易 鵬， 吳紅英

1 引言與預(yù)備知識

就我們所知，對于非自治動力系統(tǒng)的研究，始于20世紀(jì)60年代，起步比較晚，其理論也不像自治動力系統(tǒng)那么完善和豐富.近年來，許多自治動力系統(tǒng)的性質(zhì)被放在非自治動力系統(tǒng)的框架內(nèi)研究.在文獻(xiàn)[1]中，作者研究了非自治動力系統(tǒng)中弱混合和混沌性質(zhì).在文獻(xiàn)[5-7]中，作者研究了非自治動力系統(tǒng)中混沌性質(zhì).在文獻(xiàn)[3]中，作者定義和研究了非自治動力系統(tǒng)中的擴(kuò)張，跟蹤和拓?fù)浞€(wěn)定性質(zhì).本文研究非自治的半離散動力系統(tǒng)的跟蹤性質(zhì).我們用Z+表示非負(fù)整數(shù).下面給出本文所涉及的一些概念，有關(guān)概念可參見文[1-9]等.設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間.對每一個(gè)n∈Z+，令 fn∶X→X 是一個(gè)連續(xù)映射，其中 f0=id（x）.我們稱F={fn}∞n=0是X上的一個(gè)時(shí)間變化的映射簇.稱（X，F(xiàn)）是一個(gè)時(shí)間變化非自治的半離散動力系統(tǒng)（或者簡稱動力系統(tǒng)）.對每一個(gè) n∈Z+，我們記 Fn=fn·fn-1·…·f0.

設(shè) A?X.用 A 表示｜A｜的基數(shù)；用 d（A）表示 A 的密度，用d（A）表示A的上密度，d（A）表示A的下密度.設(shè)（X，F(xiàn)）是一個(gè)動力系統(tǒng)，其 δ＞0 中 F=.給定，稱X中序列是F的一條δ-偽軌，如果對任意 n∈Z+，有

設(shè) x=x0，x1，x2，…，xn=y 為 X 中的有限序列，如果對每一個(gè)i∈{0，1，…，n-1}，有ρ（fi+1（xi），xi+1）＜δ，則稱x0，x1，x2，…，xn是一條從 x到 y長度為 n 的 F 的 δ- 鏈（δ-偽軌可以看做無限長的δ-鏈）.如果對任意的x，y∈X，δ＞0，存在一條從x到y(tǒng)的F的δ-鏈，則稱F是鏈傳遞的.

本文主要結(jié)果為：若（X，F(xiàn)）和（Y，G）具有平均跟蹤性質(zhì)，則（X×Y，F(xiàn)×G）具有平均跟蹤性質(zhì)（見定理2.4）；系統(tǒng)（X，F(xiàn)）有平均跟蹤性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)對任何q∈[0，1），（X，F(xiàn)）有 q- 平均跟蹤性質(zhì)（見定理 3.2）；具有0-平均跟蹤性質(zhì)的系統(tǒng)（X，F(xiàn)）是鏈傳遞的（見定理 3.5）.

2 平均跟蹤

接下來我們給出平均跟蹤性質(zhì)在非自治系統(tǒng)上的定義.

定義2.1 設(shè)（X，F(xiàn)）是一個(gè)動力系統(tǒng).稱X中的一個(gè)序列是F的一條δ-平均偽軌，是指存在一個(gè)正整數(shù)N，使得對任意的n≥N和任意的k∈Z+，都有

定義2.2 設(shè)（X，F(xiàn)）是一個(gè)動力系統(tǒng).稱映射F（或系統(tǒng)（X，F(xiàn)））有平均跟蹤性質(zhì)，是指對任意的ε＞0，存在一個(gè)δ＞0，使得對F的每一條δ-平均偽軌ξ=這時(shí)，也稱點(diǎn)z，ε-平均跟蹤ξ.

下面的引理來自于文獻(xiàn)[9].

引理2.3 令ck是非負(fù)的實(shí)數(shù)列.給定正整數(shù)t，令 Ct，n是{k＜n：ck≥t}的基數(shù)，即 Ct，n=|{k＜n：ck≥t}|.

（2）若 ck是以 D為界且

定理 2.4 設(shè)（X，F(xiàn)）和（Y，G）是兩個(gè)動力系統(tǒng)，其中（X，ρ1）和（Y，ρ2）為兩個(gè)度量空間，F(xiàn)={fn}∞n=0和G=分別是（X，ρ1）和（Y，ρ2）上的一個(gè)時(shí)間變化的映射簇.若F和G都有平均跟蹤性質(zhì)，則F×G也有平均跟蹤性質(zhì).

證明 由于ρ1和ρ2分別是X和Y上的度量.取X×Y 上度量為：ρ，對任意 x=（x1，y1），y=（x2，y2）∈X×Y，ρ（x，y）=max{ρ（1x1，x2），ρ（2y1，y2）}.令D=max{ρ（x，y），x，y∈X×Y}和

由于F和G具有平均跟蹤性質(zhì).對σ＞0，存在δ＞0，使得對每一條F的δ-平均偽軌和每一條G的δ-平均偽軌，分別存在X中的點(diǎn)和Y中的點(diǎn)σ-平均跟蹤之.設(shè)是X×Y的一條δ-平均偽軌，易知分別是F和G的一條δ-平均偽軌，因此存在點(diǎn)u∈X和v~∈X，使得

記 ck=ρ1（Fk（u），xk），dk=ρ2（Gk（v），yk），mk=max{ck，dk}，Ct，n=|{k＜n∶ck≥t}|，Dt，n=|{k＜n∶dk≥t}|，

Mt，n=|{k＜n∶mk≥t}|.

易知 Mt，n≤Ct，n+Dt，n.

由引理 2.3（1），知

＜ε

因此F×G具有平均跟蹤性質(zhì).

3 q-平均跟蹤

定義 3.1 設(shè)（X，F(xiàn)）是一個(gè)動力系統(tǒng).q∈[0，1）.稱映射F（或系統(tǒng)（X，F(xiàn)））具有q-平均跟蹤性質(zhì)，是指對任意的ε＞0，存在一個(gè)δ＞0，使得對F的每一條δ-平均偽軌，存在點(diǎn) z∈X，滿足

這時(shí)，也稱點(diǎn)z，ε-q-平均跟蹤ξ.

定理3.2 設(shè)（X，F(xiàn)）是一個(gè)動力系統(tǒng).則下列條件等價(jià)：

（1）F具有平均跟蹤性質(zhì)；

（2）對任何的q∈[0，1），F(xiàn)具有q-平均跟蹤性質(zhì).

證明 （1）?（2）.取定 q∈[0，1）.對任意 ε＞0，令γ=（1-q）ε.由 F 具有平均跟蹤性質(zhì)，故存在 δ＞0，對 F的任意一條δ-平均偽軌，存在點(diǎn) z∈X，γ- 平均跟蹤之.令A(yù)={i∈Z+∶ρ（F（iz），x）i＜ε}.則有

又 γ=（1-q）ε，從而 d（A）＞q.于是 F 具有 q- 平均跟蹤性質(zhì).

（2）?（1）.不失一般性，設(shè) diamX=1.任意取定ε∈（0，1），取.由于F具有q-平均跟蹤性質(zhì)，則存在η＞0，對F的每一條η-平均偽軌ξ=，存在點(diǎn)-平均跟蹤之.令

令 En=E∩{0，1，…，n-1}，故

＜ε

于是具有平均跟蹤性質(zhì).

定理3.3 設(shè)（X，F(xiàn)）是一個(gè)動力系統(tǒng)，其中F是一個(gè)時(shí)間變化的映射簇.則下列條件等價(jià)：

（1）F具有平均跟蹤性質(zhì).

（2）對任意的 ε＞0，存在 δ＞0，對F的每一條 δ-平均偽軌，存在點(diǎn)z∈X，滿足

證明 （1）?（2）.由于F有平均跟蹤性質(zhì)，則對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對F的每一條δ-平均偽軌，能夠被點(diǎn) z∈X，ε2- 平均跟蹤之.即

令E={i∈Z+∶ρ（Fi（z），xi）≥ε}，則有

故 d（E）＜ε，所以（2）成立.

（2）?（1）.不失一般性，我們設(shè) diamX=1.根據(jù)（2），對＞0，存在 δ＞0，對F的每一條 δ-平均偽軌，存在點(diǎn) z∈X，滿足

＜ε

故（1）成立.

引理 3.4 設(shè) E，F(xiàn)?Z+.若 d（E）=1 且 d（F）＞0，則d（E∩F）＞0.

證明 不失一般性，我們假定diamX=1.任取ε＞0，和任取 x，y∈X.設(shè) δ＞0和 ε＞0滿足 0-平均跟蹤性質(zhì)的定義的兩個(gè)參數(shù).令n0≥2，并且滿足＜δ.對任意的 i∈N，令 ni=i!·n0.

下面我們定義一組序列：

…

因此，ξ是F的一條δ-平均偽軌.于是存在點(diǎn)z∈X，使得

d（{i∈Z+∶ρ（Fi（z），xi）＜ε}）＞0.

令 M1=[0，n1]∪[n2+1，n3]∪[n4+1，n5]∪…=[0，n1]∪[n2k+1，n2k+1].d（M1）=1，令 M2=Z+M1，則 d（M2）=1.

令E={i∈Z+∶ρ（Fi（z），xi）＜ε}.由于F有0-跟蹤性質(zhì).故d（E）＞0，則d（E∩M1）＞0，d（E∩M2）＞0.（由引理3.4）

我們能夠找到正整數(shù) r∈E∩M1，s∈E∩M2，并且r＜s-1，使得下面的式子成立

[1]F.Balibrea，P.Oprocha.Weak mixing and chaos in nonautonomous discrete systems[J].Applied Mathematics Letters，2012（25）：1135-1141.

[2]David Richeson，Jim Wiseman.Chain recurrence rates and topological entropy[J].Topology and its Applications，2008（156）：251-261.

[3]Dhaval Thakkar，Ruchi Das.Topological stability of a sequence of mapson a compact metric space[J].Bull.Math.Sci，2014（4）：99-111.

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