張旺

摘要： 研究了供應(yīng)鏈管理中利潤與風(fēng)險平衡問題，在已有理論基礎(chǔ)上對經(jīng)典報童模型進行了擴展，把單周期報童模型擴展為雙周期帶有缺貨損失與保管費用的訂購模型。用一段時間內(nèi)的期望利潤表示供應(yīng)鏈核心企業(yè)零售商所掙的利潤，采用經(jīng)典的利潤均值方差算法來衡量風(fēng)險的高低程度。在綜合考慮利潤的期望與風(fēng)險平衡時，提出效能函數(shù)來平衡收益期望與風(fēng)險。并結(jié)合實例進行模擬仿真，驗證了模型的可行性。結(jié)果表明：本文帶有缺貨損失與保管費用的訂購模型，比沒有保管費用的訂購模型所產(chǎn)生的訂購量更為合理，用效能函數(shù)來平衡供應(yīng)鏈管理中的利潤和風(fēng)險具有科學(xué)性。

Abstract： The problem of profit and risk balance in supply chain management is studied. Based on the existing theory， the classic newsboy model is extended to expand the single-cycle newsboy model into a two-cycle ordering model with out-of-stock loss and storage costs. The expected profits over a period of time is used to represent the profits earned by retailers in the core supply chain， and the classic profit mean variance algorithm is used to measure the level of risk. When considering the profit expectation and risk balance， this paper puts forward the efficiency function to balance the return expectation and risk. The simulation results show that the model is feasible. The results show that the ordering model with the out-of-stock loss and storage cost is more reasonable than the ordering model without the storage cost， and it is scientifical to balance the profit and risk in supply chain management with the performance function.

關(guān)鍵詞： 報童模型；供應(yīng)鏈管理；缺貨損失；風(fēng)險平衡

Key words： the newsboy model；supply chain management；out of stock loss；the balance of risks

中圖分類號：F253.4；F224.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）03-0106-04

0 引言

自改革開放三十多年來，我國的經(jīng)濟發(fā)展取得了舉世目睹的成績。但是，也帶來了諸多的問題，比如：市場消費產(chǎn)品呈現(xiàn)多樣化，其使用生命周期也發(fā)生了變化。在市場經(jīng)濟大環(huán)境下，市場競爭環(huán)境以及客戶需求帶來的不確定性對決策者的影響越來越明顯。

一般情況下，風(fēng)險中性的決策者做重大決策時都盡量規(guī)避市場不確定帶來的風(fēng)險。我們都知道，風(fēng)險與利潤是成正比的，風(fēng)險越大利潤越大，風(fēng)險越小利潤越小。然而，怎樣才能使利潤相對比較大、風(fēng)險相對較小呢？這就是本文所研究的目的。

在分析供應(yīng)鏈環(huán)境下產(chǎn)品銷售利潤與風(fēng)險中，最常用的理論基礎(chǔ)就是傳統(tǒng)報童模型。傳統(tǒng)經(jīng)典報童模型前提條件就是假設(shè)商品是單周期的，賣不出去必須退回供應(yīng)商那里。很顯然，這個假設(shè)與實際不符合。傳統(tǒng)經(jīng)典報童模型還假設(shè)當(dāng)進貨量少于或多于市場需求時，對經(jīng)銷商平均利潤產(chǎn)生的影響忽略不計。但是，實際銷售中這部分影響往往起到關(guān)鍵性的作用。

在某種環(huán)境中，如果顧客需要特定的一種產(chǎn)品，而經(jīng)銷商卻不能夠按照要求提供的時候。這時候，顧客會對經(jīng)銷商的品牌產(chǎn)生懷疑，從而使經(jīng)銷商的聲譽受到某種程度的影響。事后，經(jīng)銷商要想彌補這種丟失的聲譽，就要在宣傳或者其他方面投資，由此而使供應(yīng)鏈中整個利益價值鏈和決策者提供的決策策略也隨之發(fā)生了變化。市場商機千變?nèi)f化，而供應(yīng)鏈管理恰恰能對市場需求變化的規(guī)律做出一定的科學(xué)預(yù)測，從而協(xié)調(diào)庫存訂貨量來減小各個企業(yè)之間的成本投入和庫存風(fēng)險。在雙周期供應(yīng)鏈中，當(dāng)進貨量大于市場需求時，經(jīng)銷商也不一定非要以低價把商品退回，也可以保存到下一周期進行銷售。何平（2014）[1]研究了擴展的二次訂購報童模型，在文章開始就以一個簡單的例子證明了，銷售商為了獲得較理想的純利潤，寧愿剩余貨物，也不愿意過早退出市場。所以，風(fēng)險中性決策者都會優(yōu)先選擇冒險訂購策略而非選擇保守訂購策略。因此，在現(xiàn)實生活中，我們應(yīng)該把缺貨損失資金與倉庫保管一個周期的費用考慮到庫存模型中，顯得更為合理。本文將傳統(tǒng)報童模型擴展為帶有缺貨損失與保管費用的雙周期模型。

1 文獻綜述

供應(yīng)鏈決策中涉及信息流、資金流和物流的管理，對于后兩者的研究比較多。大部分都是通過一定的數(shù)學(xué)建模，來模擬庫存對整個供應(yīng)鏈產(chǎn)生的影響。眾所周知，對于供應(yīng)鏈上各個環(huán)節(jié)的零售商（供應(yīng)商）來說，“零庫存”模式是他們比較青睞的。一些學(xué)者和企業(yè)家研究利潤與風(fēng)險問題大多是基于報童模型的。學(xué)者最初研究經(jīng)典報童模型，僅僅用于銀行金融業(yè)，目標(biāo)函數(shù)只是求的核心企業(yè)的利潤最大值，并沒有把市場風(fēng)險作為一個影響因素考慮進模型中。隨著近代科學(xué)的發(fā)展，學(xué)科交叉現(xiàn)象普遍存在，各個行業(yè)的學(xué)者專家在經(jīng)典報童模型的基礎(chǔ)上又做了許多擴展，比如：模型參數(shù)的擴展、決策變量和目標(biāo)函數(shù)的擴展等。其中對目標(biāo)函數(shù)的擴展，表現(xiàn)在管理者做決策的時候，不能只考慮利潤最大值，還要考慮利潤受庫存風(fēng)險的影響。對于風(fēng)險中性的投資者來說，他們對風(fēng)險不排斥也不喜歡。但是，對于風(fēng)險厭惡型的投資者來說，他們非常厭惡風(fēng)險，會想盡一切辦法規(guī)避風(fēng)險。市場經(jīng)濟環(huán)境下，每個人都是社會人，并不是說一定是風(fēng)險中性或者風(fēng)險厭惡型的。所以，經(jīng)常把這兩種類型的放在一起進行研究分析，顯得更為合理。endprint

Markowitz（1962）[2]最早提出用均值方差的方法來衡量供應(yīng)鏈利潤風(fēng)險程度，這一方法在銀行資金流領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和擴展，他也因此名聲大噪獲得了諾貝爾獎。Eeckhoudt（1995）等[3]以經(jīng)典報童模型為基礎(chǔ)，分析了如果市場需求高于初始訂貨量時，風(fēng)險適中的投資者可以進行二次訂購這種擴展模型，他們發(fā)現(xiàn)分二次訂貨的風(fēng)險比一次訂貨風(fēng)險要低很多。Chen & Federgruen（2000）[4]以經(jīng)典報童模型為基礎(chǔ)，擴展了一系列的庫存模型，并引入均值方差的概念，研究結(jié)果表明：用均值方差大小來衡量庫存風(fēng)險高低的方法是科學(xué)有效的，投資者根據(jù)此所得到的最優(yōu)決策比依據(jù)傳統(tǒng)庫存模型做出的最優(yōu)決策要更優(yōu)。Chen（2007）等[5]提出經(jīng)典報童模型中CVaR度量準(zhǔn)則，以此來衡量風(fēng)險中決策者的最優(yōu)策略比風(fēng)險不敏感決策者最優(yōu)策略更優(yōu)。Lau等[6]用利潤期望除以利潤標(biāo)準(zhǔn)差得到一個比值，用這個比值來衡量及回避報童模型中的風(fēng)險，并提出效能函數(shù)的概念，表明：用效能函數(shù)來平衡利潤與風(fēng)險是非常科學(xué)的。楊建奎等（2009）[7]研究了單周期報童模型問題，在衡量風(fēng)險的時候?qū)鹘y(tǒng)的均值方差分析做了擴展，采用了半方差分析法來進行風(fēng)險分析，研究結(jié)果表明與用均值方差度量風(fēng)險的模型比較，半方差分析法得到的利潤比前者大，風(fēng)險比前者小。胡月華（2013）[8]研究了供應(yīng)鏈中各種擴展的報童模型，并把各種擴展模型運用到實例中，對結(jié)果進行了對比分析。很多學(xué)者從市場需求分布上入手，對報童模型進行擴展，并形成了豐富的成果。宋海濤（2004）[9]等假設(shè)市場需求為三角分布，研究了可追加訂購報童模型在使得期望收益最大化情況下，分組討論了進貨量的求解算法。

2 報童模型的擴展模型

2.1 模型構(gòu)建

庫存管理是供應(yīng)鏈管理中的一個非常重要的組成成分，它體現(xiàn)了企業(yè)對市場做出快速反應(yīng)和庫存成本兩個矛盾問題。假如：庫存商品過多，則核心企業(yè)競爭的自由資金就會減小，不利于資金運轉(zhuǎn)。如果，庫存商品太少甚至為零，則當(dāng)市場需求時，核心企業(yè)會由于反應(yīng)過慢錯失商機。作為最基本的庫存模型之一的報童模型，就是在市場需求為某種隨機需求下，零售商尋找產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量，使得其利益達到最大值，風(fēng)險達到最小值。

在供應(yīng)鏈管理中，決策者首先要做的就是根據(jù)目前市場環(huán)境情況，決定商品的訂購量q以滿足不多于雙周期內(nèi)市場需求量x。假設(shè)x是非負的連續(xù)型隨機變量。其分布密度為f（x），分布函數(shù)為F（x）。訂購價格為c，銷售價格為p，倉庫保管費用為r，缺貨損失費為s。顯然，實際當(dāng)中應(yīng)該有如下關(guān)系成立：r<

當(dāng)市場需求不大于訂貨量時，即x？燮q時，總收入為賣出貨物的收入px，加減去保管費用剩余收入（q-x）（p-r），減進貨支出cq。

當(dāng)市場需求大于訂購量時，即x>q時，總收入為賣出貨物的收入pq，減去進貨成本cq，減去缺貨損失s（x-q）。

根據(jù)上面分析，在雙周期內(nèi)供應(yīng)鏈總利潤？仔（q）滿足如下關(guān)系：

？仔（q）=px-cq+（q-x）（p-r），x？燮q（p-c）q-s（x-q），x>q

決策者作為一個社會人在制定策略時，主要考慮利潤與風(fēng)險的函數(shù)，目標(biāo)是使利潤最大風(fēng)險最小，通過轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃問題，進行一些簡單的計算，可以得出決策者決策的最優(yōu)訂購方案。

2.2 最優(yōu)決策分析

根據(jù)傳統(tǒng)報童理論[10]，則收益期望E（？仔）如下式所示：

E（？仔）=■[px-cq+（q-x）（p-r）]f（x）dx+■[（p-c）q-s（x-q）]f（x）dx

=（p-c-r）q■f（x）dx+r■xf（x）dx+（p-c+s）q■f（x）dx-s■xf（x）dx

=（p-c+s）q-sE（x）-（r+s）■F（x）dx

對收益期望分別求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)：

■=（p-c+s）-（r+s）F（q）

■=-（r+s）f（q）？燮0

因為■？燮0，且不恒為零，所以收益期望有最大值。

當(dāng)■=（p-c+s）-（r+s）F（q）=0時取得最優(yōu)訂貨量。此時F（q*）=■ q*=F-1（■）

期望收益是一個關(guān)于訂貨量q的函數(shù)，所以其也是一個隨機變量。它的實際含義是指零售商某一段時間內(nèi)的平均收益。收益方差的實際含義表示實際收益與期望收益的偏離程度，也就是本文研究的投資風(fēng)險。偏離程度越大，風(fēng)險越大，偏離程度越小，風(fēng)險越小。則收益期望D（？仔）如下所示：

D（？仔）=E[（？仔-E（？仔））2]

=■[px-cq+（q-x）（p-r）-（p-c+s）q+（r+s）■F（x）dx+sE（x）]2f（x）dx+■[（p-c）q-s（x-q）-（p-c+s）q+（r+s）■

F（x）dx+sE（x）]2f（x）dx

=■[sE（x）+（r+s）（■F（x）dx-q）+xr]2f（x）dx+■[sE（x）+（r+s）■F（x）dx-sx]2f（x）dx

下面把期望收益和風(fēng)險方差轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問題進行討論：

C1=maxE（？仔）

s.t.D（？仔）？燮r0

C2=min D（？仔）

s.t.D（？仔）？叟p0

其中r0是風(fēng)險上線，p0是利潤下限，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于期望與方差的線性規(guī)劃問題，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)和約束條件的性質(zhì)進行分析。

3 算例仿真

假設(shè)市場需求X服從均勻分布，即X～U[a，b]，設(shè)a=10，b=30。則期望E（x）=■=20，方差D（X）=■=■，零售價格p=14，成本價c=7，缺貨損失s=9，保管費用r=1。風(fēng)險上線r0=-90，利潤下限p0=150。

為了便于計算和算例仿真，對收益方差進行轉(zhuǎn)換。

D（？仔）=E[（？仔-E（？仔））2]=E（？仔2）-E（？仔）2

通過前面的分析，我們可以得出擴展報童模型的期望收益和收益方差。兩者完全是由數(shù)學(xué)里面的期望方差演變而來，并沒有把單位這個因素考慮進去。然而，在實際中期望和風(fēng)險都是有單位的。有時候，也會出期望收益很大，收益風(fēng)險也很高這種矛盾的局面。所以，為了避免不同單位的函數(shù)視圖問題和其矛盾局面出現(xiàn)，引入效能函數(shù)I。效能函數(shù)起到了平衡期望收益和收益風(fēng)險的作用，在一些文獻中也有引入效能函數(shù)I來平衡收益和風(fēng)險的情況。定義I？仔=■，從定義中可以看出，效能函數(shù)與期望收益成正比，與收益風(fēng)險的標(biāo)準(zhǔn)差成反比。由于前面證明了期望利潤和收益風(fēng)險函數(shù)均為凸函數(shù)，所以，效能函數(shù)存在最大值。當(dāng)期望利潤取得相對較大值時，而收益風(fēng)險相對較小時，效能函數(shù)取得最大值，此時的訂貨量滿足風(fēng)險適中的投資者的要求。

圖1是根據(jù)以上數(shù)值假設(shè)，用MATLAB工具編程仿真得出供應(yīng)鏈利潤和風(fēng)險可視圖。其中E（？仔）是市場需求為均勻分布函數(shù)的帶有缺貨損失與保管費用的雙周期模型的期望收益走勢圖。很明顯，收益期望是一個凸函數(shù)存在極大值，也就是存在最大的訂貨量q*使其達到最大值。當(dāng)進貨量q<10時，均勻分布的需求在此時處于零需求狀態(tài)，此時有一定的訂貨量但不是很多。市場沒有需求所以貨物都賣不出去，只好堆在倉庫等待下個周期再賣出，因而這一段的收益期望為負數(shù)，正體現(xiàn)了倉庫保管費用。在訂貨量從10開始緩慢增大時，此時有一定的市場需求，但是需求量很小，此時期望收益變化并不明顯。在訂貨量增加的同時，市場需求也在增加，根據(jù)數(shù)學(xué)理論中的零點定理，可以找到一個點使期望收益為零，此點就是零售商不賠不賺的臨界點。

當(dāng)訂貨量大于這個臨界點時，期望收益出現(xiàn)正值，并且呈現(xiàn)遞增趨勢。圖中訂貨量在40左右，收益達到最大值，根據(jù)最優(yōu)訂貨量公式可以算出此時q*=42。市場需求保持不變情況下，若訂貨量達到最優(yōu)訂貨量后仍然表現(xiàn)為遞增，此時收益的期望則呈現(xiàn)減小的狀態(tài)。市場需求一定，訂貨量越多，庫存商品量越大，保管費用增加，因而收益也隨之減小。所以，訂貨量不宜過多也不宜過少。

圖1中■D（？仔）是期望收益函數(shù)，其中系數(shù)■是將收益函數(shù)進行成倍的放縮，使其更好地呈現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，其風(fēng)險的實際含義是表示實際收益與期望收益的偏差程度。從圖中可以看出，方差函數(shù)處于零軸以下，表明：風(fēng)險對利潤是負相關(guān)，其絕對值大小表示風(fēng)險大小。很明顯，方差函數(shù)也是一個凸函數(shù)存在最大值，并且隨著收益期望的增加而增加，減少而減少。這也充分說明了利潤與風(fēng)險的關(guān)系，利潤越大風(fēng)險越大。大致在訂貨量35左右其絕對值達到最小值，隨著訂貨量的增加，風(fēng)險逐漸變大。通過上面的假設(shè)，結(jié)合具體的擴展模型進行編程求解，可以得出零售商最優(yōu)訂貨量應(yīng)該在35到42之間。

圖1中r0=90，p0=150分別是風(fēng)險上限和利潤下限。對于不同的決策者利潤和風(fēng)險臨界值是不同的，有的決策管理者是中性的，對風(fēng)險并不厭惡，他們認為風(fēng)險越大，相對利潤越大。對于風(fēng)險厭惡的決策者，往往喜歡低風(fēng)險，相對高利潤的訂貨策略。所以，這里的風(fēng)險和利潤上下限是根據(jù)企業(yè)決策者管理思想而定的。滿足風(fēng)險的訂貨量范圍是10到43，滿足利潤訂貨量范圍是20到65。

圖1中500I？仔是效能函數(shù)，乘以500是對其進行了有效的放縮，為了使其規(guī)律性更容易可視化。從圖中可以看出，效能函數(shù)也是凸函數(shù)存在最大值，最大值在38附近。隨著訂貨量的進一步增加，效能函數(shù)逐步下降。綜合收益期望、收益風(fēng)險和效能函數(shù)綜合考慮，在本次算例仿真中最優(yōu)訂貨量應(yīng)該是38左右。

4 結(jié)論

本文對傳統(tǒng)經(jīng)典報童模型進行擴展，提出了帶有缺貨損失與保管費用的庫存模型。通過計算機仿真驗證了模型的可行性，并把抽象的數(shù)學(xué)模型進行可視化表示，報童模型在供應(yīng)鏈中呈現(xiàn)的經(jīng)濟學(xué)規(guī)律一目了然。由于現(xiàn)實中事件的不確定性因素太多，所以提出用效能函數(shù)來平衡利潤與風(fēng)險，結(jié)果表明：效能函數(shù)具有明顯的現(xiàn)實意義。綜合考慮收益、風(fēng)險和效能函數(shù)之間的關(guān)系得出最優(yōu)訂貨量，既能滿足收益最大化又能滿足風(fēng)險最小化。

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