劉家財，李登峰，胡勛鋒

(1.福州大學經(jīng)濟與管理學院工商管理研究院，福建 福州 350116；2.福建農(nóng)林大學交通與土木工程學院，福建 福州 350002)

1 引言

合作對策的重要解概念有很多，比如，核心、核仁、夏普利值，等。上述解概念均是基于經(jīng)典合作對策即清晰聯(lián)盟及清晰效用函數(shù)的情形下提出。事實上，任何合作對策都需要考慮環(huán)境與條件的不確定性[1-2]、信息的不準確性[3]、局中人目標的多樣性與不確定性[1,4]、局中人的主觀期望與風險態(tài)度[1,5-6]、局中人參與聯(lián)盟的程度[7]等。換句話說，在現(xiàn)實的經(jīng)濟管理問題中，常存在不確定性及模糊性，導致局中人只能以一定的概率參與聯(lián)盟或者聯(lián)盟值(或特征函數(shù))無法用精確實數(shù)準確表達。近年來，在合作對策的研究中，常用區(qū)間數(shù)來表示聯(lián)盟值(或特征函數(shù))，由此出現(xiàn)了一類支付值為區(qū)間數(shù)的合作對策，這類合作對策常被簡稱為區(qū)間值合作對策。區(qū)間值合作對策是模糊合作對策的一種重要形式。模糊合作對策是經(jīng)典合作對策的推廣，經(jīng)典合作對策的模糊延拓有三種形式：第一種是聯(lián)盟模糊而效用清晰的合作對策[7]。第二種是效用模糊而聯(lián)盟清晰的合作對策[8]。第三種是聯(lián)盟和效用均模糊的合作對策[9]。早在1974年，Aubin[7]利用美國著名控制論專家L.Zadeh教授提出的模糊集表示局中人參與聯(lián)盟的程度(或參與率)，提出了模糊聯(lián)盟的概念，這是合作對策最早涉及模糊不確定性的一類形式。隨后，Aubin[10-11]又定義了模糊合作對策的核心，為日后區(qū)間值合作對策核心的廣泛研究奠定了基礎。國外學者Branzei[12-14]、Alparslan[15-17]、Mallozzi[18]等圍繞區(qū)間值合作對策開展了大量研究。Branzei等[12]針對凸區(qū)間值合作對策，提出類似Shapley值的解，為模糊合作對策區(qū)間Shapley值的研究奠定了基礎。Branzei等[13-14]對區(qū)間值合作對策的研究進行了總結(jié)與展望，并對區(qū)間值合作對策的超可加性、凸性、區(qū)間優(yōu)超核心等進行了定義。Alparslan等[15-17]運用區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則對區(qū)間值合作對策重新進行定義，對確定條件下即經(jīng)典合作對策的部分重要解概念及其解法進行拓展，從而發(fā)展形成區(qū)間值合作對策的解概念及其解法，并對區(qū)間值合作對策的核心的一些重要性質(zhì)進行了探討。Mallozzi等[18]拓展區(qū)間值合作對策模型，提出一種求解區(qū)間值合作對策的類似于核心的解概念，并提出一種確保類核心的解非空的均衡性條件。

我國也有諸多學者圍繞區(qū)間值合作對策做了相關研究，如，李登峰[19]針對聯(lián)盟值(或特征函數(shù))表示為區(qū)間數(shù)的多人合作對策，通過研究其合作對策分配值(即解)具有的單調(diào)不減性質(zhì)，提出了相應的簡化約束條件，從而利用聯(lián)盟區(qū)間值的左、右端點值，簡單、快捷地確定每個局中人分配值(區(qū)間值)的左、右端點值，進而確定區(qū)間值多人合作對策的區(qū)間值分配解，相繼提出了區(qū)間值合作對策的多種區(qū)間值分配解，如，區(qū)間值Shapley值，區(qū)間值團結(jié)(solidarity)值，區(qū)間值Banzhaf值，區(qū)間值核心分配解，等，并研究了它們的一些重要性質(zhì)。于曉輝、張強[20]利用區(qū)間數(shù)運算的性質(zhì)，將經(jīng)典Shapley值的三條公理拓廣到區(qū)間值合作對策中，提出具有區(qū)間支付的Shapley函數(shù)的具體形式，并且通過論證，證明區(qū)間Shapley函數(shù)和經(jīng)典的Shapley函數(shù)具有形式上的一致性。高作峰等[21]給出了區(qū)間合作對策在增廣系統(tǒng)上的定義，并利用相應的公理體系及區(qū)間數(shù)運算的性質(zhì)，構造出區(qū)間合作對策在增廣系統(tǒng)上的區(qū)間Shapley值，并對該區(qū)間Shapley值的一些重要性質(zhì)進行探討。由此可看出，區(qū)間值合作對策的研究引起國內(nèi)外諸多學者的關注。

在經(jīng)典合作對策中，核心是1953年Gillies[22]引進，后經(jīng)著名對策論專家Shapley和Shubik[23]發(fā)展成為合作對策的解概念。核心是目前使用較多的合作對策的集合解概念，要求滿足個體合理性、集體合理性與聯(lián)盟合理性。核仁是1969年Schmeidler[24]以超量衡量聯(lián)盟的滿意程度，并從最小化聯(lián)盟的不滿意程度出發(fā)，提出的合作對策的解概念。核仁后來又進一步發(fā)展為多種形式，比如，最小核仁、弱核仁、比例核仁等。盡管在經(jīng)典合作對策中，核心、核仁等解概念要么包含很多(甚至是無窮多)個元素，要么一個也沒有即為空集，我們?nèi)匀幌Ｍ趨^(qū)間值合作對策中尋找其核心解，給出核心解存在的條件，并討論其重要性質(zhì)。本文的主要工作是提出區(qū)間值合作對策的最小二乘法預核仁和核仁，并討論諸如存在性、可加性、匿名性等區(qū)間值合作對策解的一些重要性質(zhì)。與供應鏈合作利益分配同類研究[25-26]相比較，本文提出的模型與方法考慮了供應鏈節(jié)點企業(yè)開展合作時經(jīng)常出現(xiàn)的模糊不確定性，著重研究聯(lián)盟的收益表示為區(qū)間數(shù)時的合作利益分配策略，不僅如此，利用多維線性拓展方法，還可將本文提出的區(qū)間值最小二乘核仁解自然拓展至聯(lián)盟收益表示為三角(梯形)模糊數(shù)以及三角(梯形)直覺模糊數(shù)的情形。容易證明，利用該方法得到的模糊合作對策的最小二乘核仁解，均具有存在性和唯一性、有效性、匿名性、對稱性等合作對策解的良好性質(zhì)。

2 預備知識

2.1 支付值為區(qū)間數(shù)的合作對策

2.2 區(qū)間值最小二乘法預核仁和核仁及其解概念

(1)

和

(2)

(3)

(4)

和

(5)

即，

(6)

利用同樣的方法，有，

(7)

至此，引理1得證。

根據(jù)式(1)、式(4)和式(6)，結(jié)合區(qū)間值運算規(guī)則[27]，式(3)可改寫成如下形式：

(8)

3基于平方超量的區(qū)間值最小二乘法預核仁和核仁的二次規(guī)劃求解方法

3.1 考慮有效性的區(qū)間值最小二乘法預核仁

引理2 區(qū)間值最小二乘法預核仁是基于最小化平方超量之和且滿足有效性的區(qū)間值合作對策的一種分配方案，解二次規(guī)劃模型(8)便可得區(qū)間值最小二乘法預核仁。

證明 根據(jù)拉格朗日乘子法，模型(8)可寫成如下形式，

(9)

和

(10)

由于

(11)

根據(jù)式(9)和(11)，可得，

又因為

(12)

(13)

其中，s表示聯(lián)盟S?N的個數(shù)。

將式(13)代入式(12)，有，

(14)

(15)

下面，我們討論區(qū)間值合作對策的區(qū)間值最小二乘法預核仁的一些重要性質(zhì)。

證明 根據(jù)式(14)和(15)，定理1直接得證。

證明 根據(jù)式(14)和(15)，結(jié)合區(qū)間值運算規(guī)則[25]，有，

證明 根據(jù)式(14)，有，

證明 對于局中人i∈N和k∈N(i≠k)，根據(jù)式(14)，有，

和

證明 由式(14)和(15)，定理5容易得證 (證明過程略)。

3.2 同時考慮有效性和個體合理性的區(qū)間值最小二乘法核仁

(16)

(17)

特別地，令mL=mR=0,很明顯可看出，模型(8)的區(qū)間值最優(yōu)解等價于模型(18)的區(qū)間值最優(yōu)解，即，

(18)

模型(16)的區(qū)間值最優(yōu)解等價于模型(19)的區(qū)間值最優(yōu)解，即，

(19)

區(qū)間值最小二乘法核仁的下界和上界的算法流程分別如圖1、2所示。

圖1 區(qū)間值最小二乘法核仁下界算法流程

圖2 區(qū)間值最小二乘法核仁上界算法流程

結(jié)合上面的討論，給出求解區(qū)間值最小二乘法核仁的步驟框圖，如圖3所示。

圖3 區(qū)間值最小二乘法核仁的求解框圖

4 供應鏈合作創(chuàng)新利益分配實例應用

由于現(xiàn)實經(jīng)濟管理活動存在諸多不確定性和模糊性，區(qū)間值合作對策在經(jīng)濟、政治、管理、環(huán)境等多個領域均有著廣泛應用。下面結(jié)合供應鏈合作創(chuàng)新中的利益分配問題，驗證本文所提方法的實用性和合理性。

4.1 案例背景描述

根據(jù)式(14)，可得區(qū)間值最小二乘法預核仁的下界，即，

利用同樣的方法，可計算得到，

根據(jù)算法1，有，

令局中人1所分配得到的收益為0，將-1.5625平均分攤給局中人2，3和4，得，

40.4167,41.6667)T

78.125)T

[37.9167,70.625],[40.4167,83.125],[41.6667,78.125])T,

即，四個節(jié)點企業(yè)的區(qū)間值收益分別為：

4.2 計算結(jié)果分析

在本例中，假設四個節(jié)點企業(yè)均無法單獨研發(fā)新產(chǎn)品，即，如果供應鏈協(xié)同創(chuàng)新系統(tǒng)中的四個節(jié)點企業(yè)不尋求合作，他們將無法獲得任何收益。然而，通過參與大聯(lián)盟聯(lián)合開發(fā)新產(chǎn)品后，四個節(jié)點企業(yè)均獲得了極為可觀的收入。具體如下：通過合作，原材料供應商(即局中人1)能獲得最少為0、最多為18.125的收益；生產(chǎn)商(即局中人2)能獲得最少為37.9167、最多為70.625的收益；分銷商(即局中人3)能獲得最少為40.4167、最多為83.125的收益；零售商(即局中人4)能獲得最少為41.6667、最多為78.125的收益。根據(jù)Moore[25]的區(qū)間值運算規(guī)則，可知四個節(jié)點企業(yè)參與合作獲得的區(qū)間值收益均遠遠大于單干時的收益，即，最終分配結(jié)果滿足個體合理性。

為驗證本文所提的模型和方法的合理性和有效性，用Lingo軟件對上述實例進行求解。根據(jù)式(19)，在代碼窗口中編寫如下語句：

min=(xL1-0)2+(xR1-0)2+(xL2-0)2+(xR2-0)2+(xL3-0)2+(xR3-0)2+(xL4-0)2+(xR4-0)2+(xL1+xL2-0)2+(xR1+xR2-0)2+(xL1+xL3-0)2+(xR1+xR3-0)2+(xL1+xL4-0)2+(xR1+xR4-0)2+(xL2+xL3-80)2+(xR2+xR3-110)2+(xL2+xL4-80)2+(xR2+xR4-100)2+(xL3+xL4-80)2+(xR3+xR4-120)2+(xL1+xL2+xL3-85)2+(xR1+xR2+xR3-130)2+(xL1+xL2+xL4-90)2+(xR1+xR2+xR4-120)2+(xL1+xL3+xL4-100)2+(xR1+xR3+xR4-150)2+(xL2+xL3+xL4-100)2+(xR2+xR3+xR4-150)2+(xL1+xL2+xL3+xL4-120)2+(xR1+xR2+xR3+xR4-250)2;

xL1+xL2+xL3+xL4=120;

xR1+xR2+xR3+xR4=250;

點擊Lingo軟件的Solve按鈕，可得到與用算法1、2求解完全一致的結(jié)果。

5 結(jié)語

本文提出的區(qū)間值最小二乘法預核仁和核仁的求解方法具有如下4個明顯優(yōu)點：

(1)方便、快捷、計算量小。據(jù)式(14)、(15)及算法1、2，可快速獲得區(qū)間值合作對策的區(qū)間值最小二乘法預核仁和核仁。

(2)有效避免區(qū)間值減法運算。本文提出的方法未直接使用區(qū)間值減法運算，可有效避免由于區(qū)間值減法運算導致的不確定性放大等問題。

(3)分配結(jié)果合理、有效。利用部分現(xiàn)有區(qū)間值合作對策的求解方法，局中人分配得到的收益可能為負值，這不符合實際情況。運用本文所提方法，特別是區(qū)間值最小二乘法核仁，能確保局中人獲得非負收益。

(4) 提出的解滿足若干合作對策解的重要性質(zhì)。本文提出的區(qū)間值最小二乘法預核仁和核仁滿足諸如存在性、唯一性、有效性、可加性、對稱性、匿名性等良好的性質(zhì)。

本文所提方法可以很好的解決合作聯(lián)盟產(chǎn)生的收益為區(qū)間值時的供應鏈合作利益分配問題，并且可以運用到經(jīng)濟、軍事、環(huán)境、教育、科技等其他具有模糊性和不確定性的復雜合作聯(lián)盟中，為其合作利益的分配提供一種新的行之有效的解決方法。盡管如此，在現(xiàn)實的很多經(jīng)濟管理問題中，有時用區(qū)間值難以貼切地表達其中的模糊性和不確定性?，F(xiàn)實中的各種經(jīng)濟管理系統(tǒng)不僅涉及系統(tǒng)內(nèi)部的人、物、資金、資源、信息等眾多要素，而且涉及系統(tǒng)外的政策、環(huán)境、人文、社會習俗與行為規(guī)范等多種因素。特別地，經(jīng)濟管理系統(tǒng)不僅涉及到人，而且人是作為經(jīng)濟管理系統(tǒng)的決策主體。決策主體行為的復雜性、目標的多樣性、知識經(jīng)驗的局限性等，進一步增加了經(jīng)濟管理系統(tǒng)的復雜不確定性。在此情境下，運用具有兩標度特征的直覺模糊集能更加細膩、有效、貼切地刻畫模糊性，因此，聯(lián)盟值(或特征函數(shù))表示為直覺模糊數(shù)的合作對策預核仁解和核仁解將是進一步研究的重要方向。

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