康寧　趙汗青　李霖龍

摘要：本文采用反向求解的方法，在旋轉(zhuǎn)中心任選的情況下，利用幾何法確定旋轉(zhuǎn)中心、用特殊值法快速求解探測(cè)器的間距、利用窮盡算法求出探測(cè)器的方向。在標(biāo)定參數(shù)后，利用濾波反投影重建算法進(jìn)行重建圖像。

關(guān)鍵詞：CT系統(tǒng)；參數(shù)標(biāo)定；成像原理；濾波反投影；窗口處理

中圖分類號(hào)：O29 文獻(xiàn)識(shí)別碼：A 文章編號(hào)：1001-828X（2018）021-0360-03

引言

二維CT系統(tǒng)由發(fā)射器一探測(cè)器系統(tǒng)組成，發(fā)射器發(fā)射一組平行的x射線，經(jīng)過(guò)一段固定的距離，被相應(yīng)的模板吸收能量后，垂直地被等距排列的探測(cè)器接受。探測(cè)器上接受的值為經(jīng)位置固定不動(dòng)的二維待檢測(cè)介質(zhì)吸收衰減后的一個(gè)表征射線能量的值，再經(jīng)過(guò)增益等處理后得到一個(gè)最終值。整個(gè)系統(tǒng)圍繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180次，對(duì)每一個(gè)方向，512個(gè)探測(cè)器都會(huì)返回一個(gè)最終值，形成512個(gè)數(shù)據(jù)，再經(jīng)過(guò)180次旋轉(zhuǎn)，得到180組信息。

由于CT系統(tǒng)在安裝時(shí)存在一些誤差，可借助已知模板對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，并根據(jù)參數(shù)標(biāo)定結(jié)果對(duì)未知樣品進(jìn)行圖像重建。本文主要研究了CT系統(tǒng)成像誤差以及信號(hào)吸收率的問(wèn)題，做出了cT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定和圖像重建。

一、CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定

1.探測(cè)器間距

選取第一次旋轉(zhuǎn)的數(shù)據(jù)，顯然不為O的探測(cè)值是由于對(duì)應(yīng)的x射線穿過(guò)了圓形介質(zhì)或者橢圓形介質(zhì)導(dǎo)致的。選取某一合適方向，利用Maflab，根據(jù)經(jīng)過(guò)小圓的射線，我們可得出經(jīng)過(guò)小圓的29個(gè)探測(cè)器的間隔距離，因?yàn)樾A的直徑被這29個(gè)探測(cè)器所掃描，且其直徑與x射線垂直，所以探測(cè)器元件的間隔為：

2.探測(cè)器旋轉(zhuǎn)方向

通過(guò)對(duì)每一方向512個(gè)探測(cè)器所接受到的信息，繪出180幅根據(jù)接受信息所擬出的圖像，為了進(jìn)一步研究，利用線性回歸、最小二乘法的辦法，將本來(lái)經(jīng)過(guò)圓的射線的接受信息，變成了按原路徑發(fā)射但是不受圓介質(zhì)的吸收效應(yīng)的影響的接受信息，使得圖像只保留x射線經(jīng)過(guò)橢圓的對(duì)應(yīng)接受信息的擬合圖像。先建立一個(gè)合理的參考系，以橢圓的中心為原點(diǎn)，將穿過(guò)橢圓中心和小圓中心的直線定義為x軸，將穿過(guò)橢圓長(zhǎng)軸的直線定義為y軸。

接受信息與相應(yīng)路程d有如下關(guān)系。

J=1.7722×d（式1.1）

運(yùn)用窮盡算法的思想，擬合出橢圓大量的中心半徑與其相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系，并應(yīng)用matlab繪圖。通過(guò)對(duì)每個(gè)方向的曲線分析得到該方向上的極大值，求得相應(yīng)的斜率，并用反三角函數(shù)即得到相應(yīng)的角度，即方向。

3.探測(cè)器旋轉(zhuǎn)中心

利用反雷登變換來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的重建。在Matlab中運(yùn)用irandon函數(shù)實(shí)現(xiàn)逆變換。程序運(yùn)行之后得到了下圖：

通過(guò)確定掃描圖像對(duì)角線交點(diǎn)與橢圓中心的相對(duì)位置來(lái)確定原圖中的旋轉(zhuǎn)中心。首先畫出圖像對(duì)角線交點(diǎn)以及橢圓長(zhǎng)軸與短軸的交點(diǎn)，然后通過(guò)測(cè)量與計(jì)算我們可以得出在變換以后圖像中心相對(duì)于橢圓中心的相對(duì)位置，此相對(duì)位置變換到原圖就是旋轉(zhuǎn)中心。

在圖中作出四條輔助線，其中紅線為圖像的對(duì)角線，黃點(diǎn)為對(duì)角線交點(diǎn)，藍(lán)線為以橢圓的兩個(gè)軸延伸的直線。其中通過(guò)輔助線我們可以得出黃點(diǎn)相對(duì)于藍(lán)線交點(diǎn)的相對(duì)位置為（-10.3697，6.6461），所以旋轉(zhuǎn)中心的位置為（-10.3697，6.6461）。

二、CT系統(tǒng)圖像重建

CT成像的本質(zhì)是衰減系數(shù)成像，通過(guò)對(duì)接收器各個(gè)方向的能量值進(jìn)行濾波反投影成像，可以求出該介質(zhì)各體素的衰減系數(shù)值，獲得衰減系數(shù)的二維分布，即衰減系數(shù)矩陣。根據(jù)CT值的定義以及CT值與衰減系數(shù)的關(guān)系，將衰減系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為CT值矩陣，并利用MATLAB將各像素的CT值轉(zhuǎn)化為灰度，生成CT影像。

1.求解衰減系數(shù)分布函數(shù)

根據(jù)濾波反投影重建算法推導(dǎo)出衰減系數(shù)分布函數(shù)的求解過(guò)程：

假設(shè)物體在xy平面內(nèi)都不均勻，衰減系數(shù)f=f（x，y）為被測(cè)物體某斷面的線性衰減系數(shù)的分布函數(shù)。當(dāng)初始強(qiáng)度為I₀的x射線穿過(guò)物體時(shí)，探測(cè)器檢測(cè)到的I服從Beer定理：

g_θ（l）為被檢測(cè)物體某斷面的衰減系數(shù)在θ方向的線積分值。

根據(jù)中心切片定理的定義，f（x，y）在某一方向上的投影函數(shù)g_θ（l）的一維傅里葉變換函數(shù)G_θ（l）是f（x，y）的二維傅里葉變換函數(shù)F（ρ，θ）在（ρ，θ）平面上沿同一方向且過(guò)原點(diǎn)的直線上的值。

根據(jù)所求得的180個(gè)方向，可以得到對(duì)應(yīng)的180個(gè)投影函數(shù)函數(shù)數(shù)據(jù)，通過(guò)傅里葉變換：

從旋轉(zhuǎn)方向可知，180組板旋轉(zhuǎn)角度基本是均勻的，則上式可以變形為：

理想的濾波器是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，我們需要對(duì)理想濾波函數(shù)進(jìn)行加窗處理。為了使重建圖像輪廓清楚，且盡可能減小振蕩現(xiàn)象引起的圖像模糊，采用S-L濾波函數(shù)，使用較平滑的窗函數(shù)：

2.將衰減系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為灰度值矩陣

CT值為通過(guò)衰減系數(shù)換算得到的每個(gè)體素對(duì)x線的吸收能力，其計(jì)算公式為：

根據(jù)式（2.13）可以實(shí)現(xiàn)衰減系數(shù)與CT值的互相轉(zhuǎn)化。Matlab可以將求解出的CT值矩陣轉(zhuǎn)化為灰度值矩陣并生成圖像。

以下為求解過(guò)程：目的是消除不同介質(zhì)體素衰減系數(shù)差異不同的量綱影響。吸收強(qiáng)度值為對(duì)灰度值矩陣進(jìn)行歸一化處理后映射到[0，1]之間的結(jié)果。采用了離差標(biāo)準(zhǔn)化方法，其轉(zhuǎn)換函數(shù)如下：

根據(jù)灰度值矩陣G以及歸一化處理過(guò)程，可以得到256×256的吸收強(qiáng)度矩陣。根據(jù)已經(jīng)建立的坐標(biāo)軸，以及橢圓模板幾何信息與坐標(biāo)軸的對(duì)應(yīng)，定位出吸收強(qiáng)度在坐標(biāo)軸中的位置，幾何形狀以及對(duì)應(yīng)的吸收率。

三、結(jié)語(yǔ)

根據(jù)上述方法，可以通過(guò)已知模板信息對(duì)安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，并基于濾波反投影算法，利用Matlab軟件，進(jìn)行cT系統(tǒng)的圖像重建。