韓苗+宋鳳麗+周圣武+張艷

摘 要：統(tǒng)計學(xué)是以數(shù)據(jù)為研究對象的科學(xué)，離不開計算機的應(yīng)用，特別是統(tǒng)計軟件的使用不僅促進了統(tǒng)計科學(xué)的發(fā)展，也使得統(tǒng)計學(xué)的教與學(xué)發(fā)生了變化。借助統(tǒng)計軟件通過隨機模擬實驗來驗證解析方法已經(jīng)得出的結(jié)論，這種可視化，直觀化的教學(xué)方式有助于學(xué)生對相關(guān)概念的理解和記憶，同時也豐富了課堂教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維能力。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計學(xué) 隨機模擬 統(tǒng)計軟件

中圖分類號：G64 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）10（b）-0235-03

Abstract： Combined with the characteristics of statistics courses， the application of stochastic simulation in the teaching of statistics are illustrated by real examples. Statistical software are used to verify the results of analytical methods by means of random simulation experiments. This visual teaching methods are more helpful in improving students' understanding and memory of relevant concepts. It can also enrich the classroom teaching and learning experience， arouse students' interests and cultivate the students' statistical thinking ability.

Key Words： Statistics；Stochastic simulation；Statistical software

統(tǒng)計學(xué)是一門關(guān)于數(shù)據(jù)的科學(xué)，是關(guān)于數(shù)據(jù)的搜集、整理和分析的一般方法論。不同于數(shù)學(xué)是以公理系統(tǒng)為基礎(chǔ)，以演繹為基本思想方法的邏輯體系[1]，統(tǒng)計學(xué)蘊含隨機性、不確定性和允許誤差。統(tǒng)計學(xué)強調(diào)如何使用統(tǒng)計方法來解決實際問題，而對于方法的理解，就需要與實例相結(jié)合的直觀印象，采用計算機化教學(xué)、突出統(tǒng)計軟件的使用是統(tǒng)計教學(xué)的趨勢。

在統(tǒng)計教學(xué)過程中，借助統(tǒng)計軟件進行探索性數(shù)據(jù)分析，通過隨機模擬來驗證解析方法已經(jīng)得出的結(jié)論，是一種非常有效的教學(xué)方法[2]。在多年的統(tǒng)計教學(xué)過程中，教師適當(dāng)?shù)卦黾与S機模擬演示有助于學(xué)生更好地理解統(tǒng)計學(xué)中一些概念，讓學(xué)生有深刻的直觀印象，同時也有利于豐富課堂教學(xué)，增加課程的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維能力。

1 隨機模擬在無偏性概念中的演示

參數(shù)的點估計[3-4]是針對未知參數(shù)圍繞樣本構(gòu)造估計量，對同一個參數(shù)，不同的估計方法可以得到不同的估計量，因此自然會面臨“哪一個估計量更好”的問題，既然要評價好壞，就有必要建立評價估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)，一般最常用的標(biāo)準(zhǔn)是無偏性、有效性、相合性（一致性）。估計量是樣本的函數(shù)，因而也是一個隨機變量，由于每次觀察所得的樣本值一般是不同的，因此求得的估計值也不同。從而評價一個估計量的優(yōu)劣，不能僅僅根據(jù)一次抽樣結(jié)果做出定論，而應(yīng)該從整體上進行把握，根據(jù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)來評價。所以一個好的估計，應(yīng)在多次重復(fù)試驗中體現(xiàn)出其優(yōu)良性。如何理解統(tǒng)計意義下估計量與待估參數(shù)之間的“接近”，我們可以借助統(tǒng)計軟件進行隨機模擬演示來解釋。

估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值。一個自然的要求是希望估計值在未知參數(shù)真值的附近，不要偏高也不要偏低，由此引入無偏性標(biāo)準(zhǔn)。如果 是未知參數(shù)的估計量，若，則稱該估計量是未知參數(shù)的無偏估計，無偏性是對估計量的一個常見而重要的要求，其實際意義是指估計量沒有系統(tǒng)偏差，只有隨機偏差。從理論推導(dǎo)上來說，學(xué)生能夠掌握證明估計量無偏性的方法步驟，但從統(tǒng)計意義上來講，無偏性是指的一次觀察值與真實值有偏差，可能大也可能小，但多次抽樣所得到的估計值的平均值應(yīng)該很接近，即在平均意義下，與沒有偏差。如何讓學(xué)生有更直觀理解呢，我們借助下面的隨機模擬實驗演示。

我們熟知的常用統(tǒng)計量中，是的無偏估計，而樣本二階中心矩不是的無偏估計，雖然我們可以很容易從理論上來證明，但有時我們更需要從統(tǒng)計意義上直觀來理解。借助R軟件程序包[5-6]，設(shè)計實驗隨機模擬產(chǎn)生的樣本，則真實值，固定樣本容量，分別計算樣本方差和樣本二階中心矩。為了計算樣本方差和樣本二階中心矩的均值，我們分別做次抽樣，取值從200，300一直到5000，共49種情況下和的均值，兩者的變化規(guī)律如圖1所示。這里，，從圖1可以很直觀看出，的均值在12附近擾動，隨著抽樣次數(shù)增加越來越靠近真實值12，說明用估計只會產(chǎn)生隨機偏差，不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。而的均值在11.4附近擾動，與真實值12有系統(tǒng)偏差，這種偏差不會因為大量重復(fù)抽樣而減小，是無法避免的，說明這個估計量本身構(gòu)造的不好。這樣學(xué)生對于無偏性的概念就有了直觀形象的認識，使學(xué)生對無偏性概念有了更深刻的理解和記憶。

2 隨機模擬在相合性概念中的演示

我們不僅希望一個估計量是無偏的，并且具有較小的方差，還希望當(dāng)樣本容量無限增大時，估計量能在某種意義下任意接近未知參數(shù)的真值，由此引入相合性的評價標(biāo)準(zhǔn)。相合性是指樣本容量充分大時，估計量依概率收斂到未知參數(shù)的真實值，樣本容量越大，估計越精確。

同樣我們也借助R軟件程序包[5-6]進行實驗設(shè)計，模擬產(chǎn)生的樣本，，樣本均值，我們可以證明是的相合估計量。下面我們通過隨機模擬來觀察隨著樣本容量的增大，的變化趨勢。我們設(shè)定樣本容量從1變到150，為了能直觀的觀察過程變化，每個樣本容量上，重復(fù)抽樣30次。得到下面的圖2，我們可以看出隨著的增大，接近的可能性越來越大。也就是說樣本容量越大，估計越精確。相合性是估計量依概率收斂到未知參數(shù)真實值，它區(qū)別于我們在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的收斂概念，不能做到對任意，當(dāng)充分大時，一定成立，只能說對任意，事件發(fā)生的概率很大，并不能排除這種情況的發(fā)生。因此圖形的可視化也讓學(xué)生對概率意義下的收斂有個直觀清晰的認識。endprint

3 隨機模擬在置信度概念中的演示

我們在講到參數(shù)的區(qū)間估計時，會涉及到估計的置信度也稱為可靠度概念，如何理解這個置信度呢，比如置信度90%，一般的教學(xué)中，我們會這樣解釋，置信區(qū)間本身是個隨機區(qū)間，但是當(dāng)我們具體抽樣的時候就會得到具體的區(qū)間，這個區(qū)間要么包含真實值，要么不包含真實值，如果重復(fù)抽樣100次的話，將會得到100個具體區(qū)間，這100個區(qū)間中包含真實值的應(yīng)該有90個左右，同樣不包含真實值的有10個左右，這是關(guān)于置信度的統(tǒng)計意義。但這樣說學(xué)生還是心有疑惑，如果我們設(shè)計實驗，利用動態(tài)抽樣模擬，讓實驗結(jié)果來說明這個結(jié)論，學(xué)生直觀上就能夠很好的理解這個概念了。這里我們借助R軟件程序包[5][6]，隨機模擬產(chǎn)生樣本，樣本容量50，重復(fù)抽樣100次，由區(qū)間估計的定義我們知道的置信度為90%置信區(qū)間為，程序運行一次，我們就可以得到一次結(jié)果，圖3就是一次模擬結(jié)果的展示。圖中，橫虛線代表的真實值0，豎線段代表一次次抽樣得到的一個個具體的區(qū)間，中點實際上就是點估計值，如果這個區(qū)間包含真實值0就與中間橫虛線有交點否則是不包含沒有交點。從最終的一次統(tǒng)計結(jié)果來看，包含真實值的區(qū)間一共有91個，沒有包含真實值的有9個用紅色標(biāo)出。當(dāng)然我們可以多次運行程序，這樣我們就會得到不同的結(jié)果，但是會發(fā)現(xiàn)多次實驗，包含真實值的區(qū)間基本上都是90個左右，這樣就讓學(xué)生對理論上的結(jié)果有個實際的驗證，直觀的認識，更易于學(xué)生理解。同時這樣讓學(xué)生參與到實驗中來，也豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)了學(xué)生的興趣，收到了良好的教學(xué)效果。

4 結(jié)語

隨機模擬實驗在統(tǒng)計教學(xué)中的作用非常重要，傳統(tǒng)教學(xué)中都是在理論上進行講解說明，而借助統(tǒng)計軟件，從統(tǒng)計的角度進行直觀的模擬演示，讓學(xué)生在頭腦中形成空間或圖形的直觀感受，給出形象直觀的解釋及說明，從而使抽象的概念和結(jié)論變得易于理解和記憶。這種教學(xué)方式既可以幫助學(xué)生更好的理解統(tǒng)計中的一些基本概念，同時也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維和實踐能力。

參考文獻

[1] 劉超，吳喜之. 統(tǒng)計教學(xué)面對的挑戰(zhàn)[J].統(tǒng)計研究，2012，29（4）：105-108.

[2] 孟生旺，袁衛(wèi). 大數(shù)據(jù)時代的統(tǒng)計教育[J].統(tǒng)計研究，2015，32（4）：3-7.

[3] 茆詩松. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 第二版，北京：高等教育出版社，2011.

[4] 周圣武，李金玉等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 第二版，煤炭工業(yè)出版社，2007.

[5] Yihui Xie （2013）. animation： An R Package for Creating Animations and Demonstrating Statistical Methods. Journal of Statistical Software， 53（1）， 1-27. URL http：//www.jstatsoft.org/v53/i01/.

[6] Yihui Xie [cre， aut]， Christian Mueller [ctb]， Lijia Yu [ctb]，Weicheng Zhu [ctb] （2015）. animation： A Gallery of Animations in Statistics and Utilities to Create Animations. R package version 2.4.endprint