黃 仁 許飛云 陳茹雯 馬家欣

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

在系統(tǒng)辨識中,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都是在假設(shè)系統(tǒng)有輸入/輸出的條件下進(jìn)行建模,其主要目的是根據(jù)輸入/輸出數(shù)據(jù)確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù),這種方法比較成熟,但不適用無輸入或者輸入不能確知的情況.時間序列分析模型是以白噪聲作為輸入,提供了另一種建模策略來解決這個問題,但只限于線性系統(tǒng)且是平穩(wěn)隨機(jī)過程,這就使得時間序列模型的應(yīng)用受到很大限制,或者由于應(yīng)用不妥當(dāng),而效果變差.ARMA(n,m)模型盡管只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程,但在預(yù)測、預(yù)報及金融方面,ARMA模型仍然引起許多研究者的興趣[1-2].因為在這些領(lǐng)域中,就預(yù)測而言,其他模型還遠(yuǎn)比不上時間序列模型,因為時間序列的建?；A(chǔ)是根據(jù)系統(tǒng)的線性相關(guān),針對系統(tǒng)“記憶”能力來建模的,這符合預(yù)測的直觀理念.文獻(xiàn)[3]提出用GNAR(p;n1,n2,…,np)代替ARMA(n,m)模型,作為時間序列的一般表達(dá)式,拓寬了時間序列分析的應(yīng)用范圍和應(yīng)用效果.本文從更廣的視野,以Weierstrass逼近原理為基礎(chǔ),提出了3種不同的輸入、輸出方式的表達(dá)式,使Weierstrass表達(dá)式和系統(tǒng)辨識2門不同的學(xué)科有了實際的連接[4].本文還研究了目前常用H. Akaike準(zhǔn)則存在的問題及適用性,提出了DIC準(zhǔn)則,工程試驗證明:GNPA[3](general expression of system identification for linear and nonlinear with polynomial approximation)模型也可識別鋼板材料的裂紋,進(jìn)一步擴(kuò)大了其應(yīng)用領(lǐng)域.

1 預(yù)備知識

1.1 Weierstrass逼近定理簡述

Weierstrass逼近定理是利用冪級數(shù)來構(gòu)造某函數(shù)的理論.其中最引人注意的是整函數(shù)與函數(shù)的無窮級數(shù)的乘積是均勻收斂的[5],并且任意定義在實軸上的閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以用絕對且均勻收斂的多項式表示[6].

上述定義包括2層含義:

① 若有一序列均勻收斂的連續(xù)函數(shù),其誤差極限必定是連續(xù)函數(shù);

② 在區(qū)間[a,b]的任意連續(xù)函數(shù)都可以用Weierstrass多項式逼近.

1.2 Weierstrass逼近定理的一般表達(dá)式

Weierstrass一般表達(dá)式與輸入/輸出形式、或者線性/非線性以及函數(shù)的類型有關(guān),表達(dá)式為[7]

(1)

1.3 Weierstrass逼近理論在工程中應(yīng)用的可行性

現(xiàn)以金屬切削加工的齒輪滾刀為例(見圖1).垂直滾刀螺旋槽的截面是一個齒條,每一個齒就是一個多邊形(多項式表示),當(dāng)滾刀連續(xù)運動時,齒的先后位置就像Weierstrass多邊形的連續(xù)位置,滾刀毎轉(zhuǎn)一個齒,就像Weierstrass逼近定理毎逼近一步,它和函數(shù)的接觸點的包絡(luò)線就像滾刀加工齒輪的廓形,它的齒廓偏差可達(dá)微米級,這說明多項式逼近函數(shù)的精度很高,理論上證明偏差接近于零.

圖1 多項式逼近理論的意義(齒輪滾削)

以上的例子雖是機(jī)械加工的例子,它所加工齒輪的廓形是漸開線,但其逼近原理和Weierstrass逼近定理是一致的,其他如插齒、花鍵加工都可以用Weierstrass逼近定理來描述,非常直觀.齒輪加工的應(yīng)用也有將近一個世紀(jì),加工精度愈來愈高,在工程中的應(yīng)用具有廣泛發(fā)展前景.本文著重在系統(tǒng)辨識領(lǐng)域中,利用Weierstrass逼近定理方法建模,以適應(yīng)現(xiàn)代高速運動機(jī)械建立數(shù)學(xué)模型的需要.

2 輸入方式與系統(tǒng)連接的關(guān)系

2.1 有輸入/輸出的系統(tǒng)辨識模型的連接

首先介紹有輸入/輸出的模型,這種模型一般稱為系統(tǒng)辨識模型,用得最多,研究得比較成熟,它的一般表達(dá)式為

(2)

式中,G(s)為傳遞函數(shù);w(s)為輸出,可根據(jù)研究對象進(jìn)行檢測;u(s)為輸入,在很多情況下,輸入為未知的,在機(jī)器的內(nèi)部也難以測量,這就影響G(s)的測量.把輸入u(s)轉(zhuǎn)換為輸出w(s),一般只能憑先驗知識或模擬實驗,例如機(jī)床刀架的二階振動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)必須采用彈簧阻尼系統(tǒng),通過實驗來模擬,機(jī)床上走刀機(jī)構(gòu)就是這樣模擬的.但是實際設(shè)備的彈簧阻尼系統(tǒng)要比實驗用的彈簧阻尼系統(tǒng)復(fù)雜得多,從數(shù)學(xué)的角度來看,它們是等價的,但等價不是相等,因此實際應(yīng)用要根據(jù)檢測數(shù)據(jù),不斷地修正.大型機(jī)械進(jìn)行性能實驗時,仍然是用彈簧阻尼系統(tǒng)進(jìn)行模擬實驗,這時就很難得到設(shè)備的等效負(fù)荷,例如車輛的負(fù)載與其運輸對象實際重量有關(guān),阻尼系數(shù)也只能憑先驗知識確定,因此,實驗室結(jié)果與生產(chǎn)中的實際對象有很大差別.隨著自動化科學(xué)的發(fā)展,許多經(jīng)典系統(tǒng)辨識的方法(如脈沖響應(yīng)的方法、Volterra級數(shù)等)也都存在各自的缺點[10-11],文獻(xiàn)[12]全面研究了隨機(jī)過程的優(yōu)化與控制.本文所提出的多項式逼近求解模型參數(shù)沒有上述問題,從數(shù)學(xué)上來看雖然也是一個等價系統(tǒng),但其誤差很小以致逼近于零.并且在Weierstrass展開式運算中,可以直接分解出參數(shù),進(jìn)行參數(shù)估計,有了模型參數(shù)可以反過來求傳遞函數(shù),得到與實際更接近的傳遞函數(shù),或者應(yīng)用故障診斷學(xué)觀點,構(gòu)造更多的特性函數(shù),簡化對系統(tǒng)的描述,實現(xiàn)對系統(tǒng)的優(yōu)化和控制.

根據(jù)式(1),輸入輸出關(guān)系式為

(3)

式中,wt-i為t-i時刻的系統(tǒng)輸出;et=1,2,…,t為逼近誤差;p為模型階次;ut-j為向量ut,i,1中的第j個元素;nw,j(j=1,2,…,p)為輸出{wt}各項的記憶步長;nu,j(j=1,2,…,p)為輸入{ut}各項記憶步長;τu為系統(tǒng)輸入{ut}的延遲.該模型簡記為GNPA(p;τu;nw,1,nw,2,…,nw,p;nu,1,nu,2,…,nu,p).由式(3)得到的展開式是經(jīng)過采樣,故寫成離散形式,變量坐標(biāo)寫在角標(biāo)上.輸入u(t)是連續(xù)信號經(jīng)過采樣脈沖得到離散信號ut,再經(jīng)過后移算子使后續(xù)系統(tǒng)進(jìn)入工作狀態(tài),并完成全部計算再與at一起求和得到輸出wt.ut和wt都是已知的(可以檢測得到),未知數(shù)是模型參數(shù),模型參數(shù)與模型階數(shù)有關(guān),有待以下討論.

2.2 輸入是白噪聲辨識模型的連接

白噪聲的統(tǒng)計特性為

① 零均值E[at]=0.

這表明白噪聲過程的前后彼此無關(guān).

借助時間序列分析的觀點，輸入為白噪聲時的模型表達(dá)式為

(4)

圖2 輸入為白噪聲的系統(tǒng)的邏輯框圖

式(4)中,et與計算誤差合在一起用at表示.由圖2可知,各子項在計算過程中都用αi1,i2表示各階參數(shù),在最小二乘估計時,按其實際意義設(shè)置角標(biāo).

2.3 混合系統(tǒng)辨識模型的連接

如果輸入比較復(fù)雜,既有白噪聲{at},又有已知的單個輸入{ut},那么GNPA模型就寫成為單輸入的GNPAX模型.它的一般表達(dá)式為

(5)

模型(5)簡記為GNPAX(p;τu;nw,1,nw,2,…,nw,p;nu,1,nu,2,…,nu,p).該模型可以推廣至雙輸入和多輸入模型.

3 模型參數(shù)估計及定階方法的改進(jìn)

3.1 模型參數(shù)估計

本文的出發(fā)點是立足于在區(qū)間[a,b]的任意連續(xù)函數(shù)都可以用多項式函數(shù)來逼近,但它只說明數(shù)學(xué)的概念,而式(3)～(5)是不同的輸入、輸出方式的表達(dá)式,它包含輸入、輸出和模型參數(shù),因而可直接從運算結(jié)果獲取模型參數(shù),然后進(jìn)行最小二乘估計.

模型參數(shù)估計是系統(tǒng)辨識的基本問題,在文獻(xiàn)[3]中作了詳細(xì)的論述,包括雙線性模型、指數(shù)自回歸模型和門限自回歸模型,數(shù)據(jù)有自激振動.年用電量的數(shù)據(jù)和經(jīng)典的時間分析建模例子都顯示了GNAR模型的優(yōu)越性[3].但文獻(xiàn)[3]定階問題并沒有很好解決,本文著重研究AIC準(zhǔn)則發(fā)表的時代背景及存在的問題.

3.2 AIC準(zhǔn)則存在問題

在Akaike[13-15]提出信息準(zhǔn)則(an information criterion,AIC)時,正是信息論發(fā)展的時期,如果信息是有序的,則時間是包含在數(shù)據(jù)序列之中,而AIC準(zhǔn)則是由人工調(diào)節(jié),在系統(tǒng)運行過程中p或n是固定值.它的最初目的并不是直接求模型的階數(shù),而是研究簡化模型的結(jié)構(gòu),因此AIC準(zhǔn)則被定義為

AIC(p)=-2lnL+2p

(6)

式中,L為時間序列{xt}的似然函數(shù),用自然對數(shù)表示.因為Akaike的主要目的是將當(dāng)前計算結(jié)果和已有計算結(jié)果進(jìn)行比較,取其最小者,舍棄常數(shù)并不影響其比較效果[16],故AIC準(zhǔn)則被定義為

(7)

(8)

式(8)比式(7)更合理.建立數(shù)學(xué)模型包括定階,都必須遵守數(shù)據(jù)在前,模型在后的原則.如果有一個新產(chǎn)品,也應(yīng)該先做預(yù)備實驗,取得一定數(shù)據(jù)后,根據(jù)數(shù)據(jù)的變化,選擇適當(dāng)?shù)膎值.

對于隨機(jī)過程,AIC準(zhǔn)則規(guī)定時間是一個固定值,沒有考慮隨機(jī)過程時間是變化的.本文實驗結(jié)果表明,如果時間是固定的,則n是一個固定點;如果時間是變動的,則n是在一條線上變化.如果許多參數(shù)連續(xù)求出,由于各條線相繼產(chǎn)生,它們不可能重合,在參數(shù)空間里,各個參數(shù)都有自己的特定位置.

實驗研究結(jié)果認(rèn)為:AIC準(zhǔn)則沿用至今,一般的評價是能用但不準(zhǔn)確,特別是對隨機(jī)過程很難應(yīng)用,因為它不能直接表達(dá)時間變量的影響.由于預(yù)備實驗做的次數(shù)不夠多,或者沒有取得足夠的先驗知識,就沒有可能正確地決定它的階數(shù)p或n值,難以滿足實際情況.這是因為通過p調(diào)節(jié)模型參數(shù),而p的變化大于其他參數(shù),并且p增大,方差也增大,因此掩蓋了其他參數(shù)的變化情況.

3.3 DIC準(zhǔn)則的意義及其應(yīng)用

3.3.1 DIC設(shè)置

由于AIC準(zhǔn)則并不適合于隨機(jī)過程,故需要定義一個DIC(direct information criterion)準(zhǔn)則

(9)

L=Lm+Lf

(10)

R=n1+n2+…+np

(11)

所謂“Direct”,是指Weierstrass各子系統(tǒng)在運行中產(chǎn)生的參數(shù)直接按式(9)評定后用最小二乘估計,求出模型參數(shù),在預(yù)備實驗中確定參數(shù)穩(wěn)健域.

3.3.2 DIC準(zhǔn)則的應(yīng)用

① 與AIC準(zhǔn)則比較.在式(3)～(5)運算后,直接獲取模型參數(shù)數(shù)據(jù),進(jìn)行最小二乘優(yōu)化處理.

② 將p減少至R.一是因為參數(shù)穩(wěn)健域,二是希望獲得優(yōu)化的最小值.初始實驗已知階數(shù)40～70之間模型參數(shù)混亂,不宜應(yīng)用于參數(shù)估計,并且p太大,會影響其他參數(shù)的估計.

③ 關(guān)于階數(shù)與模型參數(shù)量的DIC三維圖見圖3.

圖3 不同時刻不同模型參數(shù)量的DIC變化圖

由于圖3中1～3階的DIC值過大,說明模型誤差較大,影響整個圖的布局,而階數(shù)4～40的參數(shù)變化比較平穩(wěn),階數(shù)40～70參數(shù)變化失常,所以圖3中保留了階數(shù)4～40,即稱之為參數(shù)穩(wěn)健域.圖中,數(shù)據(jù)為3 364個,舍去前100個過渡數(shù)據(jù),后面每128個數(shù)據(jù)為一組,每后移128個數(shù)據(jù)作為下一組,共25組樣本,樣本序列號為1～25.最大模型范圍為GNPAX(4;1;10,3,2,2;10,2,2,1),畫

出不同時刻不同模型參數(shù)量的DIC變化,如圖3所示(DIC值由式(9)計算).不同樣本序列(即不同時刻的數(shù)據(jù)樣本)的DIC值隨模型參數(shù)量R的變化曲線雖不盡相同,但是DIC最小值的點都出現(xiàn)在R=8的位置上,這符合事實.因為,式(9)共有8個參數(shù)量,這證實了用DIC值進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)辨識的有效性,具有較好的穩(wěn)定性.一般R=6～12為宜，否則方差也增加.

3.3.3 模型階數(shù)和參數(shù)的關(guān)系

為了研究階數(shù)和參數(shù)的關(guān)系,有必要揭示模型之間的關(guān)系.

1) 線性AR(3)模型的表達(dá)式為

xt=0.57xt-1=0.64xt-2+0.12xt-3+at

at∈N(0,0.01)

用此模型產(chǎn)生數(shù)據(jù),其參數(shù)就是真值,便于和估計值比較,對AR及不同的GNPA模型擬合得到不同模型,如表1所示.由表可知:由于數(shù)據(jù)是線性的,所以α1,α2,α3方向(正負(fù)號)沒有變化,當(dāng)階數(shù)達(dá)到(1;9)時有偏差但并不大,但水平方向表示α1在不同模型中數(shù)據(jù)非常接近,即數(shù)據(jù)凝聚性很好,不受模型變化的影響,但估計值稍小于真值,這是因為增加了GNPA模型的個數(shù);在垂直方向α1,α2,α3的數(shù)據(jù)都接近模型相應(yīng)的參數(shù)值,α4～α9數(shù)值很小,都在0.01～0.07左右.因此對線性模型來說,模型階數(shù)與參數(shù)沒有太大的關(guān)系.表1說明同一組數(shù)據(jù)序列用不同的一階模型擬合,模型結(jié)構(gòu)有區(qū)別,數(shù)據(jù)分布不同.

表1 擬合AR與GNPA模型參數(shù)

2) AR(4)模型的表達(dá)式為

xt=0.57xt-1-0.64xt-2+0.12xt-3+0.17xt-4+at

at∈N(0,0.01)

同理,用此模型產(chǎn)生數(shù)據(jù),擬合AR(4)及幾種GNPA非線性模型參數(shù).模型參數(shù)估計值與真值偏差比較大,因此不能說模型階數(shù)對模型參數(shù)沒有影響.隨著非線性階數(shù)增加,影響增大,結(jié)果見表2.

3) 現(xiàn)在不用已知模型產(chǎn)生數(shù)據(jù),而是直接采樣數(shù)據(jù),建立GNPA模型,其結(jié)果見圖4.表3是用上述數(shù)據(jù)建立的GNPA(2；3,2)模型預(yù)報2005—2007年的電用量,并與ARMA(1,1)建模預(yù)報作對比,前者一步預(yù)報誤差約為0.28%～3.02%,后者為11.89%～21.09%[17].

圖5給出某國國際航空公司客票數(shù)據(jù)的模型預(yù)測值與客票實際值跟蹤,結(jié)果良好,模型的平均相對誤差為2.54%.

表2 擬合AR(4)與幾種GNPA非線性模型參數(shù)

圖4 1976—2004年全國電用量用GNPA(2;3,2)建模的數(shù)據(jù)跟蹤圖

綜上所述可知:① GNPA模型的主要優(yōu)點是數(shù)據(jù)的凝聚性、方向性均較好,使得穩(wěn)定性也較好.② 對采樣數(shù)據(jù)直接建模,在預(yù)備實驗中可以知道比較確切的模型性質(zhì),在GNPA模型建模的基礎(chǔ)上,確定模型的階數(shù)和模型的結(jié)構(gòu),有利于加強(qiáng)系統(tǒng)辨識穩(wěn)定性.③ 在較廣的參數(shù)穩(wěn)健域空間選擇模型階數(shù),使得選擇方便,一般階數(shù)以接近最小值(此處為8)為宜.

4 工程應(yīng)用實例

4.1 實驗?zāi)康?/h3>

① 本文將GNPAX模型應(yīng)用于鋼板結(jié)構(gòu)的損傷識別.首先對鋼板數(shù)據(jù)進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)辨識.然后建立合適和有效的GNPAX模型,將模型參數(shù)作為特征向量,并結(jié)合k最鄰近(KNN)分類算法對有裂紋和無裂紋的鋼板進(jìn)行辨識.

② 數(shù)據(jù)經(jīng)過多項式多次逼近處理,抗干擾能力加強(qiáng),通過鋼板裂紋的識別,進(jìn)一步驗證了GNPAX模型的優(yōu)越性.

③ 研究對象為鋼板結(jié)構(gòu),可推廣到橋式起重機(jī).

4.2 設(shè)備與儀器

取2塊尺寸(300 mm×100 mm×3 mm)相同的鋼板,一塊無裂紋,一塊有裂紋,裂紋長為500 mm,寬為1 mm,裂紋位置如圖6所示.

圖6 有裂紋鋼板尺寸及測點布置圖(單位：mm)

鋼板左端用鉚釘固定,右端懸空,在懸臂鋼板右端中點處施加錘擊脈沖激勵,在板上布置4個位置的PK151諧振式傳感器,由SENSOR HIGHWAY型聲發(fā)射采集儀采集信號,實驗裝置及傳感器布置如圖7所示,4個測點位置如圖6所示.

圖7 實驗裝置及傳感器布置圖

聲發(fā)射采集儀的采樣頻率為1 MHz,采樣點數(shù)為8 192,門限值設(shè)定為26 dB.無裂紋和有裂紋鋼板分別采用5組聲發(fā)射數(shù)據(jù),選取一組無裂紋數(shù)據(jù)和一組有裂紋數(shù)據(jù),見圖8和圖9.

(a) 測點1

(b) 測點2

(c) 測點3

(d) 測點4

(a) 測點1

(b) 測點2

(c) 測點3

(d) 測點4

4.3 損傷識別驗證

對于上述10組數(shù)據(jù),舍去前1 024和后3 072個采樣點,取中間幅值較大的4 096個點.每256個點作為一個樣本(前200個數(shù)據(jù)用于計算建模誤差,后56個數(shù)據(jù)用于計算預(yù)測誤差),則無裂紋、有裂紋數(shù)據(jù)各有80個樣本,隨機(jī)各取50個樣本用于訓(xùn)練,30個樣本用于測試.由圖9可知,鋼板下端測點4,1較鋼板上端測點3,2距離裂紋近,其反映裂紋信息更準(zhǔn)確.為作對比,鋼板上下端分別建模,測點3作為輸入,測點2作為輸出,建立鋼板上端GNPAX模型,測點4作為輸入,測點1作為輸出,建立鋼板下端GNPAX模型.輸入輸出測點相距160 mm,橫波在鋼板中的傳播速度取3 000 m/s,延遲約為5.3×10-5s,數(shù)據(jù)采樣頻率為1 MHz,模型延遲取τu=53.建模時,取GNPAX(3;53;10,4,2;8,2,2)作為模型具體結(jié)構(gòu)的選取范圍,由于各測點受力情況不同,各測點按上述結(jié)構(gòu)可作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.

把上述最終模型結(jié)構(gòu)的參數(shù)作為特征向量,用于KNN算法訓(xùn)練.為對比效果,將各階次GNPA(1階GNPA模型即AR模型)、GNPAX模型(1階GNPAX模型即ARX模型)的測試精度同樣列于表4和5中.

表4 有、無裂紋鋼板上端數(shù)據(jù)建模的KNN算法識別率

表5 有、無裂紋鋼板下端數(shù)據(jù)建模的KNN算法識別率

通過以上研究可以看出,將原始檢測數(shù)據(jù)通過GNPAX模型處理,可以提高數(shù)據(jù)的凝聚性,改善狀態(tài)識別精度.

5 結(jié)論

1) 本文首先研究了將Weierstrass逼近理論用于系統(tǒng)辨識的建模問題,研究了Weierstrass展開式各子項的性質(zhì)及其與線性/非線性系統(tǒng)的關(guān)系,以及各子系統(tǒng)的展開式與對應(yīng)模型參數(shù)的關(guān)系,預(yù)備實驗中在所給予模型階數(shù)的條件下進(jìn)行模型參數(shù)估計,經(jīng)過Weierstrass展開式運算,提高了模型參數(shù)的計算精度及穩(wěn)定性.

2) 本文提出了DIC準(zhǔn)則和模型參數(shù)穩(wěn)健域,作為一種方法,用實例說明其可行性.實驗證明,采用DIC準(zhǔn)則用幾種GNPA模型建模,可以得到比較準(zhǔn)確的模型階次,選擇最優(yōu)者.

3) 工程實驗證明,GNPAX模型對數(shù)據(jù)凝聚性比較好,還可以識別機(jī)械設(shè)備的裂紋,這是GNPAX模型在故障診斷中新的發(fā)展.

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