齊 超， 徐漢卿， 黃奕毅， 吳 婷

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

近年來(lái)，隨著電力系統(tǒng)傳輸距離的不斷增加，規(guī)模的不斷擴(kuò)大及超大集成電路的快速發(fā)展，傳輸線(xiàn)暫態(tài)響應(yīng)的研究受到越來(lái)越多的關(guān)注。從傳輸線(xiàn)方程入手，利用數(shù)學(xué)工具和計(jì)算機(jī)技術(shù)，已有文獻(xiàn)采用數(shù)值求解方法分析了傳輸線(xiàn)暫態(tài)問(wèn)題[1-2]，但在如何求取解析解方面研究較少。文獻(xiàn)[3][4]提出了一種運(yùn)用卷積定理較為系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法來(lái)獲得無(wú)畸變傳輸線(xiàn)的暫態(tài)響應(yīng)，但是文中所提的遞推方法求解最終響應(yīng)，較為復(fù)雜繁瑣。

在“電路理論基礎(chǔ)”均勻傳輸線(xiàn)學(xué)習(xí)中可知，行波可以很好地描述階躍電源在均勻線(xiàn)上的傳輸過(guò)程。當(dāng)無(wú)損線(xiàn)始端接通激勵(lì)源后，電壓/電流正向行波均由始端向終端推進(jìn)。當(dāng)正向行波傳播到負(fù)載端、兩不同線(xiàn)路的接頭處、線(xiàn)路的分支處或接有集中參數(shù)元件處等，都會(huì)產(chǎn)生波的反射。書(shū)中討論了均勻線(xiàn)終端開(kāi)路、短路、匹配及一階RC(或RL)等一般性負(fù)載情況[5]。對(duì)于行波在第一次傳輸?shù)截?fù)載時(shí)，用彼得生法則結(jié)合三要素方法能夠較好地分析終端負(fù)載電壓電流解析解。然而，這也只能求解行波第一次到終端時(shí)的情況，對(duì)于后面的多次傳輸反射的情形卻無(wú)法處理。另外，三要素法更多只適用于負(fù)載僅有一個(gè)電容或電感。對(duì)于含有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件情形，彼得生法則在分析階躍電源的暫態(tài)過(guò)程上具有較大的局限性。

本文對(duì)無(wú)損均勻線(xiàn)暫態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究，提出了基于“附加電源”求解每一時(shí)間段終端暫態(tài)響應(yīng)的通用新方法，為分析復(fù)雜負(fù)載情況下均勻線(xiàn)傳輸過(guò)程提供了理論依據(jù)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 均勻傳輸線(xiàn)

1.1 傳輸線(xiàn)方程及其解

均勻傳輸線(xiàn)作為分布參數(shù)電路，各處電壓與電流均是關(guān)于時(shí)間和位置的函數(shù)，其偏微分方程表達(dá)式如下[5]：

(1)

式中，R0、L0分別為單位長(zhǎng)度均勻線(xiàn)(往返)上電阻 (SI單位：Ω/m)、電感(SI單位：H/m)；G0、C0分別為單位長(zhǎng)度兩線(xiàn)間電導(dǎo) (SI單位：S/m)、電容 (SI單位：F/m)。對(duì)于一定的均勻線(xiàn)，它們都是常量，但R0和G0并非互為倒量。

對(duì)于無(wú)損均勻線(xiàn)，R0=0、G0=0，根據(jù)拉普拉斯變換的線(xiàn)性性質(zhì)和微分性質(zhì)，式(1)表達(dá)為

(2)

這是一組關(guān)于x的常微分方程，其通解為

(3)

根據(jù)拉普拉斯反變換的線(xiàn)性性質(zhì)和延遲性質(zhì)，對(duì)應(yīng)沿線(xiàn)電壓、電流時(shí)域解為

u(x,t)=u′(t-x/v)ε(t-x/v)+u″(t+x/v)ε(t+x/v)=u+(x,t)+u-(x,t)

(4)

式中ε(·)是單位階躍函數(shù)?？梢?jiàn)，均勻傳輸兩線(xiàn)間的電壓等于正向和反向行波電壓之和，電流等于正向與反向行波電流之差。

1.2 行波的多次反射

電壓、電流在均勻傳輸線(xiàn)上是以速度不變的行波方式傳播的，當(dāng)無(wú)損均勻線(xiàn)終端和始端都不匹配時(shí)，兩端都要產(chǎn)生反射波，形成多次反射。設(shè)圖1中無(wú)損線(xiàn)為零初始狀態(tài)，其波阻抗為Zc，線(xiàn)長(zhǎng)為l。

圖1 終端和起端都不匹配的無(wú)損均勻線(xiàn)

始端接電源電壓uS=USε(t)、內(nèi)阻Rs≠Zc，終端負(fù)載阻抗ZL≠Zc。設(shè)始端反射系數(shù)N1與終端反射系數(shù)N2分別為

(5)

圖2示意了此傳輸線(xiàn)中電壓行波多次反射的過(guò)程

圖2 傳輸線(xiàn)電壓行波多次反射示意圖

由此可見(jiàn)，當(dāng)

(2k+1)td

時(shí)，終端電壓表達(dá)式

(6)

式中U+是始端入射電壓，表達(dá)式為

2 電路模型與仿真分析

2.1 RC負(fù)載模擬電路分析

圖1所示為終端和始端都不匹配的無(wú)損均勻線(xiàn)，設(shè)激勵(lì)電源為階躍電源uS=10ε(t) V。內(nèi)阻RS為50 Ω。無(wú)損均勻傳輸線(xiàn)波阻抗Zc為200 Ω，電流從一端傳到另一端的傳輸時(shí)間為0.1 μs。負(fù)載電容C為1 nF。電阻RL為50 Ω。下面分析電容兩端電壓uC隨時(shí)間t的變化情況。

由于電容的u-i關(guān)系是非線(xiàn)性的，不能直接應(yīng)用行波傳輸公式。因此對(duì)電路中所有元件進(jìn)行拉式變換使其轉(zhuǎn)為線(xiàn)性，對(duì)應(yīng)復(fù)頻域下電源、源內(nèi)阻、波阻抗、電容、負(fù)載電阻的計(jì)算值分別為10/s、50、200、109/s、50。具體分析過(guò)程如下：

(1) 當(dāng)時(shí)間為[0 μs,0,1 μs]時(shí)，行波還沒(méi)有傳輸?shù)诫娙萆?，因此uc為0不變。

(3) 當(dāng)時(shí)間在[0.3 μs,0.5 μs]時(shí)，行波將第二次傳到電容上。對(duì)于左側(cè)的電源US來(lái)說(shuō)，它對(duì)這一過(guò)程的貢獻(xiàn)也以行波發(fā)生反射表達(dá)，反射系數(shù)為N1。所以此時(shí)電容兩端的電壓為U21=(1+N2)(1+N1N2)U+。

以后乃至更多時(shí)間段的行波傳輸都是類(lèi)似的，但是需要引起注意的是，由于電容在每段傳輸對(duì)應(yīng)的電壓初值都不同，所以其在拉氏變換下等效出的計(jì)算電壓值也不同。也就是說(shuō)，每隔0.2 μs就要更換“附加電源”，因此每一傳輸時(shí)段內(nèi)附加電源產(chǎn)生的行波只有一次。沿線(xiàn)任意處電壓、電流響應(yīng)是由始端激勵(lì)源的貢獻(xiàn)和電容附加電源一次作用的合成。

2.2 RC負(fù)載仿真分析

對(duì)圖1所示終端和始端都不匹配的無(wú)損均勻線(xiàn)Matlab理論分析計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

由圖3可見(jiàn)，在[0 μs,0.1 μs]時(shí)段，電容電壓為零狀態(tài)響應(yīng)，表達(dá)式為u(t)=A(1-e-t/τ)，A為一確定的常數(shù)，圖像為指數(shù)形狀。uC以速率減小的方式不斷增大并趨于穩(wěn)定。

圖3 負(fù)載電壓理論計(jì)算結(jié)果

在[0 .1μs,0.3 μs]時(shí)段，激勵(lì)電壓源US的行波再次傳輸過(guò)來(lái)，破壞了第一時(shí)段的穩(wěn)定狀態(tài)。由于電容電壓具有連續(xù)的特點(diǎn)，因此后一段的起點(diǎn)與前一段的終點(diǎn)在0.3 μs處重合，并繼續(xù)開(kāi)始充電。這時(shí)電容兩端電壓有兩個(gè)來(lái)源，一個(gè)為始端激勵(lì)源US，其產(chǎn)生的響應(yīng)分量還是零狀態(tài)，以速率減小的方式增長(zhǎng)并趨于穩(wěn)定，表達(dá)式為u1(t)=B(1-e-(t-t0)/τ)；另一個(gè)為“附加電源”，其產(chǎn)生的響應(yīng)為零輸入過(guò)程，響應(yīng)分量以速率不斷減小的方式變化，同樣趨于穩(wěn)定，表達(dá)式為u2(t)=Ce-t/τ，B、C均為確定常數(shù)。前者響應(yīng)不斷增大，后者響應(yīng)不斷減小，其合成響應(yīng)為先增大，達(dá)到區(qū)段極值后減小，最后趨于穩(wěn)定。以后乃至更多時(shí)間段的傳輸過(guò)程都是類(lèi)似重復(fù)，在此不再贅述。

用ORCAD進(jìn)行電路仿真，其模型如圖4所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

對(duì)比圖3可見(jiàn)，理論計(jì)算的uC(t)與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果形狀、數(shù)值等都吻合得很好，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，兩個(gè)圖像的電壓最終都趨于5 V。這相當(dāng)于將傳輸線(xiàn)等效為集中參數(shù)理想導(dǎo)線(xiàn)時(shí)的結(jié)果，也再次驗(yàn)證了文中提到的觀點(diǎn)：在階躍激勵(lì)下，電容儲(chǔ)能并激發(fā)出了“附加電源”，不同時(shí)段上的，“附加電源”的一次行波和始端激勵(lì)源的行波作用共同影響了終端負(fù)載的電壓。

2.3 RLC負(fù)載電路分析與仿真

將負(fù)載再加上一個(gè)電感線(xiàn)圈，大小為10 μH，仿真電路如圖6所示。

圖4 RC負(fù)載的仿真電路

圖5 仿真結(jié)果

圖6 RLC負(fù)載電路圖

由于引入了同樣具有儲(chǔ)能本領(lǐng)的電感，第二次行波傳輸以及后面的傳輸，負(fù)載區(qū)相當(dāng)于兩個(gè)“附加電源”，我們每計(jì)算一時(shí)間段傳輸過(guò)程，都需要以前一段暫態(tài)分析的電容電壓uC和電感電流iL作為基礎(chǔ)。

圖7和圖8分別為Matlab下理論計(jì)算和在ORCAD下實(shí)驗(yàn)仿真的電容電壓隨時(shí)間變化結(jié)果。

可見(jiàn)兩個(gè)曲線(xiàn)吻合很好，再次驗(yàn)證了本文提出的儲(chǔ)能元件具有“附加電源”功能，此分析方法具有通用性，即適用于任意線(xiàn)性負(fù)載。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)均勻傳輸線(xiàn)終端接任意負(fù)載時(shí)的傳統(tǒng)解析求解提出了一種新思路，即用“附加電源”計(jì)算負(fù)載內(nèi)部?jī)?chǔ)能元件產(chǎn)生的響應(yīng)分量。利用拉普拉斯變換使電源、負(fù)載等電路元件在復(fù)頻域下都具有線(xiàn)性性質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性電路分析。(齊 超等文)

圖7 RLC負(fù)載電路理論計(jì)算結(jié)果

圖8 RLC負(fù)載電路仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

然后在線(xiàn)性條件下利用行波方程解及分析多次反射的相關(guān)原理，分時(shí)段求解電源和負(fù)載內(nèi)儲(chǔ)能元件產(chǎn)生的響應(yīng)分量，最后應(yīng)用疊加定理得到總響應(yīng)。利用拉普拉斯反變換代替?zhèn)鹘y(tǒng)的時(shí)域卷積法，進(jìn)一步優(yōu)化了求解過(guò)程。最終通過(guò)仿真驗(yàn)證了這種新思路的正確性。

本文通過(guò)對(duì)傳輸過(guò)程進(jìn)行分段研究，最后得到了精確的解析解，為傳輸線(xiàn)的設(shè)計(jì)、分析提供了理論依據(jù)，具有一定的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)作用。

[1] J A Roden, C R Paul, W T Smith. Finite difference time domain analysis of lossy transmission lines [J]. IEEE Trans. On Electromagnetic Compatibility, 1996, 38(1): 15-24.

[2] 盧斌先,王澤忠,程養(yǎng)春. 基于拉氏反變換的傳輸線(xiàn)耦合電流半解析解[J]. 北京:電網(wǎng)技術(shù), 2007,31 (14):52-56.

[3] 孫韜,侯世英,伍小兵.一種計(jì)算無(wú)損傳輸線(xiàn)上電壓電流解析解的方法. [J]. 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2008,30 (3):20-22.

[4] 孫韜, 侯世英. 無(wú)畸變傳輸線(xiàn)接電感負(fù)載時(shí)的波過(guò)程及算法分析[J]. 廣州:電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào),2011,16 (1):47-51.

[5] 孫立山，陳希有.電路理論基礎(chǔ)(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2016,3: 366-372.