何國(guó)堅(jiān)

[摘 要] 數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)形結(jié)合思想解題，?？墒盏交y為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯的功效.但在利用“以形助數(shù)”解決問(wèn)題時(shí)，須注意圖形的等價(jià)性、完整性、準(zhǔn)確性和存在性，謹(jǐn)防圖形失真.

[關(guān)鍵詞] 以形助數(shù)；等價(jià)性；準(zhǔn)確性；存在性；完整性

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非”. 數(shù)形結(jié)合思想就是使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，由“數(shù)”想“形”，由“形”思“數(shù)”. 利用數(shù)形結(jié)合思想解題，?？墒盏交y為易，化繁為簡(jiǎn)，化隱為顯的功效.但在利用“以形助數(shù)”解決問(wèn)題時(shí)，如果忽視圖形的等價(jià)性、完整性、準(zhǔn)確性和存在性，往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論的產(chǎn)生.

注意圖形等價(jià)性

圖形的等價(jià)性是指在利用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)，僅利用了圖形的一般情況得出結(jié)論，而沒(méi)有對(duì)圖形的等價(jià)性進(jìn)行研究，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤或片面性失誤. 為此在利用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，一定要注意圖形的等價(jià)性，利用圖形的等價(jià)性解題.

案例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={（x，y）x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B={（x+y，x-y）（x，y）∈A}的面積是多少？

錯(cuò)解：畫(huà)出平面區(qū)域A，如圖1，設(shè)s=x+y，t=x-y，由圖知：0≤s≤1，-1≤t≤1，即平面區(qū)域B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，所以平面區(qū)域B的面積是2.

剖析：要求平面區(qū)域的面積，首先應(yīng)準(zhǔn)確地畫(huà)出平面區(qū)域，而區(qū)域B的表示有點(diǎn)反常規(guī)，上述錯(cuò)誤是學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有把相關(guān)等價(jià)條件全寫(xiě)出來(lái)，從而擴(kuò)大了平面的區(qū)域.正確解法是：設(shè)s=x+y，t=x-y，所以B={（s，t）0≤s≤1，-1≤t≤1}，作出上述不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖2所示，根據(jù)圖形可知平面區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切危悦娣e是1.

在利用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)，由于圖形的準(zhǔn)確性不強(qiáng)，僅由“大致”圖形之間的關(guān)系得出結(jié)論而導(dǎo)致失誤，為此應(yīng)準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，要將圖形的直觀分析與推理論證相結(jié)合.

案例2 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，a>0，方程f（x）=x的兩個(gè)根為x1、，x2，且滿足0

錯(cuò)解：設(shè)y=f（x），y=x，方程f（x）-x=0的兩根實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=f（x）與直線y=x交點(diǎn)的橫坐標(biāo).作出上述兩個(gè)函數(shù)的圖形，如圖3，由圖形的直觀性可知：當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，x

剖析：事實(shí)上函數(shù)f（x）=ax2+bx+c與直線y=x的交點(diǎn)除了上述情況外，還有一種情況，即兩個(gè)交點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

正確解決如下：

除錯(cuò)解中的情況以外，還應(yīng)包含兩個(gè)交點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，此時(shí)有x0，f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）>0，所以f（x）>x，即有x

注意圖形的存在性

在利用數(shù)形結(jié)合法解題對(duì)，往往只注意形與形之間的大致位置關(guān)系，沒(méi)有對(duì)它們的存在性進(jìn)行嚴(yán)密的考察，從而導(dǎo)致失誤，為此在使用數(shù)形結(jié)合時(shí)一定要注意圖形的存在性，不能無(wú)中生有.

案例3 已知拋物線y2=2px（p>0）上有一條長(zhǎng)為a的動(dòng)弦AB，求弦AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值.

錯(cuò)解：如圖4，設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)A，B，M分別作l的垂線，垂足分別為A′，B′，M′，連結(jié)AF，BF. 設(shè)M到y(tǒng)軸的距離為d，由拋物線的定義知：

d=MM′-=-=≥=，

所以dmin=.

剖析：上述解法中取到最小值的條件是A，B，F(xiàn)共線，即弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，而拋物線焦點(diǎn)弦的取值范圍是[2p，+∞），所以要使弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，必有a≥2p，而題設(shè)中并沒(méi)有這個(gè)條件，忽視了圖形的存在性，從而導(dǎo)致失誤. 事實(shí)上，只有當(dāng)a≥2p時(shí)，才有dmin=，而當(dāng)a∈（0，2p）時(shí)，需利用代數(shù)方法得到dmin=.

注意圖形的完整性

在利用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)，我們經(jīng)常是只畫(huà)出圖形的局部，只考慮這種局部的圖形，而沒(méi)有對(duì)圖形的整體進(jìn)行考察，有時(shí)也會(huì)導(dǎo)致失誤.為此在使用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意所用的圖形是否完整，對(duì)有多種情形的題目，一定要分類(lèi)討論，不能以偏概全.

案例4 已知拋物線C：y=-x2+mx-1，點(diǎn)A（3，0），B（0，3），求拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍.

錯(cuò)解：令f（x）=-x2+mx-1，則二次函數(shù)f（x）的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，結(jié)合圖5知拋物線和線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)應(yīng)滿足：

>3-，0<<3，f（3）≤0，f（0）≤0，解之得：-1+

剖析：上述解法僅僅考慮了拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上方這一情形，思維片面，導(dǎo)致錯(cuò)誤. 事實(shí)上，它忽視了頂點(diǎn)在線段AB上和頂點(diǎn)在線段AB下面時(shí)，拋物線與線段AB也有兩個(gè)交點(diǎn)的情形.正確解法如下：AB方程為：x+y=3，代入拋物線方程得：x2-（m+1）x+4=0，則x2+4=（m+1）x，令f（x）=x2+4，g（x）=（m+1）x，等價(jià)于y=x2+4與y=（m+1）x在[0，3]上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由圖6知：3

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，也是培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維的關(guān)鍵. 從上面的分析可以看出：雖然數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)、最有效的思想方法之一，但“形”的直觀也往往會(huì)致使我們失之偏頗. 因此，在利用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)，特別要注意圖形的等價(jià)性、準(zhǔn)確性、存在性和完整性，確保圖形的真實(shí)性，謹(jǐn)防圖形失真.