邱紅勝，趙勇強(qiáng)，付紹卿，胡玉華

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430063；2.中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖北 武漢 430056)

0 引 言

近年來(lái)我國(guó)公路建設(shè)飛速發(fā)展，而在一些多軟土地區(qū)，公路路基在施工完成后會(huì)產(chǎn)生較大的工后沉降，造成經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡。因此，對(duì)軟土路基的沉降分析非常重要，其對(duì)于確保公路工程質(zhì)量和降低施工成本都有著極大的研究意義和實(shí)用價(jià)值。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于軟土路基的沉降預(yù)測(cè)已經(jīng)有了較深入的研究，常用的預(yù)測(cè)方法有理論計(jì)算法[1]，灰色預(yù)測(cè)法[2]，指數(shù)曲線法[3]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4]等。其中灰色預(yù)測(cè)法源于1982年我國(guó)著名學(xué)者鄧聚龍?jiān)菏刻岢龅幕疑到y(tǒng)理論[5]，該理論將部分?jǐn)?shù)據(jù)已知，部分未知的小樣本信息稱為灰色信息，通過對(duì)灰色信息的生成和開發(fā)，提取有價(jià)值的數(shù)據(jù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為，變化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控。軟土路基的沉降監(jiān)測(cè)所需時(shí)間周期較長(zhǎng)，往往難以得到足夠的沉降數(shù)據(jù)，因此監(jiān)測(cè)得到的信息是不完全的，屬于灰色信息，可適用于灰色預(yù)測(cè)。

灰色Verhulst模型是灰色預(yù)測(cè)模型中的一種，主要用于描述灰色信息先增長(zhǎng)，后逐漸趨向穩(wěn)定的變化過程，即s型曲線過程，這與軟土路基的沉降趨勢(shì)是一致的，筆者在傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的基礎(chǔ)上，利用SA算法(又稱模擬退火算法)對(duì)模型進(jìn)行了優(yōu)化，提高了沉降預(yù)測(cè)精度，解決了傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)誤差較大的問題，為工程中的路基沉降問題提供了一種新的研究方法。

1 傳統(tǒng)灰色Verhulst模型建模機(jī)理

設(shè)s(1)為工程實(shí)測(cè)得到的沉降序列，s(0)為s(1)的一次累減序列，有

s(1)=[s(1)(1)，s(1)(2)，…，s(1)(n)]T

(1)

s(0)=[s(0)(1)，s(0)(2)，…，s(0)(n)]T

(2)

其中：

s(0)(1)=s(1)(1)

(3)

s(0)(k)=s(1)(k)-s(1)(k-1)，k=2，3，…，n

(4)

設(shè)t(1)為非等間隔的時(shí)間序列，t(0)為t(1)的一次累減序列，t(0)和t(1)均為非負(fù)序列：

t(1)=[t(1)(1)，t(1)(2)，…，t(1)(n)]T

(5)

t(0)=[t(0)(1)，t(0)(2)，…，t(0)(n)]T

(6)

其中：

t(0)(1)=t(1)(1)

(7)

t(0)(k)=t(1)(k)-t(1)(k-1)，k=2，3，…，n

(8)

設(shè)z(1)為灰色Verhulst的背景值，z(1)由s(1)鄰均值等權(quán)生成，其中：

z(1)=[(z(1)(1)，z(1)(2)，…，z(1)(n)]T

(9)

z(1)(k)=0.5s(1)(k)+0.5s(1)(k-1)，k=2，3，…，n

(10)

則得灰色Verhulst模型：

s(0)(k)+az(1)(k)=b[z(1)(k)]2

(11)

式中：a為發(fā)展系數(shù)，b為控制系數(shù)。

灰色Verhulst模型白化方程為

(12)

令：

(13)

可推導(dǎo)出

s(0)(k)=-az(1)(k)t(0)(k)+b[z(1)(k)]2t(0)(k)

(14)

設(shè)：

(15)

將方程改寫為矩陣形式，則有：

(16)

s(0)=BP

(17)

上述方程組中s(0)和B為已知量，P為待定參數(shù)序列，由于變量a，b只有兩個(gè)，而方程個(gè)數(shù)有n-1個(gè)，而且n-1>2，方程組無(wú)解，只能得到相對(duì)解，但可以通過最小二乘法得到最小二乘解。故可求得方程最小二乘解為

(18)

將求得的a，b值代入灰色Verhulst模型白化方程，可求得白化方程的解為

(19)

由方程解可以得出灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)序列表達(dá)式為

k=1，2，…，n

(20)

式(20)即沉降預(yù)測(cè)表達(dá)式，對(duì)其取極限可得到軟土路基的最終沉降量：

(21)

2 模型優(yōu)化與改進(jìn)

2.1 優(yōu)化原理

在灰色Verhulst模型的建立過程中，背景值z(mì)(1)對(duì)于模型參數(shù)的計(jì)算有著較大的影響。從幾何上看，背景值實(shí)質(zhì)上是通過梯形積分公式近似計(jì)算出的s(1)(t)與t軸在區(qū)間[k-1，k] 上所圍成的面積值，由于梯形積分公式的代數(shù)精度較低，通過背景值求得的模型參數(shù)并不是最優(yōu)解，導(dǎo)致傳統(tǒng)灰色Verhulst模型在進(jìn)行路基沉降預(yù)測(cè)時(shí)很可能會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，使得沉降預(yù)測(cè)不能滿足精度的要求，故還需要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，以提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

對(duì)式(20)進(jìn)行變形得到：

(22)

令：

(23)

將p和q代入式(22)可得到等式：

(24)

(25)

只需求出修正系數(shù)c1和c2，便可得到p和q的最優(yōu)解，為此，構(gòu)造平均相對(duì)誤差函數(shù)f(c1，c2)，該函數(shù)可看成含有兩個(gè)自變量c1和c2的二元函數(shù)，通過以平均相對(duì)誤差最小為目標(biāo)來(lái)確定c1和c2的值，從而對(duì)p和q進(jìn)行修正。其中：

(26)

由于平均相對(duì)誤差函數(shù)f(c1，c2) 是一個(gè)非常復(fù)雜的函數(shù)，函數(shù)中包含大量嵌套矩陣的運(yùn)算，因此無(wú)法求出函數(shù)的絕對(duì)最優(yōu)解，但可以通過SA搜索算法的尋優(yōu)能力，求出c1和c2的相對(duì)最優(yōu)解。

2.2 求解算法

SA算法計(jì)算過程簡(jiǎn)單明了，可以有效避免在優(yōu)化過程中陷入局部極小，適用于復(fù)雜的非線性求解問題，故選用SA算法來(lái)求解平均相對(duì)誤差函數(shù)f(c1，c2)中c1和c2的相對(duì)最優(yōu)解。求解具體流程如下：

1) 建立灰色Verhulst模型，得到時(shí)間響應(yīng)序列表達(dá)式s-(1)(k)；

2) 構(gòu)造以修正系數(shù)c1和c2為自變量的平均相對(duì)誤差函數(shù)f(c1，c2)，將其作為目標(biāo)函數(shù)；

建立了基于MDS跟蹤傳感器位置的狀態(tài)方程和測(cè)量誤差.設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)定義為N2×1,xk=vect(Bk)的向量,相應(yīng)的狀態(tài)方程可以表示為

3) 確定初始溫度為控制參數(shù)T，終止溫度T終止為終止條件，確定冷卻系數(shù)r，有0

4) 產(chǎn)生一組初始解w=(c10，c20)，將初始解w代入目標(biāo)函數(shù)得f=(c10，c20)；

8) 對(duì)初始溫度T進(jìn)行冷卻，即T=rT，使T逐漸減小；

9) 當(dāng)T減小到一定值時(shí)，若滿足終止條件T≤T終止，運(yùn)算結(jié)束，此時(shí)解為最優(yōu)解；若仍有T≥T終止，則重復(fù)循環(huán)5)至8)步驟，直到T滿足終止條件為止，最后輸出最優(yōu)解。

3 工程實(shí)例應(yīng)用與分析

3.1 工程概況

該工程實(shí)例為內(nèi)蒙古沙漠地區(qū)烏審召生態(tài)工業(yè)園區(qū)嘎魯圖段一級(jí)公路的軟土路基，路段長(zhǎng)度約為1 km。該段路基地處沙漠沼澤地區(qū)，屬于地下水和地表水排水不暢的低地勢(shì)段，所在地基表層細(xì)沙厚度為0.2 m，細(xì)沙以下為厚度3.5～5.4 m的粉土及淤泥質(zhì)粉土夾層，地下水位在基底以下0.6 m。路基設(shè)計(jì)的填土高度為3.6 m，路基在堆載工況下沉降固結(jié)。選取典型路基觀測(cè)斷點(diǎn)K35+270，通過在該點(diǎn)斷面埋設(shè)沉降板進(jìn)行監(jiān)測(cè)，得到該點(diǎn)斷面的道中沉降數(shù)據(jù)見表1。

表1 K35+270道中斷面沉降值Table 1 The settlement value of middle section of K35+270 road

3.2 沉降預(yù)測(cè)和誤差分析

筆者利用Python編程語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)模型的建立和優(yōu)化，Python[8]是一門開源編程語(yǔ)言，其語(yǔ)法簡(jiǎn)潔優(yōu)美，功能強(qiáng)大，有著豐富的庫(kù)工具支持，非常適合用于算法實(shí)現(xiàn)和科學(xué)計(jì)算。根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，通過Python語(yǔ)言編寫程序建立灰色Verhulst模型，使用SA算法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化求解，其中算法參數(shù)設(shè)置如下：控制參數(shù)T=10 000，初始解w=(0，0)，冷卻系數(shù)r=0.985，新解的產(chǎn)生機(jī)制如下：

(27)

(28)

輸入?yún)?shù)，經(jīng)循環(huán)計(jì)算后，共得出763組解，將得到的所有解繪成散點(diǎn)圖，如圖1。

圖1 解值散點(diǎn)圖Fig. 1 The scatter plot of solutions

從圖1可以看出，f值較小的點(diǎn)分布較為集中，白色點(diǎn)區(qū)域?yàn)樗衒<0.005對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合，即平均相對(duì)誤差小于0.5%對(duì)應(yīng)點(diǎn)集。從該區(qū)域中選取最小f值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即為修正系數(shù)c1和c2的相對(duì)最優(yōu)解。

最終求得模型參數(shù)a=-0.016 450，b=0.000 258，修正系數(shù)c1=0.000 18，c2=0.006 00。將求得解代入式(23)得到表達(dá)式：

(29)

對(duì)s-(1)(k)取極限：

(30)

得到路基在監(jiān)測(cè)點(diǎn)的最終沉降量為63.76 mm。為了驗(yàn)證優(yōu)化后模型的準(zhǔn)確度，分別計(jì)算出傳統(tǒng)模型和優(yōu)化后模型在不同時(shí)間的預(yù)測(cè)值，以及對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差，結(jié)果見表2。

表2 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of prediction results

由表2可見，優(yōu)化后的灰色Verhulst模型的相對(duì)誤差普遍要小于未優(yōu)化的傳統(tǒng)模型的相對(duì)誤差。對(duì)相對(duì)誤差取平均，得到傳統(tǒng)模型的平均相對(duì)誤差為16.66%，而優(yōu)化后的灰色Verhulst模型的平均相對(duì)誤差為4.89%，遠(yuǎn)小于未優(yōu)化的模型的平均相對(duì)誤差，因此優(yōu)化后的模型有著更高的準(zhǔn)確度。為了更進(jìn)一步對(duì)比分析，將表2中的預(yù)測(cè)值繪成模型在優(yōu)化前后的沉降預(yù)測(cè)曲線，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)繪成實(shí)測(cè)值曲線，結(jié)果見圖2。并將表2中兩種模型的相對(duì)誤差值也繪成曲線進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果見圖3。

圖2 沉降曲線對(duì)比Fig. 2 Comparison of settlement curves

圖3 相對(duì)誤差曲線對(duì)比Fig. 3 Comparison of relative error curves

圖2將實(shí)測(cè)值曲線和優(yōu)化前后的灰色Verhulst曲線進(jìn)行對(duì)比，可以看出，傳統(tǒng)灰色Verhulst曲線與實(shí)測(cè)值線相差較大，而優(yōu)化后的灰色Verhulst曲線與實(shí)測(cè)值線更加接近，變化趨勢(shì)也更加一致。而從圖3可更直接地看出優(yōu)化后的灰色Verhulst模型相對(duì)誤差更小，且隨著時(shí)間推移，模型的相對(duì)誤差有著逐漸收斂的趨勢(shì)，最終將趨近于0。這說(shuō)明優(yōu)化后的灰色Verhulst模型有更高的精確度和可行性，更適用于對(duì)路基沉降的預(yù)測(cè)。

4 結(jié) 語(yǔ)

傳統(tǒng)灰色Verhulst模型采用梯形積分公式計(jì)算背景值，導(dǎo)致其預(yù)測(cè)精度低，誤差大。筆者針對(duì)以上缺陷，將模型的時(shí)間響應(yīng)序列表達(dá)式進(jìn)行變形，加入修正系數(shù)，鑒于模型計(jì)算的復(fù)雜性，引入SA搜索算法來(lái)求解模型參數(shù)的相對(duì)最優(yōu)解，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)模型的優(yōu)化和改進(jìn)。

將優(yōu)化后的模型應(yīng)用于實(shí)際的路基沉降預(yù)測(cè)，計(jì)算得到該段公路路基在監(jiān)測(cè)點(diǎn)的最終沉降量為63.76 mm。通過對(duì)比分析模型在優(yōu)化前后的沉降預(yù)測(cè)曲線，以及相對(duì)誤差變化曲線，得出優(yōu)化后的灰色Verhulst模型的預(yù)測(cè)精度顯著提高，且相對(duì)誤差隨時(shí)間變化呈收斂趨勢(shì)，表明經(jīng)SA算法優(yōu)化后的灰色Verhulst模型有著更高的精確度和可靠性，可以更好地應(yīng)用于工程實(shí)踐。

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