葉杰平
【摘要】 本文探究了軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)的特點,而且還有“意外的收獲”——發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)角度與圖形對稱軸條數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。
【關(guān)鍵詞】 探究 軸對稱 公式特點
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711(2018)11-196-01
人教版五年級數(shù)學(xué)下冊第10頁的第6題,原題為:長方形的兩條對稱軸相交于點O,繞點O旋轉(zhuǎn)長方形。
你發(fā)現(xiàn)它轉(zhuǎn)過多少度后與原來的圖形重合?
按上面的方法試一試,你會發(fā)現(xiàn)下面的圖形有什么特點。
此題研究的是特殊圖形——軸對稱圖形的旋轉(zhuǎn)。與前面學(xué)過的旋轉(zhuǎn)相比,其旋轉(zhuǎn)方式和結(jié)果都明顯不同,有更大的“開發(fā)價值”。于是便有了如下的教學(xué)嘗試:
一、操作實驗,發(fā)現(xiàn)圖形特點
教學(xué)前布置學(xué)生準(zhǔn)備幾套圖形卡片,每套一張底卡(印有這些圖形的硬紙卡)和一張能與之重合的圖形。
(一)研究長方形
師:同學(xué)們,我們一起研究一些特殊圖形的旋轉(zhuǎn)(出示長方形、正三角形、正方形、正六邊形、圓),為什么說這些圖形是特殊圖形呢?
生:它們是軸對稱圖形。
師:對,今天我們研究的就是軸對稱圖形的旋轉(zhuǎn)。這是一個長方形,以這個長方形的對稱軸的交點為中心,旋轉(zhuǎn)多少度后與原來的長方形重合?(學(xué)生猜想)
師:請同學(xué)們拿出長方形紙片,先畫出它的對稱軸,對稱軸的交點就是這個長方形的中心。再用大頭針穿過這個長方形和底卡長方形的中心,拿起來試著旋轉(zhuǎn)一下,看看你們剛才的猜想對不對?(學(xué)生動手操作)
師:都是旋轉(zhuǎn)90度,旋轉(zhuǎn)方向是怎樣的?
生:順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90度都可以與原來的長方形重合。
師:可見與旋轉(zhuǎn)方向沒有關(guān)系,旋轉(zhuǎn)時為什么要用兩個長方形?
生:為了清楚看到長方形到底旋轉(zhuǎn)多少度與原來的長方形重合,為了更好地進行對比。
師:對,旋轉(zhuǎn)時要有一個參照物,才能清楚看到旋轉(zhuǎn)的過程和結(jié)果。
(二)類推研究其它圖形
師:請同學(xué)們畫出正六邊形、正三角形、圓和正方形的對稱軸,然后用同樣的方法,看看它們分別旋轉(zhuǎn)多少度就能與原來的圖形重合?
學(xué)生交流后,板書:
師:你們有什么發(fā)現(xiàn)?
生:繞它們中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后,還與原來的圖形重合。
師:我們得到一個結(jié)論:軸對稱圖形繞它們中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后,還與原來的圖形重合。
二、探究提升,揭示一般規(guī)律
(一)探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律
師:同是軸對稱圖形,它們繞中心旋轉(zhuǎn)到與原來的圖形重合,為什么旋轉(zhuǎn)角度或大或小,到底是什么在影響或決定這個轉(zhuǎn)動角度呢?
生:是邊數(shù),邊數(shù)越多,角度越小。
生:不對,長方形4條邊,正三角形3條邊,怎么長方形要旋轉(zhuǎn)180度,而正三角形卻只需旋轉(zhuǎn)120度呢?
生:是圖形對稱軸的條數(shù)!你看長方形有2條對稱軸,正三角形有3條對稱軸,正方形有4條對稱軸,正六邊形有6條對稱軸。
(師在相應(yīng)圖形下寫出各圖對稱軸的條數(shù))
師:把你們的發(fā)現(xiàn)用自己的話說一說?
生:圖形的對稱軸的條數(shù)越多,旋轉(zhuǎn)角度越小。反過來,圖形對稱軸的條數(shù)越少,旋轉(zhuǎn)角度越大。(板書完整表格以下)
師:請同學(xué)們認真觀察上面的表格,對稱軸的條數(shù)與圖形旋轉(zhuǎn)的角度之間有怎樣的關(guān)系?
生:對稱軸的條數(shù)×旋轉(zhuǎn)度數(shù)=360(板書)
師:通過觀察圖形對稱軸的條數(shù)和旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)了圖形中對稱軸的條數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度的積等于360度。這個關(guān)系式有什么作用?
生:不用旋轉(zhuǎn),直接用360除以對稱軸條數(shù)算出一個軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)多少度就能與原來的圖形重合。
(二)揭示規(guī)律本質(zhì)
師:為什么圖形旋轉(zhuǎn)的角度會與它對稱軸的條數(shù)有關(guān)聯(lián),你明白這其中的道理嗎?(引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、思考:原來以圖形的中心旋轉(zhuǎn)到重合實際上就是一條對稱軸旋轉(zhuǎn)到另一條對稱軸的位置,其間夾角的度數(shù)就是要旋轉(zhuǎn)的度數(shù),圖形有幾條對稱軸就有幾個夾角。所以,360除以對稱軸數(shù)量等于旋轉(zhuǎn)角度)
師:是不是只有旋轉(zhuǎn)這個角度才可以與原來的圖形重合?
(引導(dǎo)學(xué)生得出:圖形旋轉(zhuǎn)一周有幾次重合的機會,這里“一定的角度”是至少要旋轉(zhuǎn)的角度)
三、應(yīng)用規(guī)律,研究特例
師:前面我們研究的軸對稱圖形對稱軸的條數(shù)都是兩條或兩條以上,有沒有圖形只有一條對稱軸的?這樣的圖形旋轉(zhuǎn),情形又會怎樣呢?
生:比如等腰三角形,它只有一條對稱軸,旋轉(zhuǎn)360度就能與原來的等腰三角形重合,也是符合這個規(guī)律的,只是等腰三角形沒有旋轉(zhuǎn)——
師:因為只有一條對稱軸,所以沒有中心,以對稱軸上任意一點為中心旋轉(zhuǎn)都可以,當(dāng)然以對稱軸在圖中線段的中點為中心更省事一些。
師:圓的旋轉(zhuǎn)也符合這個規(guī)律嗎?
引導(dǎo)學(xué)生得出:1.圓有無數(shù)條對稱軸,360除以一個無限大的數(shù),結(jié)果接近于0,旋轉(zhuǎn)時稍微動一下,總能與原來的圓重合。2.因為圓有無數(shù)條對稱軸,相鄰兩條對稱軸之間夾角很小,小到接近于0,隨便動一下,這兩條對稱軸也會重合。所以,圓旋轉(zhuǎn)任意角度都與原來的圓重合。
探究至此,我們不僅發(fā)現(xiàn)了軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)的特點,而且還有“意外的收獲”——發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)角度與圖形對稱軸條數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、概括這個公式的過程中,學(xué)生所經(jīng)歷的從現(xiàn)象到本質(zhì),從定性思考到定量分析,從特殊到一般,從一般到特殊的思維體驗和歷練似乎更有意義。特別地,在探索過程中,對應(yīng)、函數(shù)(反比例)、極限等數(shù)學(xué)思想的滲透對學(xué)生產(chǎn)生的深遠影響,尤其彌足珍貴!更能讓這個“附加值”成為智慧的增長點。