王宏勇，楊守志

具有變量自由參數(shù)的分形插值曲面的構(gòu)造與性質(zhì)

王宏勇，楊守志

由于分形曲面（粗糙曲面）在科學(xué)和工程等領(lǐng)域中的重要應(yīng)用已引起廣泛的關(guān)注，所以，人們運(yùn)用隨機(jī)高度函數(shù)生成分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動曲面，應(yīng)用一元分形函數(shù)的張量積或沿著垂直于輪廓面的方向移動一條分形輪廓線產(chǎn)生確定性分形曲面，通過無處可微連續(xù)函數(shù)的加權(quán)組合來得到某些粗糙曲面。盡管用這些方法構(gòu)造出的分形曲面已被有效地使用在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中作為許多復(fù)雜的自然曲面的數(shù)學(xué)模型，但這些構(gòu)造方法不能產(chǎn)生需要精確穿過某些指定數(shù)據(jù)點(diǎn)的分形曲面。1986年，Barnsley基于迭代函數(shù)系（IFS）理論，提出了分形插值函數(shù)（FIF）的構(gòu)造方法。Massopust將FIF的概念推廣到二元分形插值曲面（FIS），首先考慮三角形區(qū)域上邊界插值點(diǎn)共面的情形下二元FIS的構(gòu)造問題。Geronimo，Hardin和Zhao將Massopust的構(gòu)造推廣到任意插值點(diǎn)的情形。其后，許多學(xué)者在不同的插值條件下，使用具有相同或不同的縱向尺度因子的IFS，研究了矩形區(qū)域上二元FIS的構(gòu)造及其性質(zhì)等問題。值得注意的是，在上面提到的各種FIS的構(gòu)造中，所使用的IFS的縱向尺度因子是由一組常數(shù)給出，即采用常數(shù)作為自由參數(shù)。當(dāng)使用這種常參數(shù)的IFS構(gòu)造二元FIS時，將會導(dǎo)致在每個分割小區(qū)域上所有點(diǎn)處的縱向壓縮比都相同，這使得產(chǎn)生的FIS通常具備明顯的自相似特征，當(dāng)用它們?nèi)M合或逼近某些較少具備自相似特征的復(fù)雜曲面時，可能會引起較大誤差。另外，使用這種IFS去構(gòu)造一個能經(jīng)過任意指定插值點(diǎn)的FIS時，為了確保插值曲面的連續(xù)性，必須要求IFS滿足一定的“連續(xù)性條件”。然而，這樣的限制條件是極難驗(yàn)證的。本文在矩形區(qū)域上使用具有變量自由參數(shù)的迭代函數(shù)系，構(gòu)造了一類新的分形插值曲面，并研究了這類曲面的若干性質(zhì)。證明了這類變參數(shù)的迭代函數(shù)系能生成連續(xù)的二元分形插值曲面，指出該類曲面可用作任意數(shù)據(jù)點(diǎn)上的自仿射和非自仿射的分形插值模型。在兩種度量意義下，導(dǎo)出了能刻畫這類分形曲面敏感性的一些不等式.給出了相應(yīng)的分形插值函數(shù)與數(shù)據(jù)生成函數(shù)之間的誤差估計(jì)。最后，在一定條件下，證明了這類分形插值函數(shù)序列一致收斂于數(shù)據(jù)生成函數(shù)。

來源出版物：數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 57(2): 223-234

入選年份：2014