羅 旭,楊 君,吳晨暉,馮 政

(1.遵義醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院,貴州 遵義 563000;2.武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,武漢 430081)

傳感器網(wǎng)絡(luò)具有覆蓋區(qū)域廣、自組織、不受地理位置限制等優(yōu)點(diǎn)[1-2],常用于環(huán)境監(jiān)測(cè)。目前基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的污染源定位算法無(wú)論是關(guān)于氣體污染源還是水污染源,多根據(jù)污染物的遷移過(guò)程,基于擴(kuò)散模型進(jìn)行定位。例如文獻(xiàn)[3-12]中,在各類(lèi)具體擴(kuò)散情形和擴(kuò)散模型下研究了污染源定位問(wèn)題,其中文獻(xiàn)[9-12]探討了水污染源定位問(wèn)題。在此類(lèi)定位算法中,主要基于污染監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),根據(jù)擴(kuò)散模型,建立含有污染源位置的參數(shù)估計(jì)模型,并采用最小二乘、貝葉斯估計(jì)、狀態(tài)濾波等方法求解估計(jì)問(wèn)題。在基于擴(kuò)散模型的污染源定位算法中主要有兩大問(wèn)題:①在求解基于擴(kuò)散模型的數(shù)學(xué)問(wèn)題中常涉及到復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算,近似數(shù)值計(jì)算引入了參數(shù)估計(jì)誤差。②擴(kuò)散模型本身是在較為理想的條件下提出的,并不能精確描述擴(kuò)散過(guò)程本身,因此擴(kuò)散模型本身引入了定位誤差,并且在某些情形下并沒(méi)有解析擴(kuò)散模型,基于擴(kuò)散模型的解析類(lèi)定位算法并不能適用。

盡管目前也有一些不依賴(lài)于水文模型的水污染源定位算法,如最接近點(diǎn)算法(CPA)[13],最大監(jiān)測(cè)點(diǎn)算法(MPA)以及最早探測(cè)點(diǎn)算法(EPA)[14]。此類(lèi)算法中,污染源位置為網(wǎng)絡(luò)內(nèi)某節(jié)點(diǎn)的位置,定位精度依賴(lài)于節(jié)點(diǎn)部署密度。當(dāng)監(jiān)測(cè)區(qū)域較廣例如湖區(qū)、河流中,由于節(jié)點(diǎn)難以密集部署,算法精度不高。此類(lèi)算法屬于粗略定位算法。

在水污染事件中,及時(shí)發(fā)現(xiàn)污染源并進(jìn)行處理十分重要?？紤]到已有水污染源定位算法的上述問(wèn)題,提出了一種基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的水污染源質(zhì)心定位算法。該算法雖然與擴(kuò)散模型無(wú)關(guān),但依然結(jié)合了水污染擴(kuò)散規(guī)律解決定位問(wèn)題。該算法僅依賴(lài)于傳感器網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),關(guān)鍵在于根據(jù)水污染擴(kuò)散特征以及濃度場(chǎng)等位線(xiàn)求得污染源位置。相對(duì)于以某節(jié)點(diǎn)的位置為污染源位置的定位算法,該算法分析了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),不屬于粗略定位算法,受網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)部署位置和密度的影響小;相對(duì)于基于擴(kuò)散模型的定位算法,該算法即利用了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),又避免了濃度模型和復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算給污染源定位帶來(lái)的負(fù)面影響,并可用于無(wú)解析濃度模型的場(chǎng)景中。

在下文中,首先給出該質(zhì)心的算法的一般性問(wèn)題,然后給出求解方法。

1 問(wèn)題描述

1.1 問(wèn)題背景

根據(jù)污染物遷移過(guò)程來(lái)估計(jì)污染源位置是污染源定位的基本方法,而污染物的擴(kuò)散過(guò)程是污染物遷移主要過(guò)程。本文的質(zhì)心算法主要依據(jù)水體中二維擴(kuò)散過(guò)程求取污染源的平面位置。本文的污染源估計(jì)問(wèn)題即根據(jù)已知的傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在各采樣時(shí)間的濃度監(jiān)測(cè)信息C(xi,yi,tl),節(jié)點(diǎn)位置以及不同節(jié)點(diǎn)的探測(cè)時(shí)間Ti,i=1,2,…,n來(lái)求取污染位置。并且本文的質(zhì)心算法有以下3個(gè)前提假設(shè):①監(jiān)測(cè)區(qū)域中只有一個(gè)污染源。②節(jié)點(diǎn)越早探測(cè)到污染信息,離污染源越近。③污染源位置的邊界條件已知,即(x0,y0)∈B已知。

1.2 網(wǎng)絡(luò)部署

在監(jiān)測(cè)區(qū)域中均勻分布有I(>5)個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)。傳感器節(jié)點(diǎn)位置固定,待測(cè)污染物類(lèi)型已知,伸入水下的探測(cè)傳感器給定。傳感器節(jié)點(diǎn)位置已知,所有的傳感器節(jié)點(diǎn)以同一采樣周期同步采樣并存儲(chǔ)數(shù)據(jù),監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)路由到匯聚節(jié)點(diǎn)并送往數(shù)據(jù)中心進(jìn)行處理。

1.3 質(zhì)心定位問(wèn)題

將(xi,yi,Ti),i=1,2,3,…,I按節(jié)點(diǎn)的污染探測(cè)時(shí)間Ti排序,使得T1

(1)

式中:

D=

D可簡(jiǎn)化為

(2)

是由直線(xiàn)

圍成的區(qū)域。

若有多個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)且最早發(fā)現(xiàn)污染源,例如T1=T2

D=

(3)

即有n個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)且最早探測(cè)到污染時(shí),有n組不等式。

2 定位方法

在上述定位方法中,首先是找到最早發(fā)現(xiàn)污染的節(jié)點(diǎn)(x1,y1),然后是計(jì)算式(1)中區(qū)域D的質(zhì)心。式(1)沒(méi)有解析解,需要通過(guò)幾何方法求解。但在許多情形下,由于水污染擴(kuò)散場(chǎng)中存在濃度場(chǎng)等位線(xiàn),可依此獲得解析解。在下文中將首先給出存在濃度勢(shì)場(chǎng)等位線(xiàn)下的解析解,然后介紹相關(guān)的數(shù)據(jù)預(yù)處理,包括污染探測(cè)和濃度等位線(xiàn)檢驗(yàn)。

圖1 具有圓形等位線(xiàn)的濃度場(chǎng)

2.1 解析特解

Case 1 節(jié)點(diǎn)有同一污染探測(cè)時(shí)間并在圓形等位線(xiàn)上

如圖1所示,在不受邊界限制的擴(kuò)散場(chǎng)中,濃度等位線(xiàn)呈圓形。在此情形下,在同一等位線(xiàn)上的節(jié)點(diǎn)(xi,yi),i=1,2,…,I到污染源的距離相同并在同一時(shí)間探測(cè)到污染。可得:

(4)

并可寫(xiě)為

(x1-x0)2+(y1-y0)2=r2
(x2-x0)2+(y2-y0)2=r2
(x3-x0)2+(y3-y0)2=r2
?
(xI-x0)2+(yI-y0)2=r2

(5)

其解為

(6)

式中:

Case 2 節(jié)點(diǎn)有同一污染探測(cè)時(shí)間并在軸對(duì)稱(chēng)等位線(xiàn)上

如圖2所示,擴(kuò)散受邊界Y影響,污染源位置在等位線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上。

(7)

根據(jù)式(2),同時(shí)可得:

(8)

以及估計(jì):

(9)

圖2 具有對(duì)稱(chēng)等位線(xiàn)的濃度場(chǎng)

2.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

記:

X={(x1,y1),(x2,y2),…,(xI,yI)}:傳感器節(jié)點(diǎn)集合;

N(X):X中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量;

N(X′):X′中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。

2.2.1 污染探測(cè)

①簡(jiǎn)單探測(cè)法

②基于假設(shè)檢驗(yàn)的探測(cè)法

當(dāng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)變化緩慢,且濃度值較小時(shí),采用該方法。由于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)在大多數(shù)情況下是非正態(tài)的,采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)法[15],即檢驗(yàn)表1中兩組獨(dú)立數(shù)據(jù)是否有顯著差異。

表1 探測(cè)中的兩組獨(dú)立樣本

假設(shè)為:

(10)

式中:μs1與μs2為樣本組1和樣本組2的平均值。

將樣本組1和樣本組2中的數(shù)據(jù)一并升序排列,并依序標(biāo)記數(shù)秩[15]。當(dāng)檢驗(yàn)顯著性水平為α,樣本組1中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的秩和為R1,若

R1≤CU(α/2)

(11)

2.2.2 濃度場(chǎng)等位線(xiàn)檢驗(yàn)

判定在X′中的節(jié)點(diǎn)在環(huán)形等位線(xiàn)上,否則這些節(jié)點(diǎn)在各軸對(duì)稱(chēng)等位線(xiàn)上,這里χ為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

2.3 算法適用性

首先,本文算法是單源定位算法,式(1)的定位算法適用于所有情形,當(dāng)有足量的節(jié)點(diǎn)處于濃度等位線(xiàn)上,至少滿(mǎn)足N(X′)≥max{(N(X)/4,4}時(shí),可依據(jù)式(6)～(9)利用等位線(xiàn)上的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)得到解析定位結(jié)果。

再次,本文算法主要結(jié)合平面濃度等位場(chǎng)討論定位問(wèn)題。值得指出的是,在三維擴(kuò)散中當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)各向同性時(shí)為等位球面,質(zhì)心算法尤其是基于濃度等位線(xiàn)的質(zhì)心定位可推廣使用,這方面的內(nèi)容將在后續(xù)的工作中討論。

3 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1:靜態(tài)水體中不受邊界限制的濃度場(chǎng)中的污染源定位。

問(wèn)題背景:在淺灘水體中,水域大小為200 cm×200 cm,水深f=100 cm。在水域中心有一連續(xù)(污染)源。自t0=0 s起MgSO4溶液被排入水體中。污染源和節(jié)點(diǎn)位置如圖3所示,具體實(shí)驗(yàn)工作可參考前期工作[16]。擴(kuò)散過(guò)程可由式(12)描述[17]:

(12)

式中:M是污染物的質(zhì)量,K為擴(kuò)散系數(shù),(x0,y0)為污染源位置,t為當(dāng)前時(shí)間。各節(jié)點(diǎn)的實(shí)地監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表2所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)1中節(jié)點(diǎn)部署和污染源位置

數(shù)據(jù)預(yù)處理:顯著性水平α=0.05,采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn),節(jié)點(diǎn)探測(cè)時(shí)間如表3所示。傳感器節(jié)點(diǎn)的最小分辨率為0.01 g/L。根據(jù)探測(cè)時(shí)間以及表1中監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),節(jié)點(diǎn)1,5,3,7在同一圓形濃度等位線(xiàn)上,節(jié)點(diǎn)2,4,6,8在同一圓形濃度等位線(xiàn)上。

污染源定位:根據(jù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),不同定位方法的結(jié)果如表4所示。表4中,采用了最小二乘方法來(lái)求解解析定位問(wèn)題,使得各節(jié)點(diǎn)的濃度監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和由式(12)給出的理論濃度值的差值的平方和最小。濃度數(shù)據(jù)采用的是第20 s的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。粗略定位算法中選取的是第20 s的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的MPA點(diǎn)?；跐舛鹊任痪€(xiàn)的質(zhì)心算法的定位結(jié)果是節(jié)點(diǎn)1,5,3,7所在圓形等位線(xiàn)以及節(jié)點(diǎn)2,4,6,8所在圓形等位線(xiàn)的質(zhì)心的平均值。從實(shí)驗(yàn)1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看,質(zhì)心定位算法有更高的精確度。

表2 實(shí)驗(yàn)1中各節(jié)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)值

表3 節(jié)點(diǎn)探測(cè)到污染的時(shí)間(實(shí)驗(yàn)1)

表4 不同定位算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(實(shí)驗(yàn)1)

實(shí)驗(yàn)2:靜態(tài)水體中受邊界限制的濃度場(chǎng)中的污染源定位。

問(wèn)題背景:在淺灘水體中,位置(x0,y0)=(1.05,6.05)m處有一連續(xù)(污染)源,該污染源靠近不透水邊界Y。水域大小為10 m×10 m,水深f=10 m。自t0=0 h起污染物溶液被排入水體中,質(zhì)量流率M為100 kg/h,擴(kuò)散系數(shù)為K=1 m2/h。擴(kuò)散過(guò)程可由式(13)描述[17]:

(13)

以λ為變量的erfc函數(shù)為:

該實(shí)驗(yàn)采用水文仿真軟件MODFOLW[18]實(shí)現(xiàn),各節(jié)點(diǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表5所示。在仿真實(shí)驗(yàn)中節(jié)點(diǎn)(0.85,6.75)和節(jié)點(diǎn)(0.85,5.35),節(jié)點(diǎn)(0.55,7.25)和節(jié)點(diǎn)(0.55,4.85),節(jié)點(diǎn)(1.75,7.25)和節(jié)點(diǎn)(1.75,4.85),節(jié)點(diǎn)(0.15,7.55)和節(jié)點(diǎn)(0.15,4.55),節(jié)點(diǎn)(2.25,7.95)和節(jié)點(diǎn)(2.25,4.15)分別置于同一濃度等位線(xiàn)上。

數(shù)據(jù)預(yù)處理:閾值γ=0.05 g/L。采用簡(jiǎn)單污染探測(cè)算法,各節(jié)點(diǎn)探測(cè)到污染的時(shí)間如表6所示。顯然污染源位置的邊界條件為B={x0|10>x0>0}。

對(duì)比以下3種污染源位置定位方法:

粗略定位方法:在本實(shí)驗(yàn)中最大監(jiān)測(cè)點(diǎn)算法(MPA)和最早探測(cè)點(diǎn)算法(EPA)得到的為同一點(diǎn)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)密集,某節(jié)點(diǎn)接近于污染源時(shí),定位精度較高,否則有較大的定位誤差。

基于模型的解析定位方法:采用了非線(xiàn)性最小二乘方法來(lái)求解解析定位問(wèn)題,使得各節(jié)點(diǎn)的濃度監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和由式(13)給出的理論濃度值的差值的平方和最小。濃度數(shù)據(jù)采用的是第4.0 h的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),定位結(jié)果如表7所示。

表5 實(shí)驗(yàn)2中各節(jié)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)值

表6 節(jié)點(diǎn)探測(cè)到污染的時(shí)間(實(shí)驗(yàn)2)

本文質(zhì)心定位方法:不同的節(jié)點(diǎn)組合下定位結(jié)果不同。例如在節(jié)點(diǎn)組1:{(1.35,5.15),(1.35,6.95),(0.85,6.75),(0.85,5.35),(0.55,7.25),(0.55,4.85),(1.75,7.25),(1.75,4.85),(2.25,7.95),(2.25,4.15),(0.15,4.55),(0.15,7.55),節(jié)點(diǎn)組2:{(1.35,5.15),(1.35,6.95),(1.75,7.25),(1.75,4.85),(2.25,7.95),(2.25,4.15)},節(jié)點(diǎn)組3:{(0.85,6.75),(0.85,5.35),(0.55,7.25),(0.55,4.85),(2.25,7.95),(2.25,4.15)} 下有不同的定位結(jié)果，如表8所示。

結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析,有:①基于擴(kuò)散模型的水污染源定位算法的結(jié)果與數(shù)值計(jì)算中選擇的初值有關(guān),事實(shí)上在數(shù)值計(jì)算中應(yīng)設(shè)置變量邊界以使得計(jì)算結(jié)果收斂。②質(zhì)心定位算法的定位結(jié)果比任何一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)離污染源都近。③在本實(shí)驗(yàn)中,相對(duì)其他污染源定位算法,質(zhì)心算法有更好的定位結(jié)果。

表7 基于模型的解析定位結(jié)果(實(shí)驗(yàn)2)

表8 不同節(jié)點(diǎn)組的定位結(jié)果

實(shí)驗(yàn)3:一般情形下的質(zhì)心定位算法

問(wèn)題背景:在淺灘水體中,水域大小為200 cm×200 cm,水深f=100 cm。在水域中心有一連續(xù)(污染)源。自t0=0 s起MgSO4溶液被排入水體中。污染源和節(jié)點(diǎn)位置如圖4所示。各節(jié)點(diǎn)的實(shí)地監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如表9所示,具體實(shí)驗(yàn)工作可參考前期工作[16]。在本實(shí)驗(yàn)中,由于溶液排放速率非常量,并沒(méi)有解析擴(kuò)散模型,基于模型的解析定位方法無(wú)法采用。記節(jié)點(diǎn) 1,節(jié)點(diǎn) 2,節(jié)點(diǎn) 3,節(jié)點(diǎn) 4,節(jié)點(diǎn) 5,節(jié)點(diǎn) 6,節(jié)點(diǎn)7,節(jié)點(diǎn) 8的位置分別為(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),(a4,b4),(a5,b5),(a6,b6),(a7,b7),(a8,b8)。

表9 實(shí)驗(yàn)3中各節(jié)點(diǎn)的監(jiān)測(cè)值

表10 節(jié)點(diǎn)探測(cè)到污染的時(shí)間(實(shí)驗(yàn)3)

圖4 實(shí)驗(yàn)3中節(jié)點(diǎn)部署和污染源位置

數(shù)據(jù)預(yù)處理:顯著性水平α=0.05,采用Wilcoxon秩和檢驗(yàn),節(jié)點(diǎn)探測(cè)時(shí)間如表10所示。傳感器節(jié)點(diǎn)的最小分辨率為0.01 g/L,根據(jù)節(jié)點(diǎn)污染探測(cè)時(shí)間以及監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)易推得節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)5在同一軸對(duì)稱(chēng)濃度等位線(xiàn)上,節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)6在同一軸對(duì)稱(chēng)濃度等位線(xiàn)上。

①一般情形下的定位結(jié)果

區(qū)域D為:

D=

邊界條件為B={x0|200>x0>0},基于式(1)的定位結(jié)果為(0,140/9)cm。

②根據(jù)濃度等位線(xiàn)的定位結(jié)果

根據(jù)對(duì)稱(chēng)條件,有

定位結(jié)果為(0,20)cm。

采用EPA或CPA定位算法時(shí),定位結(jié)果是某節(jié)點(diǎn)的位置。本實(shí)驗(yàn)中得到的估計(jì)位置都比各節(jié)點(diǎn)離污染源近,即估計(jì)結(jié)果都優(yōu)于EPA或CPA定位算法。

縱觀(guān)以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果,說(shuō)明了本文水污染源質(zhì)心算法相對(duì)其他典型水污染源定位算法的優(yōu)越性。

5 結(jié)論和未來(lái)研究工作

本文提出了一種質(zhì)心算法定位水污染源。該方法不依賴(lài)于擴(kuò)散模型,其關(guān)鍵步驟是確定污染源所在區(qū)域,其次是計(jì)算該區(qū)域的幾何質(zhì)心,質(zhì)心位置即污染源位置。當(dāng)濃度場(chǎng)中存在對(duì)稱(chēng)的濃度等位線(xiàn)時(shí)討論了質(zhì)心算法的解析解。在實(shí)驗(yàn)部分檢驗(yàn)了本文算法,并與粗略定位算法以及基于模型的解析定位算法進(jìn)行了對(duì)比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性。

在后續(xù)工作中,將討論定位算法在實(shí)地環(huán)境工作中難免遇到的一些問(wèn)題,如數(shù)據(jù)有效性問(wèn)題,即數(shù)據(jù)使用之前對(duì)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的清理;節(jié)點(diǎn)漂移問(wèn)題,即非靜態(tài)水體中參與污染源定位的觀(guān)測(cè)節(jié)點(diǎn)實(shí)際位置可能相對(duì)于錨位置有所偏差,如何糾正位置漂移帶來(lái)的估計(jì)誤差的問(wèn)題。

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