李昀播

摘 要： 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析對(duì)于機(jī)械臂在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中具有重要意義。本文針對(duì)平面RRR型機(jī)械臂、空間RRR、RRC機(jī)械臂這3種典型的工業(yè)機(jī)械臂進(jìn)行了正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。首先建立坐標(biāo)系，得到各坐標(biāo)系之間的變換矩陣，即可得到機(jī)械臂末端位置與機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)之間的關(guān)系。機(jī)械臂末端執(zhí)行器在末端坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可根據(jù)得到的變換矩陣轉(zhuǎn)換為在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。最終通過(guò)機(jī)械臂的特殊位置，驗(yàn)證了正運(yùn)動(dòng)學(xué)建模分析的正確性。

關(guān)鍵詞： 機(jī)械臂；齊次坐標(biāo)；坐標(biāo)變換；正運(yùn)動(dòng)學(xué)

中圖分類號(hào)： TN98 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

近年來(lái)，機(jī)器人得到了飛速的發(fā)展，成為當(dāng)下的研究熱點(diǎn)，工業(yè)機(jī)器人由于其很強(qiáng)的實(shí)用性得到了廣泛的關(guān)注。國(guó)外出現(xiàn)了瑞士ABB、德國(guó)KUKA等代表性的公司；國(guó)內(nèi)工業(yè)機(jī)器人起步較晚，因此國(guó)家推出了支持工業(yè)機(jī)器人發(fā)展的相關(guān)政策，將在很大程度上促進(jìn)我國(guó)工業(yè)機(jī)器人的發(fā)展。

對(duì)于工業(yè)機(jī)器人，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析具有重要的意義。通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，能夠得到機(jī)器人各關(guān)節(jié)位移與機(jī)器人末端位移之間的關(guān)系，對(duì)于控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)以指定狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到指定位置具有重要意義。本文主要針對(duì)工業(yè)機(jī)器人中常見(jiàn)的RRR及RRC機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與分析，并通過(guò)機(jī)械臂的特殊位形，采用圖解法驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性。

1 RRR機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

1.1 平面RRR機(jī)械臂

典型的平面RRR機(jī)械臂如圖1（a）所示，其由3個(gè)連桿組成，連桿之間通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)相連，且3個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線相互平行。

建立如圖1所示的坐標(biāo)系。其中oxy為基坐標(biāo)系，與基座固定相連；坐標(biāo)系o1x1y1為隨長(zhǎng)度為d1的連桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系，其中x1的方向始終與桿重合，o1與o點(diǎn)重合，該轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ1；坐標(biāo)系o2x2 y2為隨長(zhǎng)度為d2的連桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系，其中x2的方向始終與桿重合，該轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ2；坐標(biāo)系o3x3y3為隨末端執(zhí)行器一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系，其中x3的方向始終與桿重合，該轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ3；機(jī)械臂末端執(zhí)行器末端點(diǎn)記為P。初始狀態(tài)時(shí)，各坐標(biāo)系的x軸均與基坐標(biāo)系的x軸重合。

由此即得到了機(jī)械臂末端執(zhí)行器末端點(diǎn)P的位置與機(jī)械臂各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1、θ2、θ3之間的關(guān)系。

當(dāng)機(jī)械臂具有如圖1（b）所示的特殊位形時(shí)，末端點(diǎn)P的坐標(biāo)可通過(guò)圖解法解出。在這種位形下，θ1=90°，θ2=-90°，θ3=-90°。設(shè)定機(jī)械臂參數(shù)為：d1=15，d2=20，末端點(diǎn)P與o3的距離為5。通過(guò)圖解法得到P點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（20，10，0）T。同樣，通過(guò)上述齊次坐標(biāo)變換矩陣也可求得末端點(diǎn)P的齊次坐標(biāo)為（20，10，0，1）T，與圖解法所得結(jié)果一致，驗(yàn)證了坐標(biāo)齊次變換的正確性。

1.2 空間RRR機(jī)械臂

如圖2（a）所示的空間RRR機(jī)械臂也由3個(gè)連桿組成，連桿之間通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)相連，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)1與轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)2軸線垂直，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)2與轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)3垂直，該機(jī)械臂自由度為3。

建立如圖所示的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系建立方式與上一節(jié)一樣，不再贅述。o1相對(duì)o點(diǎn)沿z軸偏移距離為a0，第一個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ1；o2沿y1軸方向偏移距離為d2，第二個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ2；第三個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ3；機(jī)械臂末端執(zhí)行器末端點(diǎn)記為P。初始狀態(tài)時(shí)，z3的方向與z1的方向平行。

由此即得到了機(jī)械臂末端執(zhí)行器末端點(diǎn)P的位置與機(jī)械臂各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1、θ2、θ3之間的關(guān)系。

當(dāng)機(jī)械臂具有如圖2（b）所示的特殊位形時(shí)，末端點(diǎn)P的坐標(biāo)可通過(guò)圖解法解出。在這種位形下，θ1=-90°，θ2=-90°，θ3=90°。設(shè)定機(jī)械臂參數(shù)為：a0=10；d2=30； a1=20，末端點(diǎn)P與o3的距離為5。通過(guò)圖解法得到P點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（30，20，5）T。同樣，通過(guò)上述齊次坐標(biāo)變換矩陣也可求得末端點(diǎn)P的齊次坐標(biāo)為（30，20，5，1）T，與圖解法所得結(jié)果一致，驗(yàn)證了坐標(biāo)齊次變換的正確性。

2 RRC機(jī)械臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

如圖3（a）所示為空間RRC機(jī)械臂，其由3個(gè)桿件與3個(gè)運(yùn)動(dòng)副連接。前兩個(gè)運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副且軸線平行，第3個(gè)為圓柱副，該機(jī)械臂自由度為4。

建立如圖所示的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系建立方式與上一節(jié)一樣，不再贅述。o1相對(duì)o點(diǎn)沿z軸偏移距離為10，第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ1；第二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ2；第三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角記為θ3； o4相對(duì)o3點(diǎn)沿z3軸偏移距離為l3；機(jī)械臂末端執(zhí)行器末端點(diǎn)記為P。初始狀態(tài)時(shí)，各坐標(biāo)系的y軸均與基坐標(biāo)系的y軸平行。

當(dāng)機(jī)械臂具有如圖3（b）所示的特殊位形時(shí)，末端點(diǎn)P的坐標(biāo)可通過(guò)圖解法解出。在這種位形下，θ1=-90°，θ2=90°，θ3=-90°，l3=10。設(shè)定機(jī)械臂參數(shù)為：l0=10，l1=15，l2=20，末端點(diǎn)P與o4的距離為5。通過(guò)圖解法得到P點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（20， 20， 0）T。同樣，通過(guò)上述齊次坐標(biāo)變換矩陣也可求得末端點(diǎn)P的齊次坐標(biāo)為（20， 20， 0， 1）T，與圖解法所得結(jié)果一致，驗(yàn)證了坐標(biāo)齊次變換的正確性。

結(jié)論

機(jī)械臂末端位置由各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移決定，根據(jù)關(guān)節(jié)位移得到末端位置，對(duì)于機(jī)械臂進(jìn)行實(shí)際作業(yè)具有重要意義。本文對(duì)平面RRR型機(jī)械臂、空間RRR和RRC機(jī)械臂，這3種典型的機(jī)械臂進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與分析。

（1）得到末端執(zhí)行器位置與關(guān)節(jié)角度之間的關(guān)系，對(duì)于控制機(jī)械臂到達(dá)指定位置進(jìn)行操作具有重要意義。

（2）文中采用的數(shù)學(xué)建模方法對(duì)于其他類型的機(jī)械臂也同樣適用，對(duì)于分析其他機(jī)械臂具有重要指導(dǎo)意義。

（3）通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到的位置之間的關(guān)系，對(duì)于后續(xù)分析末端執(zhí)行器速度與加速度打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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