劉作軍，高尚兵

(淮陰工學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,江蘇 淮安223003)

1 引言

人臉識(shí)別一直是計(jì)算機(jī)視覺及模式識(shí)別等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)課題，它有很多實(shí)際的應(yīng)用，比如視頻監(jiān)控、智能門禁、人機(jī)交互技術(shù)等。人臉圖像有很高的維數(shù)，所以在識(shí)別前常常需要對(duì)圖像進(jìn)行降維。子空間學(xué)習(xí)方法，比如主成分分析[1]、線性判別分析[2]、局部保持投影[3]、邊界Fisher分析[4]等成為人臉識(shí)別領(lǐng)域經(jīng)典的方法。盡管子空間方法得到成功的應(yīng)用，但它們對(duì)于圖像污損(遮擋、偽裝等)不具有魯棒性。

近年來，基于稀疏表示分類SRC(Sparse Representation Classification)[5]的方法得到廣泛研究。SRC方法的主要思想是將所有訓(xùn)練樣本作為字典，得到測(cè)試樣本在字典矩陣上的編碼系數(shù)，然后通過最小殘差法分類。SRC處理遮擋或隨機(jī)像素破壞時(shí)在原始字典上添加了單位矩陣作為遮擋字典，這樣可以很好地處理測(cè)試樣本中存在的遮擋和像素破壞。然而，當(dāng)樣本維數(shù)比較高時(shí)，SRC的時(shí)間復(fù)雜度隨之升高。為了解決這個(gè)問題，Yang等人[6]提取圖像的Gabor特征，然后對(duì)遮擋部分進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，這樣遮擋字典的規(guī)模會(huì)降低，加快了稀疏編碼的速度。Ou等人[7]提出了遮擋字典學(xué)習(xí)方法，使得測(cè)試樣本在原始訓(xùn)練樣本矩陣和遮擋字典上的編碼均是稀疏的，這樣可以提升SRC方法的性能。Shi等人[8]提出使用L2范數(shù)來對(duì)表示系數(shù)進(jìn)行約束，這樣可以有效地處理高維數(shù)據(jù)(超過10 000維)。同樣地，Zhang等人[9]提出協(xié)同表示分類CRC(Collaborative Representation based Classification)，指出是樣本間的協(xié)同表示而不是L1范數(shù)約束提升了人臉識(shí)別的性能。CRC可以得到解析解，因此計(jì)算復(fù)雜度大大降低，并且可以取得和SRC相當(dāng)?shù)淖R(shí)別結(jié)果。

SRC及其改進(jìn)方法的一個(gè)問題是它們要求訓(xùn)練數(shù)據(jù)是干凈的，即不存在遮擋等情形，因此限制了它們?cè)趯?shí)際中的應(yīng)用。最近的研究表明，視覺數(shù)據(jù)具有低秩結(jié)構(gòu)，低秩矩陣恢復(fù)技術(shù)成為研究熱點(diǎn)問題。Candès 等人[10]提出的魯棒主成分分析RPCA(Robust Principal Component Analysis)可以從受噪聲污染的觀測(cè)數(shù)據(jù)中恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)的低秩矩陣；隨后Liu等人[11]提出了低秩表示LRR(Low Rank Representation)方法，RPCA可以看作是LRR的一種特殊形式。基于RPCA和LRR，研究者提出了很多方法來處理訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在的污損情形。胡正平等人[12]將RPCA恢復(fù)后的低秩矩陣和誤差矩陣分別作為樣本字典和遮擋字典。Wei等人[13]使用RPCA對(duì)原始訓(xùn)練樣本進(jìn)行低秩分解，得到干凈的數(shù)據(jù)矩陣。另外，在RPCA的基礎(chǔ)上引入了不相關(guān)項(xiàng)。Nguyen等人[14]將低秩表示用于人臉識(shí)別。受Fisher準(zhǔn)則啟發(fā)，張海新等人[15]提出了帶有Fisher判別準(zhǔn)則的低秩矩陣恢復(fù)算法，在有監(jiān)督學(xué)習(xí)模式下對(duì)低秩矩陣進(jìn)行恢復(fù)。Du等人[16]提出圖正則化低秩稀疏表示恢復(fù)GLRSRR(Graph regularized Low Rank Sparse Representation Recovery)方法，GLRSRR在訓(xùn)練樣本的表示系數(shù)上同時(shí)添加了低秩和稀疏約束，另外為了保持訓(xùn)練樣本間的局部結(jié)構(gòu)，GLRSRR引入了圖正則項(xiàng)(最近鄰圖)，使得恢復(fù)后的訓(xùn)練樣本具有很好的判別能力。Chen等人[17]提出了一種鑒別低秩表示方法，提升類間散布矩陣的不相關(guān)性，使得恢復(fù)后的不同類別的訓(xùn)練樣本盡可能獨(dú)立，因此測(cè)試樣本可以用更多同類別的訓(xùn)練樣本來表示。為了加快低秩分解后測(cè)試樣本的分類，何林知等人[18]提出了基于RPCA和CRC的方法。

上述基于低秩矩陣恢復(fù)的人臉識(shí)別方法沒有很好利用訓(xùn)練樣本的類別信息，此外在得到原始訓(xùn)練樣本的低秩矩陣后，通常會(huì)使用降維方法(如PCA或隨機(jī)投影)對(duì)訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本進(jìn)行降維。如果測(cè)試樣本圖像中存在遮擋，經(jīng)過投影后這些因素也不能很好地消除。受歸納式RPCA IRPCA(Inductive RPCA)[19]的啟發(fā)，本文在得到訓(xùn)練樣本的恢復(fù)樣本后，根據(jù)恢復(fù)樣本和原始訓(xùn)練數(shù)據(jù)，得到低秩投影矩陣，提出了一種基于結(jié)構(gòu)化低秩表示和低秩投影的人臉識(shí)別算法。首先通過結(jié)構(gòu)化低秩表示得到恢復(fù)后的訓(xùn)練樣本，根據(jù)恢復(fù)出的訓(xùn)練樣本和原始訓(xùn)練樣本得到低秩投影矩陣；然后利用低秩投影矩陣消除測(cè)試樣本中可能存在的遮擋；最后使用SRC對(duì)恢復(fù)后的測(cè)試樣本進(jìn)行分類。在AR和Extended Yale B人臉庫上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性和魯棒性。

2 相關(guān)工作

假設(shè)X=[x1,x2,…,xn]∈Rm×n表示C類訓(xùn)練樣本圖像，共n幅，X的每列為一個(gè)樣本圖像，在本文中，也記為X=[X1,X2,…,XC]，其中Xi表示第i類訓(xùn)練樣本，測(cè)試樣本y∈Rm。SRC的目標(biāo)函數(shù)為：

(1)

當(dāng)?shù)玫较禂?shù)α后，測(cè)試樣本y可以通過最小殘差法分類，即:

(2)

其中,αi是第i類對(duì)應(yīng)的系數(shù)。

當(dāng)訓(xùn)練樣本中存在遮擋和像素破壞等情形時(shí)，SRC的性能急劇下降。為了解決這一問題，Liu等人[11]提出了低秩表示，可以有效地將異常像素和遮擋等從訓(xùn)練樣本中剝離，LRR的目標(biāo)函數(shù)如下：

s.t.X=AZ+E

(3)

其中,A為字典矩陣，Z為表示系數(shù)。式(3)可以通過不精確的增廣拉格朗日乘子法求解。

3 基于結(jié)構(gòu)化低秩表示和低秩投影的人臉識(shí)別

3.1 結(jié)構(gòu)化低秩表示

SRC對(duì)表示系數(shù)添加了稀疏約束，但它沒有考慮數(shù)據(jù)的子空間結(jié)構(gòu)，而結(jié)構(gòu)信息對(duì)于分類是必要的。LRR的理論表明，低秩可以揭示數(shù)據(jù)的子空間結(jié)構(gòu)。因此，低秩稀疏表示[20]對(duì)表示系數(shù)同時(shí)添加低秩和稀疏約束，目標(biāo)函數(shù)為：

s.t.X=AZ+E

(4)

假設(shè)Q=[q1,q2,…,qn]∈RK×n為樣本的理想表示系數(shù)，其中樣本xi的編碼qi具有[0,…,1,1,1,…]T∈RK的形式,K為字典中原子個(gè)數(shù)，n為待表示樣本個(gè)數(shù)。假設(shè)樣本xi屬于類別L，那么qi在DL上的編碼均為1，其余全部為0。圖1給出了Q的形式，這兒給出了來自3個(gè)類別的10個(gè)樣本，其中x1,x2,x3屬于類別1，x4,x5,x6,x7屬于類別2，x8,x9,x10屬于類別3，字典矩陣A有6個(gè)原子，每個(gè)類別分別有2個(gè)。

Figure 1 An example for Q圖1 Q矩陣的示例

根據(jù)訓(xùn)練樣本的類別信息，可以構(gòu)造出具有塊對(duì)角結(jié)構(gòu)的矩陣Q，在低秩表示的過程中，將Q引入進(jìn)來，得到如下的目標(biāo)函數(shù)：

s.t.X=AZ+E

(5)

本文將訓(xùn)練樣本作為字典矩陣，因此式(5)即為:

s.t.X=XZ+E

(6)

為了求解優(yōu)化問題(6)，引入輔助變量W，則式(6)可以寫成：

s.t.X=XZ+E,Z=W

(7)

式(7)對(duì)應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)為：

L(Z,E,W,T1,T2,μ)=

‖Z‖*+β‖W‖1+λ‖E‖1+

(8)

其中,〈A,B〉=tr(ATB)，T1，T2為拉格朗日乘子，μ>0為懲罰參數(shù)。

本文利用含有自適應(yīng)懲罰項(xiàng)的線性交替方向法LADMAP(Linearized Alternating Direction Method with Adaptive Penalty)[21]來優(yōu)化式(8)，為描述方便，式(8)可以寫成：

L(Z,E,W,T1,T2,μ)=

‖Z‖*+β‖W‖1+λ‖E‖1+

(9)

(10)

式(10)的解可以通過下式求解，即:

Zj+1=USVT=UTε[S]VT

(11)

其中,USVT是Ak的奇異值分解，Tε[S]是軟閾值算子[22]。

變量W的更新過程如下：

(12)

變量E的更新過程為：

(13)

算法1總結(jié)了結(jié)構(gòu)化低秩表示的求解過程。

算法1結(jié)構(gòu)化低秩表示

輸入：訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本X=[X1,X2,…,XC]∈Rm×n，參數(shù)λ,β,α。

輸出：(Z,W,E)。

若不滿足終止條件，循環(huán)：

(1)根據(jù)式(10)更新Z；

(2)根據(jù)式(12)更新W；

(3)根據(jù)式(13)更新E；

(4)更新拉格朗日乘子:

(5)更新參數(shù)μ：μj+1=min(ρμj,μmax)；

(6)檢查收斂條件:

‖X-XZj+1-Fj+1‖∞

‖Zj+1-Wj+1‖∞

輸出(Z,W,E)。

3.2 低秩投影矩陣

雖然通過低秩矩陣恢復(fù)可以從原始訓(xùn)練樣本中恢復(fù)出干凈數(shù)據(jù)，但是如何處理測(cè)試樣本中存在的遮擋仍是需要解決的問題。受文獻(xiàn)[19]的啟發(fā)，可以通過學(xué)習(xí)一個(gè)低秩投影矩陣，將受污染的測(cè)試圖像投影到相應(yīng)的低秩子空間。

從原始訓(xùn)練樣本X=[x1,x2,…,xn]∈Rm×n獲得一組主分量Y=[y1,y2,…,yn]∈Rm×n，其中稀疏噪聲部分已被有效地去除。可以通過求解以下問題得到低秩投影矩陣。

s.t.Y=PX

(14)

假設(shè)P*為上述優(yōu)化問題的最優(yōu)解，則上述優(yōu)化問題的最優(yōu)解為P*=YX+,X+為X的偽逆矩陣，可以通過X+=VΣ-1UT求解，UΣVT為X的瘦奇異值分解。

3.3 本文算法流程

輸入：C類訓(xùn)練樣本X=[X1,X2,…,XC]∈Rm×n，測(cè)試樣本y∈Rm，正則化參數(shù)λ、β和α，稀疏表示的參數(shù)srcλ。

(1)對(duì)所有訓(xùn)練樣本通過算法1進(jìn)行結(jié)構(gòu)化低秩表示，即求解如下問題:

s.t.X=XZ+E

(2)得到訓(xùn)練樣本的恢復(fù)數(shù)據(jù)Y=XZ*;

(3)計(jì)算低秩投影矩陣P*=YX+，其中X+為X的偽逆矩陣；

(4)測(cè)試樣本y投影到相應(yīng)子空間yr=P*y；

(5)計(jì)算Y的主分量W，W=PCA(Y)；

(6)訓(xùn)練樣本恢復(fù)后的數(shù)據(jù)Y和測(cè)試樣本恢復(fù)后的數(shù)據(jù)yr分別投影到W，即D=W(Y),yp=W(yr)；

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文在AR人臉庫[23]和Extended Yale B人臉庫[24]上進(jìn)行人臉識(shí)別實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證本文方法的有效性。為了更直觀地表示本文算法的識(shí)別率情況，本文做了一些對(duì)比實(shí)驗(yàn)，包括NN(Nearest Neighbor)、LRC[25]、SRC[5]、CRC[9]、LRR_SRC[26]、LRSI[13]算法。訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本中均有遮擋或像素破壞，PCA用來對(duì)樣本進(jìn)行降維，SRC使用SolveDALM函數(shù)求解表示系數(shù)，正則化參數(shù)設(shè)為0.001。本文方法的參數(shù)β=15，λ=16，α=560。

4.1 AR人臉庫上的性能分析

AR人臉庫包括126個(gè)人超過4 000幅人臉圖像。對(duì)于每一類人臉，26幅圖像被分成了兩個(gè)階段。在每一階段，每類有13幅人臉圖像，其中3幅被墨鏡遮擋的圖像，3幅被圍巾遮擋的圖像，其余7幅為受到表情和光照變化的人臉圖像。本文實(shí)驗(yàn)部分選取了50名男性和 50名女性共100類人臉圖像?？紤]以下三種情形來測(cè)試本文方法性能：

(1)Sunglasses：在該情形下，考慮訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本都受到墨鏡遮擋的情形。墨鏡大概遮擋了人臉圖像的20%。本文選用第一階段7幅無遮擋圖像和1幅墨鏡遮擋圖像(隨機(jī)選擇)作為訓(xùn)練樣本，第二階段的7幅無遮擋圖像和余下的墨鏡遮擋圖像(第一階段的2幅和第二階段的3幅)為測(cè)試樣本，因此每類有8個(gè)訓(xùn)練圖像和12個(gè)測(cè)試圖像。

(2)Scarf：在該情形下，考慮訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本都受到圍巾遮擋的情形。圍巾大概遮擋了人臉圖像的40%。本文選用第一階段7幅無遮擋圖像和1幅圍巾遮擋圖像(隨機(jī)選擇)作為訓(xùn)練樣本，第二階段的7幅無遮擋圖像和余下的圍巾遮擋圖像(第一階段的2幅加上第二階段的3幅)為測(cè)試樣本，因此每類有8個(gè)訓(xùn)練圖像和12個(gè)測(cè)試圖像。

(3)Mixed：在該情形下，考慮訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本都受到墨鏡遮擋和圍巾遮擋的情形。本文選用第一部分7幅沒有遮擋圖像，1幅墨鏡遮擋圖像(隨機(jī)選擇)以及1幅圍巾遮擋圖像(隨機(jī)選擇)作為訓(xùn)練樣本，第二階段的所有圖像(7幅無遮擋圖像，3幅墨鏡遮擋圖像，3幅圍巾遮擋圖像)和第一階段余下的4幅遮擋圖像(2幅墨鏡遮擋圖像和2幅圍巾遮擋圖像)為測(cè)試樣本，因此每類有9個(gè)訓(xùn)練圖像和17個(gè)測(cè)試圖像。

在本實(shí)驗(yàn)部分，對(duì)比了各算法在維數(shù)為25、50、100、200和300時(shí)的識(shí)別性能，由于階段1中含有3幅戴墨鏡和3幅戴圍巾圖像，所以每種情形下各個(gè)算法重復(fù)3次，記錄3次實(shí)驗(yàn)的平均值，如表1～表3所示。

Table 1 Recognition rate of differentmethods under sunglasses occlusion

從表1可以看到，本文算法在大多數(shù)維數(shù)下識(shí)別性能均優(yōu)于其他算法(僅300維時(shí)稍低于CRC)；表2表明本文算法在維數(shù)較低時(shí)(25，50，100)性能明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法；表3表明隨著遮擋比例的增大，本文算法仍能取得較好的識(shí)別率。在上述三種遮擋情形下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算

Table 2 Recognition rate ofdifferent methods under scarf occlusion

Table 3 Recognition rate of different methodsunder sunglasses and scarf occlusion

法的魯棒性。

為了更直觀地說明本文算法的有效性，圖2和圖3分別給出了部分原始訓(xùn)練樣本圖像和對(duì)應(yīng)的低秩恢復(fù)圖像，可以看出經(jīng)過SLR分解后，表情變化、光照變化、遮擋等不利因素得到很好的去除，得到的干凈數(shù)據(jù)字典有利于后面的稀疏表示分類。同時(shí)，圖4和圖5給出了部分原始測(cè)試樣本圖像和對(duì)應(yīng)的經(jīng)過低秩投影矩陣恢復(fù)后的圖像，同樣可以看到，通過將測(cè)試樣本投影到對(duì)應(yīng)的低秩子空間，測(cè)試圖像中的表情變化、遮擋等因素得到較好的去除，這有利于后面的分類識(shí)別。

Figure 2 Some training images圖2 部分訓(xùn)練樣本圖像

Figure 3 Recovered training images by SLR圖3 結(jié)構(gòu)化低秩表示恢復(fù)圖像

Figure 4 Some test images圖4 部分測(cè)試樣本圖像

Figure 5 Recovered test images by low rank projection matrix圖5 低秩投影矩陣恢復(fù)圖像

4.2 隨機(jī)像素破壞下的識(shí)別性能

本實(shí)驗(yàn)使用Extended Yale B數(shù)據(jù)集，這個(gè)數(shù)據(jù)集包含38個(gè)人的2 414幅人臉圖像，每人有59～64幅不同光照下的圖像，圖像大小為192×168。實(shí)驗(yàn)選擇10%和20%的樣本進(jìn)行隨機(jī)像素破壞，對(duì)于待破壞樣本，隨機(jī)選擇10%的像素點(diǎn)，然后用均勻分布的值替換原始像素值，部分像素破壞后的樣本圖像如圖6所示。然后每個(gè)類別隨機(jī)選擇一半作為訓(xùn)練樣本，其余為測(cè)試樣本，PCA維數(shù)為50、100和300。各個(gè)算法重復(fù)運(yùn)行10次，記錄其均值，如表4所示。

Figure 6 Some sample images after pixel corruption圖6 部分像素破壞后的樣本圖像

算法維數(shù)(10%樣本像素破壞)50 100 300維數(shù)(20%樣本像素破壞)50 100 300NN58．7669．1276．7159．1868．4575．88LRC91．1593．7494．9991．8294．2495．24SRC88．0692．5795．6686．6491．0794．74CRC85．3194．9997．8386．9893．4197．66LRR＿SRC83．5692．7497．5883．1492．0796．41LRSI76．5490．5796．7476．7986．5694．32SLR＿LRP98．0098．0098．0095．9196．1696．24

從表4可以看出，本文算法在大多數(shù)情況下優(yōu)于其他算法，這說明基于結(jié)構(gòu)化低秩表示和低秩投影的方法對(duì)隨機(jī)像素破壞具有一定的魯棒性。

4.3 隨機(jī)塊遮擋下的識(shí)別性能

本實(shí)驗(yàn)在Extended Yale B數(shù)據(jù)集上進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)選擇10%和20%的樣本進(jìn)行隨機(jī)塊遮擋，對(duì)于待遮擋樣本，隨機(jī)選擇遮擋位置，然后用占原始圖像10%大小的不相關(guān)圖像對(duì)原始圖像進(jìn)行遮擋，部分塊遮擋后的圖像如圖7所示。然后每個(gè)類別隨機(jī)選擇一半作為訓(xùn)練樣本，其余為測(cè)試樣本，PCA維數(shù)為50、100和300。各個(gè)算法重復(fù)運(yùn)行10次，記錄其均值，如表5所示。

Figure 7 Some sample images after random block occlusion圖7 部分隨機(jī)塊遮擋后的樣本圖像

算法維數(shù)(10%樣本像素破壞)50 100 300維數(shù)(20%樣本像素破壞)50 100 300NN56．8467．5374．2156．5164．9471．62LRC88．7391．5792．8285．3189．3291．24SRC85．9890．6593．9183．6489．9893．57CRC83．5691．2496．6680．2291．6596．66LRR＿SRC80．5589．5796．1679．8091．1596．99LRSI74．6287．8197．1670．0387．3196．58SLR＿LRP98．0098．0898．0098．0898．3398．33

從表5可以看出，在維數(shù)比較低時(shí)，本文算法明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法，隨著遮擋樣本比例的增加，本文算法一直能取得最高的識(shí)別率。比如在維數(shù)為50時(shí)，本文算法的識(shí)別率分別為98.00%和98.08%，比SRC算法分別提高了12.02%和14.44%;當(dāng)維數(shù)為300維時(shí)，本文算法比LRSI算法分別提高了0.84%和1.75%，這表明本文算法對(duì)隨機(jī)塊遮擋具有較好的魯棒性。

5 結(jié)束語

雖然SRC在測(cè)試樣本存在遮擋和像素破壞的情況下取得了優(yōu)異的識(shí)別性能，然而當(dāng)給定的訓(xùn)練樣本中存在遮擋和像素破壞時(shí)，SRC的性能會(huì)下降。為了解決這個(gè)問題，近年來低秩矩陣恢復(fù)方法得到了廣泛研究，通過對(duì)樣本進(jìn)行低秩分解，可以得到樣本的低秩矩陣。大多數(shù)低秩表示方法并沒有有效利用訓(xùn)練樣本的類別信息，同時(shí)，在對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行分類前，沒有考慮測(cè)試樣本中存在的遮擋和像素破壞。為了充分利用訓(xùn)練樣本的類別信息和去除測(cè)試樣本中存在的遮擋和像素破壞，本文提出了基于結(jié)構(gòu)化低秩表示和低秩投影的人臉識(shí)別算法。結(jié)構(gòu)化低秩表示通過引入樣本的理想編碼正則項(xiàng)，使得同類別樣本的表示盡可能相似，這樣很好地保留了樣本的結(jié)構(gòu)信息。同時(shí)根據(jù)原始訓(xùn)練樣本和恢復(fù)后的訓(xùn)練樣本得到低秩投影矩陣，通過將測(cè)試樣本投影到該低秩投影矩陣，可以很好地去除測(cè)試樣本中存在的遮擋和像素破壞，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法具有很好的魯棒性。

本文算法在訓(xùn)練樣本充足的情況下可以取得較好的識(shí)別結(jié)果，然而單訓(xùn)練樣本在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到，如何將本文算法擴(kuò)展到單訓(xùn)練樣本人臉識(shí)別，將在后續(xù)的工作中進(jìn)行研究。

[1] Turk M, Pentland A.Eigenfaces for recognition[J].Journal of Cognitive Neuroscience,1991,3(1):71-86.

[2] Belhumeur P N,Hespanha J P,Kriegman D.Eigenfaces vs.fisherfaces:Recognition using class specific linear projection[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1997,19(7):711-720.

[3] He X,Yan S,Hu Y,et al.Face recognition using Laplacianfaces[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2005,27(3):328-340.

[4] Yan S,Xu D,Zhang B,et al.Graph embedding and extensions:A general framework for dimensionality reduction[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2007,29(1):40-51.

[5] Wright J,Yang A Y,Ganesh A,et al.Robust face recognition via sparse representation[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2009,31(2):210-227.

[6] Yang M,Zhang L,Shiu S,et al.Gabor feature based robust representation and classification for face recognition with Gabor occlusion dictionary[J].Pattern Recognition,2013,46(7):1865-1878.

[7] Ou W,You X,Tao D,et al.Robust face recognition via occlusion dictionary learning[J].Pattern Recognition,2014,47(4):1559-1572.

[8] Shi Q,Eriksson A,Van Den Hengel A,et al.Is face recognition really a compressive sensing problem?[C]∥Proc of IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition,2011:553-560．

[9] Zhang L,Yang M,Feng X.Sparse representation or collaborative representation:Which helps face recognition?[C]∥Proc of the IEEE 13th International Conference on Computer Vision,2011:471-478．

[10] Candès E J,Li X,Ma Y,et al.Robust principal component analysis?[J].Journal of the ACM,2011,58(3):11.

[11] Liu G, Lin Z, Yan S,et al.Robust recovery of subspace structures by low-rank representation[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2013,35(1):171-184.

[12] Hu Zheng-ping,Li Jing.Face recognition of joint sparse representation based on low-rank subspace recovery[J].Acta Electronica Sinica,2013,41(5):987-991.(in Chinese)

[13] Wei C,Chen C,Wang Y.Robust face recognition with structurally incoherent low-rank matrix decomposition[J].IEEE Transactions on Image Processing,2014,23(8):3294-3307.

[14] Nguyen H V, Huang R,Yang W,et al.Face recognition based on low-rank matrix representation[C]∥Proc of the 33rd Chinese Control Conference,2014:4647-4652.

[15] Zhang Hai-xin, Zheng Zhong-long, Jia Jiong,et al.Low-rank matrix recovery based on Fisher discriminant criterion[J].Pattern Recognition and Artificial Intelligence,2015,28(7):651-656.(in Chinese)

[16] Du H,Zhang X,Hu Q,et al.Sparse representation-based robust face recognition by graph regularized low-rank sparse representation recovery[J].Neurocomputing,2015,164(C):220-229.

[17] Chen J,Yi Z.Sparse representation for face recognition by discriminative low-rank matrix recovery[J].Journal of Visual Communication and Image Representation,2014,25(5):763-773.

[18] He Lin-zhi,Zhao Jian-min,Zhu Xin-zhong,et al.Face recognition algorithm based on low-rank matrix recovery and collaborative representation[J].Journal of Computer Applications,2015,35(3):779-782.(in Chinese)

[19] Bao B K,Liu G,Xu C,et al.Inductive robust principal component analysis[J].IEEE Transactions on Image Processing,2012,21(8):3794-3800.

[20] Du H,Hu Q,Qiao D,et al.Robust face recognition via low-rank sparse representation-based classification[J].International Journal of Automation and Computing,2015,12(6),579-587.

[21] Lin Z,Liu R,Su Z.Linearized alternating direction method with adaptive penalty for low-rank representation[C]∥Proc of the 2011 Neural Information Processing Systems Conference,2011:612-620.

[22] Lin Z,Chen M,Ma Y.The augmented Lagrange multiplier method for exact recovery of corrupted low-rank matrices[J].arXiv preprint arXiv:1009.5055,2010.

[23] Martinez A M.The AR face database[R].Cerdanyola del Valles:Autonomous University of Barcelona,1998.

[24] Georghiades A S,Belhumeur P N,Kriegman D J.From few to many:Illumination cone models for face recognition under variable lighting and pose[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2001,23(6):643-660.

[25] Naseem I,Togneri R,Bennamoun M.Linear regression for face recognition[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2010,32(11):2106-2112.

[26] Du Hai-shun, Zhang Xu-dong, et al, Hou Yan-dong.Face recognition method based on low-rank recovery sparse representation classifier[J].Computer Science,2014,41(4):309-313.(in Chinese)

附中文參考文獻(xiàn)：

[12] 胡正平,李靜.基于低秩子空間恢復(fù)的聯(lián)合稀疏表示人臉識(shí)別算法[J].電子學(xué)報(bào),2013,41(5):987-991.

[15] 張海新,鄭忠龍,賈泂,等.基于Fisher判別準(zhǔn)則的低秩矩陣恢復(fù)[J].模式識(shí)別與人工智能,2015,28(7):651-656.

[18] 何林知,趙建民,朱信忠,等.基于低秩矩陣恢復(fù)與協(xié)同表征的人臉識(shí)別算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2015,35(3):779-782.

[26] 杜海順,張旭東,侯彥東,等.一種基于低秩恢復(fù)稀疏表示分

類器的人臉識(shí)別方法[J].計(jì)算機(jī)科學(xué),2014,41(4):309-313.