【摘要】數(shù)學(xué)哲學(xué)是一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最根本的成分，它本身也是一門(mén)基本的哲學(xué)學(xué)科分支之一。數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究會(huì)涉及到數(shù)學(xué)中的最原始的概念與定義。在這篇論文中，我們將從一個(gè)具體的物理學(xué)定律——牛頓第一定律——的數(shù)學(xué)與歷史的描述，去嘗試討論數(shù)學(xué)哲學(xué)中的一些最基本的概念的數(shù)學(xué)與哲學(xué)內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)哲學(xué)；牛頓第一定律

【作者簡(jiǎn)介】肖堯文，成都市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校西區(qū)。

一、牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的數(shù)學(xué)描述

數(shù)學(xué)家柯朗與羅賓在合著的名著《數(shù)學(xué)是什么？》中曾經(jīng)寫(xiě)到：“對(duì)于有學(xué)問(wèn)的人和對(duì)普通人一樣，要回答‘什么是數(shù)學(xué)這個(gè)問(wèn)題，只能通過(guò)在數(shù)學(xué)中的切身體驗(yàn)，而不靠什么大道理。”

事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)范疇的問(wèn)題，它是一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域的根本成分，它本身也是一門(mén)基本的哲學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究會(huì)涉及數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念與定義，在這篇論文中，我們便嘗試著從一個(gè)具體的物理學(xué)定律的角度，去切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)哲學(xué)中的一些最基本的概念。

這一節(jié)中，我們首先簡(jiǎn)單地回憶并評(píng)論我們這篇論文中最核心的主題——牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律。

牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律，又簡(jiǎn)稱為牛頓第一定律。又稱為慣性定律、惰性定律等。常見(jiàn)的完整表述如下：任何一個(gè)物體都要保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，或者靜止?fàn)顟B(tài)，直到有外力迫使它改變自己本來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為止。

英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓于1687年，在其不朽的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》里，第一次系統(tǒng)性地提出了運(yùn)動(dòng)定律的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表述，特別地，牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律就是其中的一條定律。并且牛頓第一定律與牛頓第二、第三定律一道構(gòu)成了牛頓力學(xué)的完整體系。

首先，牛頓第一定律第一次準(zhǔn)確地給出了慣性系的概念。并且，牛頓第二、第三定律以及由牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立起來(lái)的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)體系只對(duì)慣性系成立。因此，牛頓第一定律是不可缺少的，它是完全獨(dú)立的一條重要的力學(xué)定律。這條重要的物理學(xué)定律，用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示如下：

二、牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的歷史動(dòng)機(jī)

在這一節(jié)中，我們從歷史的角度，簡(jiǎn)單地梳理牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的歷史動(dòng)機(jī)。

公元前5世紀(jì)，哲學(xué)家伊壁鳩魯、德謨克利特就曾經(jīng)有過(guò)如下的猜測(cè)：“當(dāng)原子在虛空里被帶向前進(jìn)，而沒(méi)有東西與他們碰撞時(shí)，它們一定以相等的速度運(yùn)動(dòng)?！?/p>

公元前4世紀(jì)，古希臘偉大的哲學(xué)家亞里士多德也在他的著作《物理學(xué)》中也曾經(jīng)歸納到：力是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因，有力就有運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有力就沒(méi)有運(yùn)動(dòng)。

公元6世紀(jì)，希臘學(xué)者菲洛彭諾斯對(duì)亞里士多德的運(yùn)動(dòng)學(xué)說(shuō)持批判態(tài)度。與亞里士多德的觀點(diǎn)迥異的是，他認(rèn)為拋體本身具有某種動(dòng)力，推動(dòng)物體前進(jìn)，直到耗盡才趨于停止，這種看法在歷史的進(jìn)程中緩慢地發(fā)展，一直到公元14世紀(jì)左右，原始的想法成熟地發(fā)展為了“沖力理論”。具體地說(shuō)，在那時(shí)，以布里丹、阿爾伯特、奧里斯姆等科學(xué)家提出“沖力理論”，他們認(rèn)為：推動(dòng)者在推動(dòng)某一物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，便對(duì)它施加了某種沖力或者某種動(dòng)力。速度越大，沖力越大；當(dāng)沖力耗盡時(shí)，物體就停止運(yùn)動(dòng)。

經(jīng)過(guò)大約三百年左右?guī)缀跬难芯?，運(yùn)動(dòng)學(xué)在中世界后期得到了突破性地進(jìn)展。在公元17世紀(jì)，意大利著名的物理學(xué)家與實(shí)驗(yàn)學(xué)家伽利略，在自己的著作中多次提出了類似于后來(lái)的慣性原理的說(shuō)法。他分別于1632年和1638年，在《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》和《關(guān)于力學(xué)和運(yùn)動(dòng)兩種新科學(xué)的談話》（簡(jiǎn)稱《兩門(mén)新科學(xué)》）兩部著作中詳細(xì)地記錄了他的理想斜面實(shí)驗(yàn)，并由此推想得到他的結(jié)論：“假設(shè)物體沿光滑斜面落下，并沿著另一斜面向上運(yùn)動(dòng)，那么物體將不受斜面傾角的影響，仍將達(dá)到和原來(lái)同樣的高度，只是需要的時(shí)間不同而已。” 伽利略得到的結(jié)論，打破了自遙遠(yuǎn)的古希臘時(shí)代的科學(xué)傳統(tǒng)的奠基人亞里士多德以來(lái)，近一千多年間關(guān)于受力運(yùn)動(dòng)的物體地物理描述，當(dāng)外力停止作用時(shí)，運(yùn)動(dòng)的物體便歸于靜止的陳舊觀念。伽利略的思想無(wú)疑地比他的前輩們前進(jìn)了一大步，某種意義上說(shuō)，他的結(jié)論已經(jīng)非常接近慣性定律。但是伽利略本人還沒(méi)有完全徹底地?cái)[脫亞里士多德的影響，所以在科學(xué)史上，科學(xué)哲學(xué)家們還不能定義伽利略發(fā)現(xiàn)了慣性定律。

幾乎在同一個(gè)時(shí)代，公元1644年， 著名的法國(guó)哲學(xué)家笛卡爾在他的《哲學(xué)原理》一書(shū)中彌補(bǔ)了伽利略的不足。他明確地指出，除非物體受到外因的作用，否則物體將永遠(yuǎn)保持其靜止或者運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。并且笛卡爾還特別地聲明，作慣性運(yùn)動(dòng)的物體將永遠(yuǎn)不會(huì)使自己的運(yùn)動(dòng)軌跡趨向于曲線運(yùn)動(dòng)，而只會(huì)保持在直線上運(yùn)動(dòng)。笛卡爾嘗試把這條基本原理表述為兩條定律：1.每一個(gè)單獨(dú)的物質(zhì)微粒將繼續(xù)保持同一運(yùn)動(dòng)或者靜止的狀態(tài)，直到它與其他的微粒相碰撞而被迫改變這一狀態(tài)為止；2.所有的運(yùn)動(dòng)，其本身的運(yùn)動(dòng)軌跡都是沿著直線運(yùn)動(dòng)的。雖然笛卡爾的描述，在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)科學(xué)語(yǔ)言的層面上，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了伽利略對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的基本原理的直觀的物理科學(xué)語(yǔ)言描述，然而笛卡兒并沒(méi)有嚴(yán)格地建立起他試圖建立的那種能完備地演繹推理出各種各樣自然現(xiàn)象的科學(xué)體系，并且，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)科學(xué)語(yǔ)言的層面上，其中許多描述是錯(cuò)誤的。不過(guò)他的思想對(duì)于牛頓綜合一切實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象以及已有的運(yùn)動(dòng)物體的基本運(yùn)動(dòng)原理，產(chǎn)生了一定的影響。值得一提的是，笛卡兒的偉大貢獻(xiàn)在于他是第一位認(rèn)識(shí)到力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。

公元1687年在科學(xué)史上是一個(gè)值得紀(jì)念的年份。在這一年，英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓在笛卡爾、伽利略等前輩或者同輩的科學(xué)家的工作的基礎(chǔ)之上，撰寫(xiě)了偉大的著作——《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。在這本不朽的科學(xué)著作中，牛頓擺脫了一切舊觀念的束縛。他把慣性定律作為第一原理第一次以一種最準(zhǔn)確、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)科學(xué)語(yǔ)言，正式地提了出來(lái)：一切物體總保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或者靜止?fàn)顟B(tài)，除非作用在它上面的外力迫使它改變這種狀態(tài)為止。同樣的，牛頓指出了保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和靜止?fàn)顟B(tài)是物體的固有屬性的觀點(diǎn)，以及從中發(fā)現(xiàn)了慣性參照系的概念。

三、定理，定律，公理——數(shù)學(xué)哲學(xué)中的基本概念

通過(guò)以上對(duì)牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的數(shù)學(xué)與歷史的描述，我們可以發(fā)現(xiàn)，牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律是一個(gè)通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)，而進(jìn)行演繹推理得出來(lái)的結(jié)論。對(duì)于它的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是通過(guò)數(shù)學(xué)建模而得出的經(jīng)驗(yàn)公式，它并非一個(gè)可以通過(guò)已有的數(shù)學(xué)與物理公式，經(jīng)過(guò)邏輯推導(dǎo)而得出來(lái)的結(jié)論。

我們也不難從中得出，數(shù)學(xué)定律是一種通過(guò)對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，而得出的一類經(jīng)驗(yàn)公式；而另一方面，定理是通過(guò)公理體系和已有的結(jié)論進(jìn)行邏輯推導(dǎo)的結(jié)果；定律是可以推翻的，它不可通過(guò)邏輯推導(dǎo)嚴(yán)格地證明的；而定理就像公理一樣，是不可推翻的，而能夠進(jìn)行嚴(yán)格地證明的。

更進(jìn)一步地說(shuō)，在數(shù)學(xué)哲學(xué)層面上，關(guān)于定理，定律，公理，他們的區(qū)別如下：定理是建立在公理體系之上的，在公理體系的假設(shè)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理和證明而得到的結(jié)論。定律是一種理論模型，它用以描述特定情況、特定尺度下的現(xiàn)實(shí)世界，在其它尺度下可能會(huì)失效或者不準(zhǔn)確。而公理是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后被公認(rèn)為正確的命題。公理的正確性不需要用邏輯推理來(lái)證明，而定理的正確性則需要邏輯推理來(lái)證明。在物理學(xué)中，定理是通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)工具（如微積分）進(jìn)行邏輯推理而得來(lái)的，例如我們所熟知的動(dòng)能定理；而另一方面，定律則是由反復(fù)的實(shí)驗(yàn)得出或驗(yàn)證的結(jié)論，例如機(jī)械能守恒定律。

定理，定律，公理這三者都是用來(lái)描述不同的客觀事實(shí)的概念，不同之處只是在于它們有不同的應(yīng)用限度，在不同的條件下有著不同的因素在改變著他們其中的哲學(xué)內(nèi)涵。就像物理學(xué)中的慣性這個(gè)概念一樣，它不像動(dòng)能，可以用焦耳度量，慣性是無(wú)法用數(shù)據(jù)來(lái)度量的，我們只能說(shuō)物體具有慣性。牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律，更準(zhǔn)確、直觀的描述就是慣性定律。牛頓在思考這個(gè)概念時(shí)，他追隨著菲洛彭諾斯的“沖力理論”，并且對(duì)亞里士多德的觀點(diǎn)提出質(zhì)疑，這個(gè)“沖力理論”便用一個(gè)新的名詞——慣性代替了。然后他綜合了伽利略與笛卡爾《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》、《關(guān)于力學(xué)和運(yùn)動(dòng)兩種新科學(xué)的談話》和《哲學(xué)原理》的觀點(diǎn)，撰寫(xiě)了偉大的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。牛頓在書(shū)中多次利用三個(gè)基本的運(yùn)動(dòng)定律對(duì)簡(jiǎn)單的受力物體場(chǎng)景，進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析，于是就產(chǎn)生推論1：物體同時(shí)受到兩個(gè)力作用時(shí)，其運(yùn)動(dòng)將沿平行四邊形對(duì)角線進(jìn)行，所用時(shí)間等于二個(gè)力分別沿兩個(gè)邊所需的時(shí)間和。推論1，也就是常用的平行四邊形法則，推論2即力的合成與分解，推論3就是后來(lái)動(dòng)量守恒的前身?！蹲匀徽軐W(xué)的數(shù)學(xué)原理》雖然出版至今已經(jīng)400余年，無(wú)數(shù)的物理學(xué)教科書(shū)、科普著作，對(duì)經(jīng)典物理運(yùn)動(dòng)學(xué)的敘述已經(jīng)可以完全取代這本偉大著作，但是，由于其在科學(xué)發(fā)展史上不朽的地位，這本著作直到今天，對(duì)于那些有心的讀者當(dāng)作好玩珍品來(lái)閱讀，仍然有其重要的意義。

最后，站在現(xiàn)代的科學(xué)角度，我們可以簡(jiǎn)單地評(píng)價(jià)一下牛頓定律。在經(jīng)典力學(xué)中，基本的定律就是牛頓運(yùn)動(dòng)定律或與牛頓運(yùn)動(dòng)定律相關(guān)且等價(jià)的其他力學(xué)原理。在20世紀(jì)以前的力學(xué)研究中，有兩個(gè)基本假定：其一是假定時(shí)間和空間是絕對(duì)的，長(zhǎng)度和時(shí)間間隔的測(cè)量與觀測(cè)者的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，物質(zhì)間相互作用的傳遞是瞬時(shí)到達(dá)的；其二是一切可觀測(cè)的物理量在原則上可以無(wú)限精確地加以測(cè)定。20世紀(jì)以來(lái)，由于物理學(xué)的發(fā)展，特別是量子力學(xué)的發(fā)明，經(jīng)典力學(xué)的局限性暴露出來(lái)。如第一個(gè)假定，實(shí)際上只適用于與光速相比低速運(yùn)動(dòng)的情況。在高速運(yùn)動(dòng)情況下，時(shí)間和長(zhǎng)度不能再認(rèn)為與觀測(cè)者的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。第二個(gè)假定只適用于宏觀物體。在微觀系統(tǒng)中，所有物理量在原則上不可能同時(shí)被精確測(cè)定。因此經(jīng)典力學(xué)的定律一般只是宏觀物體低速運(yùn)動(dòng)時(shí)的近似定律。

參考文獻(xiàn)：

[1]牛頓.自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理[M].商務(wù)出版社，2018.