朱偉峰 王斌 姜寧

摘要：依據(jù)最小二乘法原理推求作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)可能存在參數(shù)不合理、模型模擬精度尚可提升、試驗(yàn)處理少而難于估計(jì)模型參數(shù)等問(wèn)題。針對(duì)這些問(wèn)題，以Jensen模型參數(shù)推求為例，引入自由搜索（Free Search，F(xiàn)S）算法率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)，將FS單個(gè)動(dòng)物每步探查行走的位置向量作為參數(shù)的一組潛在解，利用FS算法的動(dòng)物群體遷移行為推求一組最優(yōu)參數(shù)，從而改善作物水分響應(yīng)模型的適用性。三個(gè)實(shí)例研究結(jié)果表明：FS算法概念清晰，操作便捷，可以直接率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)，不需轉(zhuǎn)換作物水分響應(yīng)模型的數(shù)學(xué)形式，能夠有效避免參數(shù)出現(xiàn)負(fù)值或大于1等不合理現(xiàn)象，并提升作物水分響應(yīng)模型的模擬精度;當(dāng)難于采用線性回歸方法時(shí)，可以考慮利用FS算法推求作物水分響應(yīng)模型參數(shù)。

關(guān)鍵詞：作物水分生產(chǎn)函數(shù);作物水分響應(yīng)模型;殘差平方和;參數(shù)估計(jì);自由搜索

中圖分類(lèi)號(hào)：S274.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：朱偉峰

Estimation for parameters of Jensen model using free search algorithm

ZHU Weifeng.1，WANG Bin.2，JIANG Ning.3

（1.Water Conservancy Management Center of Heilongjiang Province，Harbin 150040，China;

2.College of Water Conservancy and Civil Engineering，Northeast Agricultural University，Harbin 150030，China;

3.College of Water Conservancy and Power，Heilongjiang University，Harbin 150080，China）

Abstract：Using the least square method to estimate the parameters of the model of crop response to water （MCRW） may present some problems such as unreasonable parameters，unsatisfying simulation accuracy，and inestimable parameter due to insufficient irrigation experimental treatments.To solve these problems，F(xiàn)ree Search （FS） was used to estimate the parameters of Jensen model in this paper.The position vector of each exploratory step of the individual animal of FS was taken as a set of potential solutions of the parameter，and a set of optimal parameters was estimated based on the animal group migration of the FS algorithm.Three case studies showed that the FS algorithm can calibrate directly the parameters of Jensen model without converting the model.FS can also effectively avoid unreasonable phenomenon such as a negative parameter or a parameter greater than 1，and improve the simulation accuracy of the Jensen model.When it is difficult to adopt the linear regression method，F(xiàn)S algorithm can be used to estimate the parameters of MCRW.

Key words：crop water production function;model of crop response to water;residual sum of squares;parameter estimation;free search

作物產(chǎn)量與水分投入量（或消耗量）之間的數(shù)學(xué)關(guān)系稱(chēng)為作物水分生產(chǎn)函數(shù)（Crop Water Production Function，CWPF），而描述作物水分生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為作物水分響應(yīng)模型（Model of Crop Response to Water，MCRW）[1-4]。在大量的灌溉試驗(yàn)基礎(chǔ)上，國(guó)外學(xué)者提出了一系列不同形式的作物水分響應(yīng)模型，這些模型通?？梢苑譃槿谀Ｐ秃蜕A段模型兩大類(lèi)，后者一般還可以細(xì)分為相加模型和相乘模型，其中常見(jiàn)的相加模型有Blank模型、Stewart模型、Singh模型等，而Jensen模型和Minhas模型則是較經(jīng)典的相乘模型[1-2，4-8]。我國(guó)自20世紀(jì)80年代開(kāi)始從國(guó)外引進(jìn)各種作物水分響應(yīng)模型，并針對(duì)不同地區(qū)的氣候、土壤、作物品種等因素與作物產(chǎn)量的關(guān)系，通過(guò)非充分灌溉試驗(yàn)開(kāi)展了大量的模型考核、模型篩選及模型參數(shù)估計(jì)工作，從研究小麥、玉米、水稻等作物擴(kuò)展為研究棉花、葡萄、馬鈴薯、紅棗等[8-11]，澇漬脅迫、干旱、寬壟溝灌等生產(chǎn)條件也逐漸被考慮進(jìn)來(lái)[12-14]，并把作物不同生育階段的水分敏感性與作物的根系生長(zhǎng)、葉面積氣孔效應(yīng)、光合產(chǎn)物分配等研究結(jié)合起來(lái)，極大促進(jìn)了我國(guó)節(jié)水灌溉理論與實(shí)踐的發(fā)展。

然而，在推求作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)，對(duì)于全生育期模型，通常結(jié)合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用一元或多元線性回歸方法求解模型參數(shù);而生育階段模型一般需要經(jīng)對(duì)數(shù)變換等方法先將作物水分響應(yīng)模型轉(zhuǎn)換為線性回歸模型，再根據(jù)最小二乘法原理求回歸系數(shù)的最優(yōu)解從而獲得原作物水分響應(yīng)模型參數(shù)。最小二乘法雖然能夠保證線性回歸模型的殘差平方和（Sum of Squares for Error，SSE）最小，但無(wú)法保證經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換以前的作物水分響應(yīng)模型的SSE同時(shí)最小;并且線性回歸方法求解的參數(shù)可能存在負(fù)值或大于1的可能，與作物水分響應(yīng)模型參數(shù)的物理意義相矛盾;此外，求解多元線性回歸方程組時(shí)對(duì)樣本容量有要求，當(dāng)灌溉試驗(yàn)處理數(shù)（樣本容量）小于等于生育期階段數(shù)（解釋變量個(gè)數(shù)）時(shí)，將難于采取線性回歸方法估計(jì)作物水分響應(yīng)模型參數(shù)。為解決這些問(wèn)題，本文以多個(gè)實(shí)例為研究對(duì)象，引入自由搜索（Free Search，F(xiàn)S）算法[15-16]率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)，以期提供一種改善作物水分響應(yīng)模型適用性的新方法。

1FS率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)原理

FS是一種源于動(dòng)物群體（animals）遷移行為的優(yōu)化算法，在FS的概念性模型中，動(dòng)物群體憑借多次離散運(yùn)動(dòng)通過(guò)搜索空間。在搜索過(guò)程中，動(dòng)物個(gè)體（animal）采取探查行走方式，目的是為了發(fā)現(xiàn)一個(gè)自己偏好的位置，在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中，這個(gè)偏好的位置即為目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)潛在解，在搜索行為結(jié)束時(shí)群體找到的最優(yōu)位置即為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解[15]。

采用FS率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)，單個(gè)動(dòng)物每次探查行走的位置向量對(duì)應(yīng)一組模型的初始參數(shù)，每個(gè)動(dòng)物多步探查的結(jié)果構(gòu)成了如下的作物水分響應(yīng)模型參數(shù)矩陣：

式中：j=1，2，…，m，m為動(dòng)物群體數(shù)量;s為探查步伐數(shù)，k[WTBX]=1，2，…，s;n為FS搜索空間的維數(shù)（即作物水分響應(yīng)模型參數(shù)個(gè)數(shù)，亦即劃分的作物生育階段數(shù)），i=1，2，…，n;Pj為第j個(gè)動(dòng)物在s步探查過(guò)程的位置矩陣（由s組作物水分響應(yīng)模型參數(shù)構(gòu)成）;pk[WTBX]j為第j個(gè)動(dòng)物第k步探查時(shí)的位置向量（即第k[WTBX]組作物水分響應(yīng)模型參數(shù)）;pk[WTBX]ij為第j個(gè)動(dòng)物第k步探查時(shí)第i維位置分量（即第k[WTBX]組參數(shù)中第i個(gè)生育階段的參數(shù)）。

利用FS率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)，需要向FS提供作物各生育階段參數(shù)的變化區(qū)間，考慮到作物水分響應(yīng)模型參數(shù)的物理意義，可將各階段的參數(shù)變化區(qū)間設(shè)置在0～1之間，既為算法提供了參數(shù)初始值的變化范圍，又可以使得算法在尋優(yōu)過(guò)程中獲得的參數(shù)始終具有實(shí)際意義。尋優(yōu)目標(biāo)是使得FS率定參數(shù)的作物水分響應(yīng)模型的SSE最小，目標(biāo)函數(shù)見(jiàn)式（2）。在算法迭代過(guò)程中，F(xiàn)S的每個(gè)動(dòng)物均會(huì)以式（1）為基礎(chǔ)，依據(jù)算法迭代機(jī)制和修改策略不斷更新自己的位置，并利用式（2）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，繼而確定自身下一步的探查位置，從而估計(jì)一組最優(yōu)的作物水分響應(yīng)模型參數(shù)值。

式中：N為灌溉試驗(yàn)處理數(shù)目，I=1，2，…，N;YaI為第I個(gè)處理的作物實(shí)測(cè)產(chǎn)量（kg/ hm.2）;[AKY^]aI為FS率定參數(shù)的作物水分響應(yīng)模型模擬的第I個(gè)處理作物產(chǎn)量（kg/ hm.2）。

FS自動(dòng)判斷是否滿足設(shè)定的終止條件，如果滿足則說(shuō)明算法已經(jīng)搜索到可以接受的最優(yōu)解，如不滿足則繼續(xù)探查搜索。由上述可見(jiàn)，利用FS率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)的方法概念清晰，不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換，能夠便捷地直接尋優(yōu)得到模型參數(shù)。

2利用FS率定和改善作物水分響應(yīng)模型實(shí)例分析

下面僅以在我國(guó)水稻等作物灌溉和估產(chǎn)中應(yīng)用較廣的Jensen模型為例，利用FS推求Jensen模型參數(shù)，分析該方法對(duì)Jensen模型適用性的改善效果，Jensen模型公式如下：

式中：Ya為作物實(shí)際產(chǎn)量（kg/ hm.2）;Ym為作物最高產(chǎn)量（kg/ hm.2）;ETai為第i生育階段作物實(shí)際蒸發(fā)蒸騰量（mm）;ETmi為第i生育階段作物最大蒸發(fā)蒸騰量（mm）;λi為第i生育階段的Jensen模型參數(shù)。[HJ1.86mm]

2.1推求合理的作物水分響應(yīng)模型參數(shù)

在推求作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)，通常先將這些模型轉(zhuǎn)化為某種形式的線性方程組，然后運(yùn)用最小二乘法擬合。這種方法推求的參數(shù)可能存在負(fù)值或者大于1，與作物灌溉促產(chǎn)的實(shí)踐和作物水分響應(yīng)模型的意義不符;實(shí)測(cè)的某生育階段蒸發(fā)蒸騰量可能高于充分灌溉處理的蒸發(fā)蒸騰量，此時(shí)相對(duì)蒸發(fā)蒸騰量大于1，與作物水分響應(yīng)模型相對(duì)蒸發(fā)蒸騰量小于等于1等前提不符，采用線性回歸方法不易處理這種情況;此外，當(dāng)考慮其他因素建立的復(fù)雜模型難于轉(zhuǎn)換成線性表達(dá)式，采用線性回歸方法無(wú)法求解這種情況下的模型參數(shù)。

為研究干旱區(qū)作物-水分關(guān)系，魏占民在內(nèi)蒙古臨河市東郊的巴盟水科所曙光試驗(yàn)站開(kāi)展了玉米等旱作物的非充分灌溉田間試驗(yàn)，其中玉米蒸發(fā)蒸騰量及產(chǎn)量試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1[4]。由表1可見(jiàn)， 00Y3和00Y5處理在灌漿-收獲階段、00Y8和00Y9處理在喇叭口-抽雄階段的蒸發(fā)蒸騰量均高于充分灌溉的處理00Y1，且文獻(xiàn)[4]Jensen模型參數(shù)在拔節(jié)-喇叭口、灌漿-收獲階段均出現(xiàn)了負(fù)值。采用FS率定的Jensen模型模擬結(jié)果見(jiàn)表1，模型參數(shù)對(duì)比情況見(jiàn)表2。

為便于比較，將文獻(xiàn)[4]研究成果一并列入表1、表2中，從表2可以看出，F(xiàn)S在推求Jensen模型參數(shù)時(shí)，參數(shù)率定與模型是否經(jīng)過(guò)線性轉(zhuǎn)換以及各階段的相對(duì)蒸發(fā)蒸騰量大小無(wú)關(guān)，通過(guò)限定參數(shù)變化區(qū)間可以有效避免參數(shù)出現(xiàn)不合理值，且推求的生育階段參數(shù)從大到小排列順序與文獻(xiàn)[4]采納的Minhas模型相同。與原Jensen模型相比，雖然FS率定的Jensen模型SSE略大，但原Jensen模型參數(shù)在兩個(gè)生育階段出現(xiàn)了負(fù)值;此外，經(jīng)計(jì)算文獻(xiàn)[4]采納的Minhas模型的SSE為150 723.9，而FS率定的Jensen模型大大降低了SSE。

2.2提升作物水分響應(yīng)模型模擬精度

為揭示中稻產(chǎn)量與需水量及稻田水分間的定量關(guān)系，崔遠(yuǎn)來(lái)等[5]于1992-1993年在河北省唐海縣農(nóng)科所開(kāi)展了中稻水分生產(chǎn)函數(shù)試驗(yàn)研究，并提出了水資源不足條件下應(yīng)用作物水分生產(chǎn)函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)水稻灌溉制度的方法。該項(xiàng)研究的所有試驗(yàn)處理均在大型稱(chēng)重式蒸滲器內(nèi)進(jìn)行，并利用大型非稱(chēng)重式蒸滲器校核了試驗(yàn)成果，實(shí)測(cè)1992年中稻各處理的蒸發(fā)蒸騰量及產(chǎn)量見(jiàn)表3。

在文獻(xiàn)[5]中，Blank模型和Singh模型參數(shù)均出現(xiàn)了負(fù)值，而Jensen模型和Stewart模型各生育階段參數(shù)從大到小排列順序相同，與中稻的水分生理理論及灌溉實(shí)際經(jīng)驗(yàn)一致，且相關(guān)系數(shù)均較高，均屬合理模型，相對(duì)而言，Jensen模型更適宜描述唐?？h各生育階段水分對(duì)中稻產(chǎn)量的影響。如前文所述，當(dāng)采用線性回歸方法推求Jensen模型參數(shù)時(shí)，雖然能使得轉(zhuǎn)換形式后的線性回歸模型獲得最小SSE，但不一定同時(shí)使得Jensen模型模擬產(chǎn)量的SSE最小。采用FS率定的Jensen模型模擬結(jié)果見(jiàn)表3，模型參數(shù)對(duì)比情況見(jiàn)表4。

從表4可以看出，F(xiàn)S率定的Jensen參數(shù)均為正值，與文獻(xiàn)[5]中的參數(shù)變化規(guī)律完全一致，表現(xiàn)為抽穗開(kāi)花期最大，其次為拔節(jié)孕穗期和分蘗期，最小為乳熟期，且SSE比文獻(xiàn)[5]減小2.2%。雖然模擬精度提升有限，但足以表明在估計(jì)Jensen模型參數(shù)時(shí)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)變換后的線性回歸模型存在降低原模型模擬精度的現(xiàn)象，而采用FS率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)，可以提升作物水分響應(yīng)模型模擬精度。

2.3解決試驗(yàn)處理少時(shí)的模型參數(shù)難于估計(jì)問(wèn)題

在推求作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)，為獲得唯一可行解，應(yīng)滿足N>n+1;為獲得最優(yōu)解，應(yīng)滿足N≥n+1的條件約束[1]。然而，在開(kāi)展作物水分生產(chǎn)函數(shù)試驗(yàn)時(shí)，根據(jù)《灌溉試驗(yàn)規(guī)范（SL 13-2015）》，宜將作物全生育期劃分為4～6個(gè)階段，應(yīng)針對(duì)不同階段的缺水程度安排處理，并安排任何階段均不缺水的處理作為對(duì)照;可依據(jù)不同階段、不同土壤含水率下限或不同的灌水次數(shù)與灌水定額設(shè)計(jì)3～4種缺水水平，同時(shí)安排不同缺水水平下階段間連續(xù)受旱或間隔受旱的處理;各處理需安排3次以上重復(fù)，且各處理的重復(fù)次數(shù)應(yīng)相等[3]。假如按規(guī)范規(guī)定的最低要求開(kāi)展試驗(yàn)，僅將作物全生育期劃分為4個(gè)階段，每個(gè)階段僅設(shè)計(jì)3種缺水水平，僅考慮前后銜接的2個(gè)和3個(gè)生育階段連續(xù)受旱且僅安排一種缺水水平，加上對(duì)照仍需要18個(gè)處理。由于水分生產(chǎn)函數(shù)試驗(yàn)通常需要依托測(cè)坑、蒸滲儀等開(kāi)展，即使安排3次重復(fù)則最少需要54個(gè)測(cè)坑或蒸滲儀，通常很難具備這樣的試驗(yàn)條件，當(dāng)試驗(yàn)條件不具備、試驗(yàn)處理數(shù)小于生育階段數(shù)時(shí)，采用線性回歸法難于估計(jì)作物水分響應(yīng)模型參數(shù)。

為研究調(diào)虧灌溉模式對(duì)寒地黑土區(qū)水稻產(chǎn)量的影響，孫艷玲等在黑龍江省慶安縣和平灌區(qū)水稻灌溉試驗(yàn)站采用測(cè)坑試驗(yàn)研究了寒地黑土區(qū)水稻水分生產(chǎn)函數(shù)。該試驗(yàn)考慮了6個(gè)生育期，設(shè)計(jì)了包含對(duì)照在內(nèi)的7個(gè)試驗(yàn)處理，各處理蒸發(fā)蒸騰量及產(chǎn)量實(shí)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表5[6]。雖然試驗(yàn)處理數(shù)比生育階段數(shù)目多1，但當(dāng)采取線性回歸方法求解作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)，如果采用對(duì)數(shù)變換生成多元線性方程組，則對(duì)照處理的相對(duì)蒸發(fā)蒸騰量、相對(duì)產(chǎn)量的對(duì)數(shù)值均為0，此時(shí)試驗(yàn)處理數(shù)目與生育階段數(shù)相同，難于按普通的線性回歸方法求解模型參數(shù)。采用FS率定的Jensen模型模擬結(jié)果表5，模型參數(shù)對(duì)比情況見(jiàn)表6。

從表6可以看出，與文獻(xiàn)[6]相比，F(xiàn)S率定的Jensen模型模擬精度有所下降，SSE大幅增大，這可能是試驗(yàn)處理數(shù)目較少、作物生育階段數(shù)目較多原因造成的。但采用FS率定的Jensen模型參數(shù)均為正值，從大到小排序?yàn)槌樗?gt;分蘗中>分蘗前>分蘗后>拔節(jié)>返青，與慶安縣當(dāng)?shù)氐墓喔葘?shí)際經(jīng)驗(yàn)基本一致，且可以有效推求處理數(shù)較少情況下的作物水分響應(yīng)模型參數(shù)，而文獻(xiàn)[6]的Jensen模型出現(xiàn)了兩個(gè)階段參數(shù)均為負(fù)值的不合理現(xiàn)象。需要說(shuō)明的是，采用此例是為了說(shuō)明在試驗(yàn)處理數(shù)與生育階段數(shù)已定、試驗(yàn)處理數(shù)相對(duì)較少、線性回歸方法失效情況下的作物水分響應(yīng)模型參數(shù)推求方法。

3結(jié)論

針對(duì)根據(jù)最小二乘法原理推求作物水分響應(yīng)模型參數(shù)時(shí)可能存在的參數(shù)不合理、模型模擬精度難于提升、試驗(yàn)處理少時(shí)模型參數(shù)難于推求等問(wèn)題，以Jensen模型為例，引入FS算法率定Jensen模型參數(shù)，以改善該模型的適用性，得到結(jié)論如下。

（1）采用FS率定作物水分響應(yīng)模型參數(shù)，可以限制參數(shù)的變化范圍，有效避免參數(shù)出現(xiàn)負(fù)值或大于1等不合理現(xiàn)象，且參數(shù)的大小排序與當(dāng)?shù)毓喔冉?jīng)驗(yàn)和作物水分響應(yīng)關(guān)系較一致。

（2）即使選取的作物水分響應(yīng)模型合理，利用最小二乘法推求的參數(shù)小于1且不為負(fù)值，但只能保證轉(zhuǎn)化形式后的模型SSE最小，不能保證原作物水分響應(yīng)模型的SSE同時(shí)最小，采用FS不需轉(zhuǎn)換作物水分響應(yīng)模型數(shù)學(xué)形式，可以直接率定模型參數(shù)，且能提升作物水分響應(yīng)模型的模擬精度。

（3）當(dāng)試驗(yàn)處理數(shù)目相對(duì)較少，難于達(dá)到利用最小二乘法的前提條件時(shí)，可以考慮利用FS算法推求作物水分響應(yīng)模型參數(shù)。

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