龔 夢，邵傳平

(中國計量大學 計量測試工程學院，浙江 杭州 310018)

彈性模量是經(jīng)常要用到的一個重要力學性能指標.測量葉柄的彈性模量在研究樹木與風場的流固耦合[1-3]，運用樹木特征進行仿生研究[4-6]以及計算機動畫技術(shù)中實現(xiàn)具有真實感的樹的模擬[7]等方面具有重要意義.

王淑娟和謝寶元參照《木材抗彎彈性模量測定方法》標準GB/T 1936.2—2009中的規(guī)定，采用三點彎曲實驗獲得新鮮樹枝的抗彎彈性模量，并分析了休眠期常綠喬木和落葉喬木的枝齡、含水率、密度等對抗彎彈性模量的影響[8].王麗宇等采用電測法測試了白樺木材的12個彈性常數(shù)[9].高珊、王立海、王喜平發(fā)現(xiàn)溫度對木材的抗彎性能具有顯著影響，隨著溫度的升高，木材的抗彎性能逐漸減弱；相同承載條件下，含水率越高，沒顯著影響，隨著溫度的升高，木材的抗彎性能逐漸減弱;相同承載條件下，含水率越高，木材的抗彎曲性能越強[10].

葉柄的彈性模量測量較少有人涉及，已知文獻中Nikles用多重共軛頻譜法測量了楊柳葉柄的楊氏模量和剪切模量，并得出他們與葉柄長度、重量、葉片大小等成正相關[11]。胡瀟毅等在進行動畫模擬時通過小風實驗粗略測量得到某種闊葉葉柄的彈性模量值在100～500 MPa[7].本文將搭建懸臂梁集中載荷模型實驗平臺并測量新鮮構(gòu)樹葉柄的彈性模量，進而簡單分析其影響因素.

1 實驗方法

1.1 研究對象

測量對象為圖1中5到6月杭州下沙地區(qū)新鮮采摘的構(gòu)樹葉柄.為方便測量、保證準確度，需篩選相對比較筆直的葉柄進行實驗.

圖1 新鮮構(gòu)樹葉柄Figure1 Fresh paper mulberry petiole

1.2 測量原理

大撓度懸臂梁集中載荷模型如圖2，長為L的葉柄一端固定，構(gòu)建懸臂梁，在自由端加載. 梁加載彎曲后，從固定端起，沿梁軸的曲線坐標S處的梁彎角φ(梁曲線切線與水平軸的夾角)滿足方程：

(1)

式(1)中x、s分別為S點的水平坐標值和到原點弧長，xm為自由端水平坐標值，P為自由端載荷，E為待求的葉柄彈性模量，I為橫截面慣性矩.

(2)

圖2 懸臂梁集中載荷模型Figure 2 Lumped load model of cantilever beam

求解微分方程(2)，得到自由端彎轉(zhuǎn)角φm滿足方程：

(3)

自由端撓度滿足：

(4)

其中ym為每次加載后最大撓度.然后由上式(4)求出φm，再由式(3)求出A值，最后由此得到彈性模量：

(5)

構(gòu)樹葉柄截面近似圓形，相應的截面矩計算公式：

(6)

式(6)中d為截面圓直徑.

真實葉柄直徑是變化的，用D1、D2、D3分別表示葉柄靠近葉片端、中部、基部的直徑.定義：

(7)

α在0.006～0.015之間，對I影響很小，因此本次測量中為計算方便假設葉柄粗細均勻，取3個部位直徑平均值作為有效值，即

(8)

1.3 撓度放大

加載過程中撓度變化很小，為了減小誤差，提高測量的準確度，搭建簡單的光學系統(tǒng)對撓度進行示值放大.

圖3 光學放大Figure 3 Optical amplification

1.4 實驗過程

實驗時葉柄固定方法如圖4，待測葉柄(帶枝)放置于水平桌面上，用壓塊壓住樹枝部分，構(gòu)成懸臂梁.測量過程在b端(與樹葉相連端)加載荷，使葉柄彎曲.通過測量葉柄的最大撓度可間接測量相應葉柄的彈性模量.

實驗時采用逐漸加載，載荷從0開始，加載增量0.5～2 g，直到自由端梁彎角近似垂直，加載范圍為0～50 g.測量每次加載后的最大撓度，最后用懸臂梁集中載荷模型計算葉柄的彈性模量.注意葉柄彈性模量在不同生長階段和不同環(huán)境下具有差別，所以不同葉柄實驗時的加載增量和范圍有所不同.

單個葉柄每次加載，均可計算出一個相應的彈性模量.因此實驗可測得單個葉柄的一系列彈性模量.

圖4 葉柄固定方式Figure 4 Fixation method of petiole

1.5 測量精度

葉柄個體不同，抗彎能力也不同。為了確定測量方法的精度，對葉柄在y′<0.11的范圍進行多次重復實驗。某葉柄(11月份)5次重復實驗結(jié)果如圖5，測量值與擬合值曲線(擬合優(yōu)度0.993)在最大誤差處的相對誤差為5.8%.我們進行了3組這樣的實驗，另外兩組結(jié)果分別為6.7%、6.3%,故測量精度為6.7%.

圖5 5次重復實驗結(jié)果及其擬合曲線，y′=ym/LFigure 5 Results of 5 experiments and fitting curve

2 實驗結(jié)果及分析

實驗測得五、六月份新鮮構(gòu)樹葉柄的彈性模量在50～600 MPa之間，平均值為166 MPa，個體間差異較大.

圖6比較不同樹上的葉柄彈性模量差異.來自同一棵樹的4、5、6號葉柄彈性模量值明顯大于來自另一棵樹的1、2、3號葉柄.

圖6 不同樹上的葉柄彈性模量比較，y′=ym/LFigure 6 Comparison of different trees

圖7中1、2、3號葉柄分別摘至同一樹枝頂部、基部、中部，從圖中可以看出樹枝基部葉柄彈性模量大于頂部，中部葉柄彈性模量在撓度<0.35時剛好處于二者之間.

圖7 同一樹枝不同位置葉柄彈性模量比較，y′=ym/LFigure 7 Comparison of different part of the same branch

圖8比較同一樹枝上直徑、密度不同的4個葉柄的彈性模量，密度接近的兩葉柄直徑較大的彈性模量也大，直徑接近的葉柄密度大彈性模量也大，即葉柄的彈性模量與其直徑和密度大小存在正相關.

從圖6、7、8可以看出，單一構(gòu)樹葉柄的彈性模量會隨撓度增大而減小，圖5的重復實驗也證實了這一點，這說明它是一種非線性彈性材料.

圖8 同一樹枝不同直徑、密度葉柄彈性模量比較，y′=ym/LFigure 8 Comparison of different diameter and density on the same branch

3 結(jié) 論

通過懸臂梁自由端集中載荷實驗測量5到6月份新鮮構(gòu)樹葉柄的彈性模量.在實驗中采用光學放大方法放大撓度示值，減小人工誤差.對葉柄在y′<0.11的范圍進行多次重復實驗得到該方法的測量精度為6.7%.

實驗分析發(fā)現(xiàn)新鮮構(gòu)樹葉柄是一種非線性彈性材料，其彈性模量會隨撓度的增大而減小.假設葉柄粗細均勻，它的彈性模量值在50～600 MPa之間，個體間差異較大.同一樹枝上靠近基部的葉柄彈性模量更大，且與葉柄直徑、密度存在正相關.這些差異可能與葉柄生長狀態(tài)、溫度以及葉柄的含水率相關[13-14]，值得深入研究.

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