梁的撓曲動能為

(17)

由式(16)和(17)可得

(18)

式中,t1和t2表示任意2個時刻.

(19)

EIβg″+EIyβw?-G(Ax+Ay)g=0

(20)

所得自然邊界條件為

(21)

(22)

(23)

由此可得簡支端的邊界條件為

w=0,w″=0,g′=0

固定端的邊界條件為

自由端的邊界條件為

2 控制微分方程的求解

設薄壁箱梁自由振動時的豎向位移函數(shù)和剪切變形縱向函數(shù)分別為

w(z,t)=w(z)sin(ωt+φ)

(24)

g(z,t)=g(z)sin(ωt+φ)

(25)

式中,ω,φ分別為箱梁自由彎曲振動的圓頻率和初始相位角.

將式(24)和(25)代入式(19)和(20),得到關(guān)于撓度的微分方程.由于sin(ωt+φ)不恒為零,消去此項并化簡微分方程后得

(26)

式(26)的特征方程為

(27)

由文獻[5]可知,特征方程式(27)的特征解為±λ1i,±λ2,±λ3,從而可得式(26)的通解為

w(z)=C1cos(λ1z)+C2sin(λ1z)+C3cosh(λ2z)+

C4sinh(λ2z)+C5cosh(λ3z)+C6sinh(λ3z)

(28)

式中,C1～C6為微分常數(shù).根據(jù)梁兩端的3個自然邊界條件,可組成6個方程.

對于兩端簡支的箱梁,6個方程可組成關(guān)于C1～C6的齊次方程組.若此方程組有非零解,則系數(shù)矩陣行列式的值為零,用MATLAB軟件編寫相應計算程序得到

(29)

由于λ2≠λ3,且式(29)等式左邊中括號內(nèi)截面特性不為零,故式(29)成立時有

sin(λ1l)=0

(30)

由此可得,λ1=nπ/l,其中n∈N.則簡支梁自振圓頻率ω的表達式為

(31)

式中

(32)

式(31)較文獻[11]中不考慮剪切效應時的彎曲自振頻率計算式多了一個an的修正系數(shù).分析式(32)可知,當箱梁截面確定時,an僅受特征值λ的影響.

3 連續(xù)箱梁橋彎曲自振頻率的分析

對于如圖2所示的等截面連續(xù)箱梁橋,可在簡支箱梁的基礎(chǔ)上運用三彎矩法求解.

圖2等截面連續(xù)梁示意圖

由文獻[12-13]可知,對于如圖2(a)所示的等跨度等截面連續(xù)箱梁,其彎曲自振頻率的矩陣形式為

(33)

式中

Gm=cothλl-cotλl

式中,Mm為第m個中支點處的彎矩.

對于圖2(b)所示的不等跨等截面連續(xù)箱梁,設邊跨跨徑lb與中跨跨徑lz的比值為r,即r=lb/lz,其彎曲自振頻率的矩陣形式為

(34)

式中

Gmb=cothrλlz-cotrλlz

Gmz=cothλlz-cotλlz

式(33)和(34)為連續(xù)梁彎曲自振的三彎矩方程組,據(jù)此便可求得等截面連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率.以三等跨連續(xù)梁為例，求解其彎曲自振頻率.在式(33)中,當中支點處M1=M2=0時,結(jié)構(gòu)的自振特性與簡支梁相同,則

(35)

當中支點處的彎矩不為零時,根據(jù)式(33)可得

(36)

進而可得

2Gm-Hm=0

(37a)

或

2Gm+Hm=0

(37b)

將Hm和Gm的表達式代入式(37)后可得

2(coshλlsinλl-sinhλlcosλl)-(sinλl-sinhλl)=0

(38a)

2(coshλlsinλl-sinhλlcosλl)+(sinλl-sinhλl)=0

(38b)

運用MATLAB軟件求解超越方程式(38a)和(38b),并依照所求解的大小次序排列可得

(39)

將求得的特征解代入式(31) 和(32),便可得到相應的連續(xù)箱梁彎曲自振頻率.

采用同樣的分析方法可求得常用跨數(shù)的等跨度連續(xù)箱梁橋彎曲自振頻率表達式,結(jié)果見表1.

對于邊跨小于中跨的連續(xù)箱梁,只需求得滿足式(34)的特征解后,代入式(31)和(32),便可得到不等跨連續(xù)箱梁彎曲自振頻率.圖3給出了三跨和四跨連續(xù)梁在不同邊中跨徑比r時前4階彎曲自振頻率對應的特征解與跨徑的乘積λl.

表1 等跨度連續(xù)箱梁彎曲自振頻率表達式

(a) 三跨連續(xù)梁

(b) 四跨連續(xù)梁

分析圖3可知,彎曲自振頻率對應的特征解隨著邊中跨徑比的增大而減小,即彎曲自振頻率逐漸變大;隨著跨數(shù)的增加,連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率對應的特征解逐漸減小,即彎曲自振頻率減小.

4 數(shù)值算例

對于某三跨40 m的直腹板連續(xù)箱梁,其材料特性及截面幾何參數(shù)[5]如下:彈性模量E=35 GPa,密度ρ=2 500 kg/m3,泊松比μ=0.2;各翼板厚度均為0.25 m,腹板厚度為0.40 m,頂板半寬度b1=3.55 m,梁高h=3.75m,懸臂板寬度b2=2.5 m.

分別采用本文方法和ANSYS軟件中的beam 189梁單元及shell 63空間殼單元建立有限元模型,計算連續(xù)箱梁的前5階彎曲自振頻率,結(jié)果見表2.

表2 不同方法計算的連續(xù)箱梁彎曲自振頻率 Hz

由于ANSYS殼單元計算的豎向彎曲頻率中高階振型會摻雜箱壁板的振動因素,故本文只挑選前3階豎向頻率(其他因素影響相對較小)列于表2中.由表可知,本文考慮剪切效應的解析解與考慮剪切效應的ANSYS梁單元及殼單元計算結(jié)果吻合良好,從而驗證了本文解析解的正確性.剪切效應對箱梁的一階彎曲頻率的影響超過5%,且影響值隨頻率的增加而增大.

分別按照本文方法、規(guī)范公式[11]和ANSYS梁單元計算連續(xù)梁彎曲自振頻率,結(jié)果見表3,箱梁截面特性不變,中跨跨徑l=30 m.

表3 計算沖擊時所用連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率 Hz

注:f1和f2分別為連續(xù)梁計算跨中和支點沖擊所用頻率.

考慮剪切變形時的頻率差值比ψ為

規(guī)范公式與ANSYS計算結(jié)果的頻率差值比κ為

式中,fh為忽略剪切變形時的彎曲自振頻率;fk為考慮剪切變形時的彎曲自振頻率;fg為規(guī)范公式計算出的彎曲自振頻率;fa為ANSYS有限元計算出的彎曲自振頻率.

由表3可知,考慮剪切效應的解析解與考慮剪切效應的ANSYS梁單元計算值吻合良好.考慮剪切變形時所計算的頻率要小于不考慮剪切變形結(jié)果.對于r=0.7時的兩跨連續(xù)梁,二者頻率的差值比ψ=26.85%.按規(guī)范公式計算的頻率均大于ANSYS有限元計算結(jié)果；對于三等跨連續(xù)梁,二者頻率差值比κ=75.7%.顯然,用規(guī)范公式計算連續(xù)箱梁的自振頻率偏大,但這樣計算所得的沖擊效應也會偏大,對于橋梁設計將偏于安全.

為進一步分析剪切變形對連續(xù)箱梁彎曲自振頻率的影響,取上述截面的兩跨連續(xù)箱梁,跨徑l取為25～50 m,所對應的高跨比ξ為0.075～0.150,寬跨比η為0.142～0.280.連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率的差值比ψ隨高跨比變化曲線見圖4.

圖4 兩跨連續(xù)箱梁在不同高跨比下的ψ值

由圖4可知,隨著寬跨比和高跨比的增大,剪切變形的影響不斷變大.當η=0.28,ξ=0.15時,1～4階彎曲自振頻率的差值比由15.8%增至63.6%,說明剪切變形對彎曲自振頻率的影響隨著階數(shù)的增加而增大.因此,計算連續(xù)箱梁高階彎曲自振頻率時,剪切變形的影響不可忽略.

5 結(jié)論

1) 基于薄壁箱梁的彎曲理論,將箱梁翼板和腹板剪切變形綜合為一個剪切翹曲函數(shù),運用能量變分法及Hamilton原理導出并求解箱梁彎曲自振頻率的控制微分方程.在簡支箱梁彎曲自振頻率的基礎(chǔ)上,利用三彎矩法,分析出考慮剪切變形影響的等截面連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率表達式.

2) 通過對連續(xù)箱梁彎曲自振頻率對應的特征解分析可知:隨著邊中跨比的減小,連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率逐漸增大;隨著連續(xù)箱梁跨數(shù)的增加,橋梁的彎曲自振頻率逐漸減小.

3) 按照本文公式計算的連續(xù)箱梁彎曲自振頻率與ANSYS空間殼單元及考慮剪切效應的梁單元有限元計算結(jié)果吻合良好.按本文公式計算簡支和連續(xù)梁的彎曲自振頻率,所得結(jié)果精度較高.根據(jù)現(xiàn)行公路橋規(guī)中所給的頻率表達式得到的計算結(jié)果偏大,但若用其計算沖擊效應時,計算結(jié)果將會偏于安全.

4) 考慮剪切變形影響所計算的箱梁彎曲自振頻率小于不考慮剪切變形的結(jié)果,且頻率階數(shù)越高,差值越大.隨著箱梁高跨比和寬跨比的增大,剪切變形的影響也會變大.在計算連續(xù)箱梁高階頻率時,剪切變形的影響不可忽略.

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