王志偉，馬偉斌，杜曉燕

(中國(guó)鐵道科學(xué)研究院 鐵道建筑研究所，北京 100081)

高速鐵路因其效率高、經(jīng)濟(jì)效益好等顯著優(yōu)點(diǎn)已經(jīng)在全世界范圍內(nèi)迅速發(fā)展[1]。高速運(yùn)行時(shí)軌枕受力對(duì)剛度較大的板式無(wú)砟軌道板振動(dòng)沖擊強(qiáng)度相應(yīng)提高。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)接觸反力的研究較多?，F(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)方面，彭立敏等[2]以蜈蚣嶺隧道為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)工點(diǎn)，測(cè)試了隧道底部結(jié)構(gòu)豎向動(dòng)應(yīng)力及豎向加速度在仰拱的分布情況，但僅限于特定隧道。數(shù)值分析方面，張玉娥等[3]確定了2種列車接觸反力的定量分析方法，并采用有限元軟件對(duì)隧道底部結(jié)構(gòu)以及圍巖進(jìn)行了動(dòng)力分析，得到不同車速條件下隧道底部結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)特征。由于采用“列車-軌道-隧道”一體化模型，該方法能很好地反映列車荷載的時(shí)間和空間效應(yīng)，但是因理論求解時(shí)過(guò)于復(fù)雜，應(yīng)用在數(shù)值計(jì)算中較困難。理論分析方面，梁波等[4]從引起車輛振動(dòng)的幾何不平順入手，采用英國(guó)軌道不平順管理標(biāo)準(zhǔn)值對(duì)應(yīng)的激振力推導(dǎo)了列車軌枕受力，通過(guò)非線性數(shù)值分析，揭示了路基不同部位剛度變化對(duì)基面變形、動(dòng)應(yīng)力及加速度的影響規(guī)律。然而輪軌接觸反力與鋼軌的強(qiáng)度、剛度及列車本身的振動(dòng)密切相關(guān)，由于推導(dǎo)過(guò)程中假設(shè)鋼軌為剛性結(jié)構(gòu)，故計(jì)算結(jié)果偏大。此外，其研究結(jié)果尚不能反映列車荷載的移動(dòng)特性與車廂前后2個(gè)轉(zhuǎn)向架對(duì)于同一點(diǎn)軌枕受力的疊加效應(yīng)，因而誤差較大。

本文通過(guò)理論分析和數(shù)值計(jì)算，分析隧道底部結(jié)構(gòu)特定監(jiān)測(cè)點(diǎn)的豎向應(yīng)力及豎向加速度的動(dòng)力響應(yīng)特征。

1 半無(wú)限空間連續(xù)體任一點(diǎn)的時(shí)頻域動(dòng)力響應(yīng)函數(shù)

列車行進(jìn)時(shí)，軌道上作用一個(gè)隨時(shí)間變化的列車荷載p(t)，其與時(shí)間相關(guān)，為一時(shí)頻響應(yīng)函數(shù)，又由于列車荷載沿著鋼軌方向推進(jìn)，故p(t)為時(shí)頻域響應(yīng)函數(shù)。假設(shè)鐵路鋼軌為半無(wú)限空間連續(xù)體，軌道上一點(diǎn)x0豎向動(dòng)力響應(yīng)可由廣義Duhamel公式表示。

(1)

式中:μz(x0,t)為t時(shí)刻x0處在p(t)作用下產(chǎn)生的豎向位移響應(yīng)函數(shù)；hzz(x0,y,t-τ)為y=0處作用豎向單位脈沖荷載時(shí)在x0處的豎向位移響應(yīng)；p(τ)為t=τ時(shí)列車荷載函數(shù)。

因?yàn)閠<τ時(shí)，hzz(x0,y,t-τ)=0，則式(1)可變化為

(2)

假設(shè)在某一時(shí)刻τ，列車荷載從原點(diǎn)處以速度v沿y軸正向移動(dòng)到y(tǒng)0=vτ處，則式(2)可變化為

(3)

因鐵路鋼軌剛度很大，在列車作用下可認(rèn)為其始終處于線彈性狀態(tài)。根據(jù)動(dòng)力互等原理得

hzz(x0,vτ,t-τ)=hzz(vτ,x0,t-τ)

(4)

則式(3)可變化為

(5)

由式(1)和式(5)可知，當(dāng)列車荷載作用在y0=vτ處對(duì)x0處的動(dòng)力響應(yīng)等于在x0處作用列車荷載時(shí)y0=vτ處的動(dòng)力響應(yīng)。由軌距與列車車輪直徑的關(guān)系可知，2個(gè)軌枕之間只可能作用一對(duì)列車輪載，若只研究在動(dòng)力作用點(diǎn)處的動(dòng)力響應(yīng)，則有t=τ0。此時(shí)式(5)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(6)

2 高速列車荷載作用下溫克爾彈性梁方程解

如圖1所示，當(dāng)鋼軌上作用單位脈沖荷載時(shí)，p(t)=1。此時(shí)根據(jù)豎向受力平衡有

(7)

式中：E為鋼軌的彈性模量；I為鋼軌慣性矩；x為任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)；μ(x)為鋼軌的撓度；ρ為鋼軌的密度；A為鋼軌的橫截面積；q為基礎(chǔ)分布反力。

圖1 鋼軌連續(xù)梁模型

在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中忽略鋼軌的重度，則式(7)可簡(jiǎn)化為

(8)

根據(jù)溫克爾假定：q=E′μ(x),上式可變化為

(9)

解方程(9)可得

μ(x)=c1ekxcoskx+c2ekxsinkx+

c3e-kxcoskx+c4e-kxsinkx

(10)

根據(jù)邊界條件，在無(wú)窮遠(yuǎn)處鋼軌的豎向撓度為0，豎向振動(dòng)速度也為0，即

(11)

(12)

綜合式(11)和式(12)，可得

(13)

(14)

3 軌枕受力解析式

為求解任意時(shí)刻軌枕受力表達(dá)式，引入英國(guó)鐵路技術(shù)中心推薦的軌枕受力計(jì)算公式。該公式為

(15)

(3) 三種因素都會(huì)對(duì)排水管的淤塞造成影響，隨著水力梯度、排水管壁面積以及土體黏粒含量的增大，排水管的淤塞會(huì)有不同程度上的加劇。

英國(guó)軌道幾何不平順管理值見(jiàn)表1。

表1 英國(guó)軌道幾何不平順管理值

令列車的簧下質(zhì)量為m，則相應(yīng)的振動(dòng)荷載幅值為

(16)

由式(6)和式(14)可得

(17)

根據(jù)溫克爾假定，且軌枕受力R近似等于基礎(chǔ)分布反力q與軌枕間距a的乘積，得列車作用下軌枕受力R=qa=E′aμz(x0,t)，將式(15)和式(17)代入得

(18)

(19)

傳遞系數(shù)φ(x)隨變量kx的變化曲線見(jiàn)圖2?？梢?jiàn)，傳遞系數(shù)最大值為1，隨kx變化傳遞系數(shù)呈兩頭小中間大的趨勢(shì)。

圖2 傳遞系數(shù)φ(x)隨變量kx的變化曲線

圖3 列車模型示意

綜上，軌枕受力的最終表達(dá)式為

(20)

4 工程案例分析

4.1 模型的建立

杜明慶等[10]通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)分析了蘭新二線福川隧道基底動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。本文以該隧道為例進(jìn)行對(duì)比分析，設(shè)計(jì)斷面見(jiàn)圖4。隧道埋深190 m，寬14.7 m，高12.23 m；仰拱厚0.55 m，填充層厚1.25 m；道床板寬2.80 m，高0.29 m。

圖4 隧道設(shè)計(jì)斷面(單位：cm)

采用有限差分軟件FLAC 3D建立數(shù)值模型(見(jiàn)圖5)，模型長(zhǎng)120 m，寬60 m，厚1 m。動(dòng)力計(jì)算之前的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)基底結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)有很大影響，因此在進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算之前進(jìn)行地應(yīng)力初始平衡和隧道開挖計(jì)算，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析。

圖5 數(shù)值模型

4.2 邊界條件與計(jì)算參數(shù)

初始平衡以及隧道開挖計(jì)算過(guò)程中采用固定邊界條件，動(dòng)力計(jì)算過(guò)程中采用黏性動(dòng)力邊界，以消除邊界上動(dòng)力波的反射誤差。

計(jì)算過(guò)程中圍巖采用Mohr-Coulomb本構(gòu)模型，襯砌、水溝、填充層和道床板采用D-P本構(gòu)模型。圍巖以及隧道結(jié)構(gòu)的物理力學(xué)參數(shù)分別見(jiàn)表2與表3。動(dòng)力計(jì)算過(guò)程中采用瑞利阻尼。監(jiān)測(cè)點(diǎn)的布置見(jiàn)圖6。

表2 圍巖物理力學(xué)參數(shù)

表3 隧道結(jié)構(gòu)物理力學(xué)參數(shù)

圖6 監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置(單位：mm)

4.3 結(jié)果分析

4.3.1 不同行車速度下測(cè)點(diǎn)的豎向動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)

圖7 200 km/h時(shí)測(cè)點(diǎn)2豎向動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線

實(shí)測(cè)時(shí)列車通過(guò)隧道采取減速措施。行車速度取50,100，200 km/h。200 km/h時(shí)測(cè)點(diǎn)2豎向動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線見(jiàn)圖7?？芍?，當(dāng)輪對(duì)未對(duì)底部結(jié)構(gòu)造成影響時(shí)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)豎向動(dòng)應(yīng)力基本保持不變，隨著輪對(duì)接近，監(jiān)測(cè)點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)變化顯著。由于1節(jié)車廂有2個(gè)轉(zhuǎn)向架4個(gè)車輪，因此動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線出現(xiàn)了2個(gè)動(dòng)應(yīng)力峰值區(qū)域。由于2個(gè)輪對(duì)的距離很近，因此對(duì)軌枕受力的影響有交疊的作用，豎向動(dòng)應(yīng)力的最大值也出現(xiàn)在輪對(duì)作用在測(cè)點(diǎn)時(shí)。

不同行車速度下測(cè)點(diǎn)豎向動(dòng)應(yīng)力隨距填充層頂面距離變化曲線見(jiàn)圖8。可知，模擬值與實(shí)測(cè)值的變化規(guī)律基本相同。行車速度為100 km/h時(shí)由測(cè)點(diǎn)1到測(cè)點(diǎn)2豎向動(dòng)應(yīng)力實(shí)測(cè)值衰減率為20%，模擬值衰減率為19.5%。在其他各測(cè)點(diǎn)之間實(shí)測(cè)值和模擬值衰減率也近似相等。實(shí)測(cè)值與模擬值接近，可證明軌枕受力數(shù)學(xué)表達(dá)式的正確性。

圖8 不同行車速度下測(cè)點(diǎn)豎向動(dòng)應(yīng)力隨距填充層頂面距離變化曲線

4.3.2 不同行車速度下測(cè)點(diǎn)豎向加速度響應(yīng)

行車速度200 km/h時(shí)測(cè)點(diǎn)2豎向加速度時(shí)程曲線見(jiàn)圖9?？梢?jiàn)曲線明顯分成了2個(gè)峰值區(qū)域，說(shuō)明2節(jié)車廂轉(zhuǎn)向架處的輪對(duì)對(duì)基底結(jié)構(gòu)的作用更加顯著。

圖9 200 km/h時(shí)測(cè)點(diǎn)2豎向加速度時(shí)程曲線

圖10 不同行車速度下測(cè)點(diǎn)豎向加速度隨距填充層頂面距離變化曲線

不同行車速度下測(cè)點(diǎn)豎向加速度隨距填充層頂面距離變化曲線見(jiàn)圖10?？芍孩倌Ｋ浦当葘?shí)測(cè)值略大，但是變化規(guī)律基本一致，并且豎向加速度的衰減規(guī)律和豎向動(dòng)應(yīng)力基本一致。②相同速度下大部分測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)值與模擬值的相對(duì)差值也保持在20%以內(nèi)。速度為50 km/h時(shí)測(cè)點(diǎn)5的相對(duì)誤差較大，這是因?yàn)榇颂幍募铀俣容^其他處小。

5 結(jié)論

本文基于連續(xù)彈性基礎(chǔ)梁理論和溫克爾假定，由廣義Duhamel公式推導(dǎo)了半無(wú)限空間內(nèi)連續(xù)體任一點(diǎn)時(shí)頻域動(dòng)力響應(yīng)函數(shù)，得到了軌枕受力數(shù)學(xué)表達(dá)式。借助有限差分軟件FLAC 3D分析了隧道底部結(jié)構(gòu)特定監(jiān)測(cè)點(diǎn)的豎向動(dòng)應(yīng)力及豎向加速度響應(yīng)特征。通過(guò)將模擬值與實(shí)測(cè)值對(duì)比，驗(yàn)證了所提公式的合理性與適用性，可為隧道底部結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析提供一定的理論基礎(chǔ)。

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