賈艷云

（第七一五研究所，杭州，310023)

壓縮傳感技術(shù)作為近年來在信號(hào)處理領(lǐng)域新的處理方法，充分利用信號(hào)在變換域的稀疏結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的采樣與重構(gòu)，比傳統(tǒng)的香濃理論更節(jié)省硬件資源，降低了對(duì)硬件要求。香濃采樣定理假定信號(hào)帶限連續(xù)且采樣率大于等于信號(hào)的兩倍最高信號(hào)頻率，就可以無失真地從采樣值中恢復(fù)原信號(hào)，否則會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。香濃采樣定理假定有限帶寬。除帶寬可以作為先驗(yàn)信息外，實(shí)際應(yīng)用中的大多數(shù)信號(hào)具有一定的結(jié)構(gòu)性（如稀疏特性）。利用信號(hào)在某個(gè)變換域稀疏（相對(duì)于信號(hào)長度，只有極少數(shù)的幾個(gè)系數(shù)非零，其余系數(shù)均為零）的知識(shí)進(jìn)行采樣與重構(gòu)，即壓縮傳感[1～7]。本文在利用信號(hào)和信道稀疏結(jié)構(gòu)特性的基礎(chǔ)上，結(jié)合信號(hào)檢測似然比理論，推導(dǎo)信號(hào)檢測的稀疏LRT結(jié)構(gòu)和稀疏信道估計(jì)方法。

1 壓縮傳感基本理論

壓縮傳感的線性測量過程如圖1所示。從圖1中可以看出，壓縮傳感理論有三個(gè)主要內(nèi)容：（1）信號(hào)稀疏表示問題，即稀疏變換：對(duì)于信號(hào)s∈RN，如何找到某個(gè)正交基Ψ，使其在Ψ上的表示是稀疏的；（2）信號(hào)低速采樣問題，如何設(shè)計(jì)一個(gè)平穩(wěn)的、與Ψ不相關(guān)的M×N（M＜N）維的觀測矩陣Φ，保證稀疏向量θ從N維降到M維時(shí)重要信息不遭破壞；（3）信號(hào)重構(gòu)問題，如何設(shè)計(jì)快速重構(gòu)算法從線性觀測y=ΦΨθ=Θθ中恢復(fù)信號(hào)。

純信號(hào)情況下重構(gòu)信號(hào)s的一個(gè)直接的方法是最小l0范數(shù)法，近年來 Donoho D等人[8]證明了l1最小范數(shù)在一定條件下和l0最小范數(shù)等價(jià)，則重構(gòu)信號(hào)變?yōu)樽钚1范數(shù)法。

當(dāng)信號(hào)s混雜在均值為零方差為2σ的高斯白噪聲w中時(shí)，重構(gòu)公式為：

式中，β是一個(gè)自由因子[9]。

圖1 壓縮傳感的線性測量過程

壓縮傳感充分利用了信號(hào)的稀疏結(jié)構(gòu)特性，在保留信號(hào)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，以非自適應(yīng)線性映射的采樣方法重構(gòu)信號(hào)。它突破了香濃采樣定理的極限，跳過了傳統(tǒng)采樣過程中獲得大批冗余數(shù)據(jù)，然后再舍去絕大部分不重要數(shù)據(jù)的中間過程，為處理、傳輸和存儲(chǔ)節(jié)約了大量的成本。以隨機(jī)采樣的方式，用更少的數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)恢復(fù)原始信號(hào)，是對(duì)傳統(tǒng)理論的顛覆。

2 稀疏信號(hào)檢測與信道估計(jì)原理

2.1 稀疏信號(hào)檢測

多數(shù)情況下，聲吶檢測并不要求信號(hào)重構(gòu)，只需檢測信號(hào)的有無或信號(hào)存在時(shí)對(duì)其位置的估計(jì)[10-13]。這要求聲吶工作者在稀疏性表征、穩(wěn)定的測量矩陣構(gòu)建和重構(gòu)算法選取的基礎(chǔ)上，研究信號(hào)檢測的稀疏 LRT結(jié)構(gòu)-CS LRT/CS GLRT理論。

檢測問題可以描述為（假定為二元簡單假設(shè)檢驗(yàn)：H0假設(shè)，無信號(hào)；H1假設(shè)，有信號(hào)）：

其中，s表示信號(hào)，且已知；w表示高斯白噪聲，服從為噪聲方差；y為測量數(shù)據(jù)；Φ為已知的測量矩陣。通過經(jīng)典的檢測理論，計(jì)算似然比：

η為似然比門限，上式即為CS LRT。

計(jì)算對(duì)數(shù)似然比，將常數(shù)納入到門限的計(jì)算中，則有檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

這是一個(gè)匹配濾波結(jié)構(gòu)，它是稀疏檢測和估計(jì)的核心。可以看到，壓縮傳感是在簡單（復(fù)合）假設(shè)檢驗(yàn)中尋求一個(gè)最大不變變換來重構(gòu)目標(biāo)的稀疏場景。若（4）式中存在未知的討厭參量，可以用該未知參量的最大似然估計(jì)替代，從而形成CS GLRT。

令虛警率PFA=α，若測量矩陣Φ行正交，則檢測概率

其上下限[3]為

SNR表示信噪比，ε表示一個(gè)很小的正數(shù)。式（7）說明了在完成檢測任務(wù)時(shí)，通過利用一個(gè)隨機(jī)投影損失了多少信息（相對(duì)于利用信號(hào)自身的采樣值）。當(dāng)ε→0時(shí)，檢測概率

2.2 稀疏信道估計(jì)

2.2.1 信道稀疏脈沖響應(yīng)估計(jì)

假定信源為一個(gè)點(diǎn)源，當(dāng)信源發(fā)射E0的能量歸一化波形f(t)時(shí)，接收數(shù)據(jù)信號(hào)分量y(t)為發(fā)射波形f(t)與信道時(shí)變脈沖響應(yīng)h(t,τ)的卷積，即

進(jìn)行離散化

式中，tn=nΔt，Δt為時(shí)間采樣間隔。

將連續(xù)M個(gè)時(shí)域采樣排成一個(gè)列向量，則

M是一個(gè)平滑窗長，對(duì)于一個(gè)稀疏信道，令P表示中占優(yōu)勢的構(gòu)成數(shù)，其余Q?P個(gè)構(gòu)成等于零或近似為零。式（11）的基本假定是

上式成立依賴于平滑窗長M和信道的起伏率。

2.2.2 信道稀疏散射函數(shù)估計(jì)

式（9）的信號(hào)源信道擴(kuò)展函數(shù)可表示為

決定了發(fā)射波形通過海洋這個(gè)雙擴(kuò)展信道時(shí)的時(shí)延和多普勒擴(kuò)展量，v表示窄帶多普勒頻移或散射過程中時(shí)間變化引起的擴(kuò)展頻率。窄帶接收信號(hào)可建模為

離散化上式，并將連續(xù)的M個(gè)時(shí)域采樣排成一個(gè)列向量，則

對(duì)于一個(gè)稀疏信道，令P表示G中占優(yōu)勢的構(gòu)成數(shù)，其余KQ?P個(gè)構(gòu)成等于零或近似為零。式（14）成立的條件是信道擴(kuò)展函數(shù)在這M個(gè)時(shí)域采樣上保持常數(shù)，即要求采樣間隔盡可能小。這個(gè)條件是否成立取決于平滑窗長M和信道時(shí)延-多普勒組成的起伏率。

一般來講，M的選擇要考慮以下四方面的內(nèi)容：保證（14）式中G變化不大；應(yīng)與占優(yōu)勢的時(shí)延—多普勒構(gòu)成數(shù)P成比例；大M有助于抑制噪聲干擾和增強(qiáng)的列正交性。

散射函數(shù)為

P的選擇應(yīng)該最小化信號(hào)預(yù)測誤差[14]。信號(hào)預(yù)測誤差為是可以直接測量的，并可以用來評(píng)估各種信道估計(jì)算法。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

3.1 信號(hào)檢測仿真

圖 2（a）是在信噪比SNR=20 dB的情況下，同一信號(hào)不同的測量值對(duì)檢測概率的影響。從圖中可以看出，對(duì)于M=0.05N，檢測概率相對(duì)較?。划?dāng)M=0.1N時(shí)，檢測性能有了很大的改善；在M=0.2N時(shí)，壓縮傳感檢測器的性能基本接近于經(jīng)典的檢測器性能。因而，壓縮傳感理論可以用于目標(biāo)檢測。

圖2（b）是在虛警率α=0.1的情況下，不同信噪比和測量數(shù)M對(duì)檢測概率PD的影響?？梢钥闯觯谛旁氡容^高的情況下，檢測性能程指數(shù)收斂到 1，即高信噪比時(shí)，只需很少的測量數(shù)就可以完成檢測任務(wù)。

圖2(a) 測量值M對(duì)檢測概率PD的影響

圖2(b) 信噪比對(duì)檢測概率PD的影響

圖 3 是在信噪比SNR=20 dB，測量數(shù)M=0.05N時(shí)用不同的方法產(chǎn)生的測量矩陣Φ的平均ROC曲線?？梢钥闯?，所有的測量矩陣的檢測性能與期望的檢測性能一致。

圖3 不同方法產(chǎn)生的測量矩陣的平均ROC曲線

圖4是信噪比SNR=20 dB，信號(hào)長度N=104，測量數(shù)M=0.05N的ROC曲線的期望檢測性能及其上下界。

圖4 ROC曲線的期望檢測性能及其上下界

3.2 信道估計(jì)仿真

假定信道是時(shí)延擴(kuò)展和多普勒擴(kuò)展分別為 7 ms、50 Hz的慢時(shí)變信道，采用10 kHz采樣頻率、中心頻率300 Hz、帶寬10 Hz、長度10 s、背景噪聲為高斯白噪聲的LFM-PCW組合隨機(jī)加權(quán)信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和分析，仿真結(jié)果如圖 5、圖 6所示。圖5（a）為真實(shí)的信道稀疏散射函數(shù)，圖5（b）、圖 5（c）、圖 5（d）分別為?10 dB、0 dB、30 dB的測量數(shù)為1 200、信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)為20的信道估計(jì)稀疏散射函數(shù)。可以看出，隨著信噪比的提高，估計(jì)結(jié)果越逼近真實(shí)的信道稀疏散射函數(shù)，即估計(jì)誤差隨著信噪比的增加而減小。

圖5(a) 信道真實(shí)稀疏散射函數(shù)

圖5(b) M=1 200,P=20,SNR=?10 dB信道估計(jì)散射函數(shù)

圖5(c) M=1200,P=20,SNR=0 dB信道估計(jì)散射函數(shù)

圖5(d) M=1 200,P=20,SNR=30 dB信道估計(jì)散射函數(shù)

圖 5（e）為信噪比 30 dB、測量數(shù)為 1200、信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)為 50的信道估計(jì)稀疏散射函數(shù)，對(duì)比圖 5（d）可以看出，此時(shí)的估計(jì)效果較好，估計(jì)誤差也相應(yīng)降低，但這是以增加計(jì)算量為代價(jià)的；圖 5（f）為信噪比 30 dB、測量數(shù)為500、信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)為 20的信道估計(jì)稀疏散射函數(shù)，對(duì)比圖 5（d）可以看出，估計(jì)效果明顯變差，測量數(shù)減少即測量不充分時(shí)的列正交性也相對(duì)減弱，估計(jì)誤差偏大。

圖5(f) M=500,P=20,SNR=30 dB信道估計(jì)散射函數(shù)

圖 6（a）為信道的另一種真實(shí)的稀疏散射函數(shù)；圖6（b）為信噪比30 dB、測量數(shù)為800、信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)為 20的信道估計(jì)稀疏散射函數(shù)。對(duì)比圖 5（a）和圖 5（d）可以看出，本文方法對(duì)不同的稀疏信道均可以有效估計(jì)。

圖6(b) M=800,P=20,SNR=30 dB信道估計(jì)散射函數(shù)

圖 7給出了稀疏信道在相同測量數(shù)及相同占優(yōu)勢構(gòu)成和不同信噪比下的信道散射函數(shù)估計(jì)誤差圖。

圖7 不同M和P在不同信噪比下的估計(jì)誤差

從圖中可以看出，在信噪比和測量數(shù)固定的情況下，對(duì)于同一個(gè)信噪比，隨著信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)的增加，估計(jì)誤差減小；對(duì)于相同的測量數(shù)和信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)，隨著信噪比的增加，估計(jì)誤差也是減小的，尤其是當(dāng)信噪比增加到10 dB，測量數(shù)增加到 1 200，信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)為 50時(shí)，估計(jì)誤差降到 0.15；當(dāng)信噪比增加到 30 dB時(shí)，估計(jì)誤差降到 0.05。雖然測量數(shù)比信道占優(yōu)勢構(gòu)成數(shù)大很多，但相對(duì)于香濃采樣定理規(guī)定的Nyquist率，這個(gè)測量數(shù)卻是很小的。如果我們增加測量數(shù)，估計(jì)誤差將會(huì)進(jìn)一步減小。

4 結(jié)論

本文將壓縮傳感理論稀疏信號(hào)處理方法應(yīng)用于仿真稀疏信號(hào)檢測與稀疏信道散射函數(shù)估計(jì)研究，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明該稀疏信號(hào)檢測結(jié)果及稀疏信道估計(jì)結(jié)果與真實(shí)的理論結(jié)果具有一致性，充分挖掘和利用信號(hào)和信道的稀疏知識(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)有效的估計(jì)信道。本文研究方法針對(duì)的是慢時(shí)變稀疏信道的估計(jì)，對(duì)于快時(shí)變稀疏信道的估計(jì)將是以后研究的重點(diǎn)。

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