于雪冰，王 偉

(東北師范大學(xué) a.物理學(xué)院;b.物理學(xué)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(東北師范大學(xué))，吉林 長(zhǎng)春130024)

傅里葉變換光學(xué)是光學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)分支，它的形成導(dǎo)致了光學(xué)信息處理技術(shù)的興起. 光學(xué)信息處理以其容量大、速度快、并行性等顯著優(yōu)點(diǎn)，在二維圖像信息處理和識(shí)別等方面有重要應(yīng)用. 空間濾波是最基本的光學(xué)處理操作之一，其基本原理是根據(jù)具體需要制作適當(dāng)?shù)目臻g濾波器，并將其放在光路中輸入圖像的頻譜平面處，通過(guò)對(duì)輸入圖像的頻譜進(jìn)行調(diào)制完成某種處理過(guò)程，如低通、高通、帶通、邊緣增強(qiáng)、相關(guān)識(shí)別等. 其理論基礎(chǔ)是傅里葉變換，實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)為阿貝成像原理，了解相關(guān)理論對(duì)掌握光學(xué)信息處理技術(shù)起著至關(guān)重要的作用.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 空間頻率與頻譜

任意周期結(jié)構(gòu)的屏函數(shù)均可以展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù). 傅里葉系數(shù)的集合反映了原函數(shù)各種頻率成分所占的分量，通常稱其為傅里葉譜，簡(jiǎn)稱頻譜. 頻譜可以是連續(xù)譜，也可以是離散譜. 周期函數(shù)的頻譜是離散譜，非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)譜. 實(shí)際柵函數(shù)為準(zhǔn)周期函數(shù)，其頻譜介于連續(xù)譜與離散譜之間，而更具有離散譜的特征，稱為準(zhǔn)離散譜.

根據(jù)傅里葉分析可知，頻譜面上的光場(chǎng)分布與物的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，原點(diǎn)附近分布著物的低頻信息，即傅里葉低頻分量；離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處，分布著物的較高的頻率信息，即傅里葉高頻分量[1].

1.2 阿貝成像原理

阿貝成像原理如圖1所示，從頻譜角度看，阿貝成像原理的基本思想是把相干光照明下的透鏡成像過(guò)程分為兩步：

1)物是一系列的不同空間頻率信息的集合，通過(guò)物的衍射光在透鏡后焦面(頻譜面)上形成空間頻譜，所以衍射起“分解”頻譜即“分頻”的作用；

2)代表不同空間頻率的各光束在像平面上相干疊加而形成物體的像，因此干涉起“綜合”頻率即“合頻”的作用[2].

圖1 阿貝成像原理圖

1.3 透鏡的相位變化功能

設(shè)物體的復(fù)振幅透射率為t(x0,y0)，物體與透鏡間的距離為d0. 使用振幅為A的單色平面波垂直照射物體，U(x0,y0)為緊靠物體后平面上復(fù)振幅分布，U1(x,y)為緊靠透鏡前平面上復(fù)振幅分布，則有

U(x0,y0)=At(x0,y0),

(1)

F{U0(x,y)}=AF{t(x0,y0)}=AT(fx,fy),

F{U1(x,y)}=F{U0(x0,y0)}L(fx,fy),

(2)

得

(3)

后焦面上的復(fù)振幅分布為

(4)

由上面的分析可見(jiàn)：后焦面上的復(fù)振幅分布正比于物體的傅里葉變換,變換式前的二次相位因子使物體的相位因子產(chǎn)生相位彎曲.

當(dāng)d0=f時(shí)，即當(dāng)物體位于透鏡前焦面時(shí)：

(5)

1.4 空間濾波

對(duì)圖像產(chǎn)生的復(fù)雜波前的傅里葉分析，意味著將其復(fù)雜的衍射場(chǎng)分解為一系列不同方向、不同振幅的平面衍射波，特定方向的平面衍射波，作為載波，攜帶著特定空間頻率的光學(xué)信息，并將其集中于夫瑯禾費(fèi)衍射場(chǎng)的相應(yīng)位置，實(shí)現(xiàn)了分頻. 因?yàn)槲镄畔⒌目臻g頻譜展現(xiàn)在透鏡的后焦面即傅氏面上，故若在頻譜面上安置不同結(jié)構(gòu)的光闌，以提取或摒棄某些頻譜，從而改變了原物頻譜，再合成于物的共軛像面上即為輸出圖像，這就完成了改造圖像的信息處理. 頻譜面上的光闌起選頻作用，常稱為空間濾波器[1].

1.5 巴比涅原理

2個(gè)互補(bǔ)衍射屏在衍射場(chǎng)中某點(diǎn)單獨(dú)產(chǎn)生的復(fù)振幅之和等于光波自由傳播時(shí)該點(diǎn)的復(fù)振幅，稱為巴比涅原理. 巴比涅原理給出的3個(gè)場(chǎng)之間是復(fù)振幅關(guān)系，其中相位差因素也會(huì)起作用，故一衍射屏在某處的衍射強(qiáng)度是亮的，其互補(bǔ)屏在該處的衍射強(qiáng)度不一定是暗的.

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 探究分頻、合頻過(guò)程

調(diào)整好光路后，用準(zhǔn)直的氦氖激光照明帶網(wǎng)格的“光”字板. 先將白屏放在傅里葉透鏡的后焦平面前且靠近傅里葉透鏡，可看見(jiàn)所成像中央有一輪廓較為清晰的正立、縮小的“光”，并且“光”的周圍有很多重影，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格已經(jīng)分離[圖2(a)]. 當(dāng)將白屏慢慢向后焦平面移動(dòng)時(shí)，中央的“光”已經(jīng)被分解成更多的正立“光”，且輪廓越來(lái)越模糊，“光”也變得越來(lái)越小[圖2(b)]，直至頻譜面時(shí)網(wǎng)格已經(jīng)完全分離成點(diǎn)陣，中央沒(méi)有“光”字，只有幾個(gè)光強(qiáng)較強(qiáng)的點(diǎn)[圖2(c)]. 繼續(xù)將白屏遠(yuǎn)離頻譜面后方移動(dòng)，白屏上的點(diǎn)陣逐漸消失，慢慢合成不很清晰的倒立“光”字，將屏后移，出現(xiàn)輪廓分明的倒立、逐漸放大了的“光”字，同時(shí)點(diǎn)陣也慢慢擴(kuò)展復(fù)合成網(wǎng)格的像[圖2(d)]，說(shuō)明此時(shí)發(fā)生了頻率的合成. 當(dāng)把白屏再向后移動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)倒立的“光”越來(lái)越大，其上網(wǎng)格也越來(lái)越清晰[2][圖2(e)].

(a) (b) (c)

(d) (e) 圖2 探究“分頻”及“合頻”過(guò)程

2.2 方向?yàn)V波

2.2.1 2f成像系統(tǒng)

物為正交光柵，濾波器為可旋轉(zhuǎn)狹縫. 用準(zhǔn)直的氦氖激光照明光柵，后焦面上出現(xiàn)一系列準(zhǔn)離散的衍射譜斑. 在后焦面上安置可以旋轉(zhuǎn)的狹縫作為濾波器，以選取不同譜斑，從而可以觀測(cè)到相應(yīng)不同的輸出圖像. 如果頻譜面上放置的狹縫沿縱向，則輸出圖像只顯示橫條紋；如果狹縫處于水平方位，則輸出圖像只顯示豎條紋；如果狹縫取向傾斜，則輸出圖像顯示為較密而且與狹縫取向垂直的斜條紋. 即改變狹縫方向，觀測(cè)到像的延展方向總是與譜斑鋪展方向正交，表明橫向的譜斑攜帶的是縱向信息. 因?yàn)樾毕蜃V斑的角間隔比水平或垂直鋪展的角間隔要大，對(duì)應(yīng)的基頻較高，所以呈現(xiàn)于像平面上的斜向條紋較密，如圖3～4所示.

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜 圖3 方向?yàn)V波圖(透鏡為大孔徑)

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜 圖4 方向?yàn)V波圖(透鏡為小孔徑)

2.2.2 4f成像系統(tǒng)

光路圖如圖5所示. 物為正交光柵，濾波器為可旋轉(zhuǎn)狹縫. 用準(zhǔn)直氦氖激光照明光柵，后焦面上出現(xiàn)一系列準(zhǔn)離散的衍射譜斑；在后焦面上安置可旋轉(zhuǎn)狹縫作為濾波器，以選取不同譜斑，從而可觀測(cè)到相應(yīng)不同的輸出圖像. 如果頻譜面上放置的狹縫沿縱向，則輸出圖像只顯示橫條紋；如果狹縫處于水平方位，則輸出圖像只顯示豎條紋；如果狹縫取向傾斜，則輸出圖像較為密集且與狹縫取向垂直的斜條紋.

4f系統(tǒng)中的“后焦面”有雙重身份，對(duì)L而言是物場(chǎng)的頻譜面；對(duì)L′而言是物平面，其頻譜面即為系統(tǒng)的輸出平面. 4f成像系統(tǒng)中，前后2個(gè)透鏡共焦組合是必要條件，其保證了前后2次波前變換均為純凈的傅里葉變換. 透鏡的前后2個(gè)焦面是1對(duì)傅里葉變換面，在4f系統(tǒng)中，像場(chǎng)是一系列不同方向平面波的干涉場(chǎng)，而前半部分的物場(chǎng)被分解為一系列不同方向的平面衍射波，即為阿貝成像原理中的“一分一合”在4f系統(tǒng)中的特別體現(xiàn).

圖5 4f成像系統(tǒng)原理圖

對(duì)比分析2f成像系統(tǒng)和4f成像系統(tǒng)透鏡孔徑不同時(shí)輸出圖像的差異，發(fā)現(xiàn)透鏡孔徑較大時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出圖像包含更多細(xì)節(jié)，這是因?yàn)檩^大的孔徑可以收集到高頻信息引起的大角度的衍射光，這些衍射光到達(dá)像平面時(shí)相干疊加出較多的細(xì)節(jié). 而孔徑較小時(shí)，高頻信息引起的大角度衍射無(wú)法進(jìn)入鏡頭，頻譜面上缺少了高頻譜，像面上丟失了高頻信息，如圖6～8所示.

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜圖6 方向?yàn)V波圖(兩透鏡均為小孔徑)

(a)狹縫豎直 (b)狹縫水平 (c)狹縫傾斜圖7 方向?yàn)V波圖(透鏡孔徑為一大一小)

(a)透鏡為小孔徑 (b)透鏡為大孔徑圖8 不同孔徑透鏡對(duì)應(yīng)的輸出圖像

2.3 顯色濾波

實(shí)驗(yàn)裝置如圖9所示，采用白光作照明光源，頻譜面上同時(shí)展現(xiàn)圖像的時(shí)間頻譜與空間頻譜. 在頻譜面上特定位置設(shè)置小孔濾波器，提取特定波長(zhǎng)的空間頻率成分，如圖10所示.

圖9 顯色濾波實(shí)驗(yàn)裝置

圖10 截取不同頻率濾波對(duì)應(yīng)不同輸出圖像

調(diào)整濾波孔位置，輸出圖像的色彩發(fā)生改變，說(shuō)明色彩是人為指定的而非天然色.

2.4 利用空間濾波技術(shù)進(jìn)行圖像處理

實(shí)驗(yàn)光路為2f成像系統(tǒng)，物為正交光柵，用孔徑大小可調(diào)的圓孔光闌作濾波器. 實(shí)驗(yàn)中改變光闌孔徑大小，觀測(cè)輸出圖像的變化情況. 當(dāng)逐漸縮小孔徑時(shí)，觀測(cè)到圖像的邊緣逐漸變得柔和，這是因?yàn)閳D像的傅里葉變換頻譜中的低頻分量反映圖像的背景，高頻分量反映圖像的細(xì)節(jié)、邊緣及其他尖銳跳躍，孔徑縮小，使透過(guò)的高頻分量減少，故邊緣變得柔和，如圖11所示.

(a) (b) (c) 圖11 圓孔光闌孔徑逐漸減小對(duì)應(yīng)的濾波圖像

2.5 低通濾波

2.5.1 物為帶有周期性網(wǎng)格的“光”字

在2f成像系統(tǒng)中，物為帶有周期性網(wǎng)格的“光”字，采用孔徑很小的圓孔做低通濾波器，觀察后焦面上的頻譜分布，可以看到排成十字形的點(diǎn)陣. 逐步減小圓孔孔徑，觀察輸出圖像變化情況. 孔徑較大時(shí)，像中存在網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，逐漸減小孔徑，最終觀測(cè)到?jīng)]有網(wǎng)格的“光”字. 因?yàn)榕c網(wǎng)格相比，“光”字的空間頻率較低，集中在光軸附近很小范圍內(nèi)，而孔徑較小的圓孔只通過(guò)低頻分量，故可將周期性網(wǎng)格消除，如圖12所示.

(a)孔徑較大 (b)孔徑較小 圖12 不同光闌孔徑的低通濾波圖像

將小圓孔移至頻譜面上中央亮點(diǎn)以外的亮點(diǎn)上時(shí)，在輸出平面上仍能看到無(wú)網(wǎng)格的“光”字，只是較暗淡. 這說(shuō)明當(dāng)物為“光”與網(wǎng)格的乘積時(shí)，其傅里葉譜是“光”的譜與網(wǎng)格的譜的卷積，因此每個(gè)亮點(diǎn)周圍都是“光”的譜，再作傅里葉變換就還原成“光”字[4]，如圖13所示.

(a) (b)圖13 濾波孔不在頻譜中心時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出圖像

2.5.2 物為“大”字與正交光柵組合

在2f成像系統(tǒng)中，將正交光柵與不透明的“大”字重疊放在物面上,選取孔徑很小的圓孔作低通濾波器，觀測(cè)到周期性網(wǎng)格被消除[5],如圖14所示.

2.6 利用Matlab模擬傅里葉變換

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)，2個(gè)函數(shù)卷積的傅里葉變換等于傅里葉變換的乘積. 在頻譜面上插入空間濾波器相當(dāng)于頻譜分布函數(shù)乘以空間濾波器濾波函數(shù)的復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù). 空間濾波的光學(xué)處理器的模擬系統(tǒng)簡(jiǎn)圖如圖15所示，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬仿真可以完成空間濾波實(shí)驗(yàn)[6].

(a) (b)圖14 低通濾波后的輸出圖像

圖15 空間濾波光學(xué)處理器的模擬系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

2.6.1 物二維光柵的頻譜

將二維光柵作為物,則可在傅里葉面上觀測(cè)到如16圖所示的頻譜分布.

圖16 二維光柵的頻譜圖

2.6.2 低通濾波的模擬結(jié)果

在計(jì)算機(jī)模擬中，用Photoshop軟件畫出帶有周期性網(wǎng)格的“光”字圖片代替物體，并保存為bmp格式. 通過(guò)Matlab編程對(duì)這幅圖進(jìn)行傅里葉變換得到相應(yīng)的頻譜分布. 這一步驟相當(dāng)于實(shí)驗(yàn)中透鏡所起的傅里葉變換作用. 圖17所示為原圖像及其頻譜圖分布.

(a)未放置濾波器

(b)放置濾波器后圖17 三維頻譜圖

2.7 巴比涅原理的探究

在2f成像系統(tǒng)中，在物平面分別放置方孔和去除方孔的屏，觀察二者后焦面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的區(qū)別. 在平行光照明時(shí)，其自由光場(chǎng)聚焦于透鏡的后焦點(diǎn)，即軸外自由光場(chǎng)為零. 由巴比涅原理知，在平行光照明下，2個(gè)互補(bǔ)屏在后焦面上產(chǎn)生的夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度分布是完全相同的，看起來(lái)是完全相同的衍射圖樣，不同的僅僅是像點(diǎn)的光強(qiáng). 圖18所示實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與理論符合[1].

(a)衍射屏為方孔 (b)衍射屏為方孔的互補(bǔ)屏圖18 巴比涅原理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證圖

3 結(jié)束語(yǔ)

空間濾波是目前應(yīng)用較為廣泛的光學(xué)信息處理技術(shù)，其理論依據(jù)為阿貝成像原理[7]. 本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了阿貝的二次成像原理，通過(guò)改變頻譜結(jié)構(gòu)改變了輸出圖像的性質(zhì)，并用Matlab對(duì)相關(guān)過(guò)程進(jìn)行了模擬. 其中在實(shí)現(xiàn)顯色濾波過(guò)程中，應(yīng)用自制的小孔濾波器改變頻譜結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸出圖像色彩的改變，該方法操作簡(jiǎn)便且得到了明顯的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

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