程從華,程麗娟

(1. 肇慶學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 肇慶 526061；2. 嶺南師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 湛江524048)

廣義Paretto分布最早由Pickands提出[1].隨機變量X服從廣義Pareto分布,如果它的概率密度函數(shù)(PDF)為

(1)

f(x;α,λ)=αλ(1+λx)-(α+1).

(2)

對應(yīng)的分布函數(shù)為：

F(x;α,λ)=1-(1+λx)-α,x,α,λ>0.

(3)

廣義Pareto模型在極端事件分析中有著廣泛的應(yīng)用.比如，保險分析中的大額報單索賠問題以及可靠性分析中的失效時間建模問題都可以利用廣義Pareto模型來進行建模分析. Harris研究了保修服務(wù)時間決策問題[2]. Davis和Feldstein利用廣義Pareto模型研究了循序刪失情形下的等效元件失效時間問題[3]. Hosking和Wallis研究了廣義Pareto模型的參數(shù)和分位數(shù)估計問題[4]. Smith研究了非正則條件下的分布族參數(shù)最大似然估計問題[5]. Liang基于非參數(shù)經(jīng)驗貝葉斯方法討論了廣義Pareto分布的尺度參數(shù)估計問題[6]. Nigm等在兩樣本和隨機樣本容量條件下討論了廣義Pareto分布未知參數(shù)的貝葉斯區(qū)間估計問題[7].Wu等在循序刪失數(shù)據(jù)情形下研究了廣義Pareto分布參數(shù)的區(qū)間估計問題[8].

尋找最優(yōu)刪失計劃是一個近年來受到廣泛關(guān)注的問題.在循序刪失情形下，本文首先討論廣義Pareto分布未知參數(shù)的最大似然估計問題，并且給出廣義Pareto模型在循序刪失條件下的期望Fisher信息矩陣.其次利用期望Fisher信息矩陣，在三種不同準則下，討論最優(yōu)刪失計劃的設(shè)計問題.在壽命分析實驗中，大多數(shù)壽命實驗還會受到實驗經(jīng)費預算的約束.近幾年來許多學者也對此進行了研究，比如：Tse等[9]，Chen等[10]和 Wu等[11]. 在實驗經(jīng)費不超過給定數(shù)額條件下，討論循序刪失計劃的最優(yōu)設(shè)計問題. 針對循序I型區(qū)間刪失特點，主要考慮三個問題,分別是如何確定參與壽命分析實驗的元件個數(shù)，觀測區(qū)間個數(shù)以及實驗檢測區(qū)間長度.最后給出完成壽命測試實驗的一個具體算法，并且通過一個具體實例來演示本文的方法.

1 期望信息矩陣

為了計算未知參數(shù)的Fisher信息，需要以下的一些預備知識[12].

Xi|Xi-1,Xi-2,…，X1，Ri-1,Ri-2,…，R1～B(Mi,qi),

E(M1)=n,E(R1)=np1(1-q1),E(Xi)=E(Mi)qi,i=1,2,…，m,

利用以上結(jié)論，可以得到期望Fisher信息矩陣E，且E可以表示為：

(4)

這里

(5)

2 最優(yōu)刪失計劃設(shè)計

2.1 算法設(shè)計

在實驗成本約束條件下，這一小節(jié)討論最優(yōu)的實驗設(shè)計問題.利用Ng等定義的如下三個最優(yōu)準則來進行實驗設(shè)計[13].

(2)T-最優(yōu)：最小化協(xié)方差矩陣的跡，tr(V(α,λ))=V11+V22.

(3)F-最優(yōu)：最大化參數(shù)最大似然估計期望Fisher矩陣的跡，tr(E(α,λ))=E11+E22.

假定相鄰的觀測區(qū)間長度差都等于給定的長度t，同時假定有n個元件投入壽命測試實驗，有m個觀測時刻點，第i個觀測區(qū)間的時間長度為it，i=1,2,…，m.同時假設(shè)以下實驗設(shè)計參數(shù).

(a) 樣本成本：令Cs是每一個參與測試的元件價格，則樣本總成本為nCs.

(b) 檢測成本：令Ci是每一個參與測試的元件檢測成本，則總檢測成本為mCi.

因此，壽命測試實驗的總成本是：

顯而易見的是，每個實驗準則都是n,m,t的函數(shù)，記為G(n,m,t).當實驗總成本是給定參數(shù)Cb時，則約束條件變?yōu)椋?/p>

(6)

因此，這個實驗的最優(yōu)設(shè)計可以表述為：

(7)

其中，N是正整數(shù).

可以看到目標函數(shù)和約束條件都是非線性函數(shù). 下面將利用非線性混合規(guī)劃方法求解上述目標函數(shù).非線性規(guī)劃問題由Kamat和 Mesquita首先提出[14].關(guān)于非線性混合規(guī)劃方法比較全面的知識可以參考Grossmann的介紹[15]. 對本文涉及的目標函數(shù)和具體問題,主要參考Taha的方法[16]. 基于上述介紹，給出如下算法.

(Ⅳ)對于給定的n，計算函數(shù)G(n,m,tmn)的值.

(Ⅶ)計算最優(yōu)函數(shù)G(n,m,tmn)的值，這里的

則(n*,m*,t*)就是我們尋找的最優(yōu)刪失計劃.

2.2 演示實例

min imize(max imize)G(n,m,t),

subject to 10n+5m+m(m+1)t≤600,n,m∈N,andt>0.

利用上節(jié)給出的算法，可以獲得最優(yōu)刪失計劃如下.

D-最優(yōu)：n*=55,m*=9,t*=0.0556.

T-最優(yōu)：n*=54,m*=11,t*=0.0379.

F-最優(yōu)：n*=56,m*=6,t*=0.2381.

通過數(shù)值實驗結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)無論是D-最優(yōu)，T-最優(yōu)還是F-最優(yōu)，本文給出的方法均是可以實現(xiàn)的.但各方案實現(xiàn)的具體結(jié)果有所差異，其中D-最優(yōu)方案和T-最優(yōu)方案在結(jié)果上更為相近，F(xiàn)-最優(yōu)方案則有較大差異.這一結(jié)果并不令人意外，因為F-最優(yōu)方案利用的是期望Fisher信息矩陣，而D-最優(yōu)方案和T-最優(yōu)方案使用同一個協(xié)方差矩陣.因此在實踐中，在小樣本情形時，建議使用D-最優(yōu)方案和T-最優(yōu)方案,反之使用F-最優(yōu)方案.

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