徐 美

(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用物理系，北京 100083)

1900年，德國(guó)物理學(xué)家普朗克(Max Planck，1858—1947)提出“能量量子化”的假設(shè)，從而完美地?cái)M合出黑體輻射的整個(gè)實(shí)驗(yàn)曲線——從單色輻出度較小的低頻段，經(jīng)對(duì)應(yīng)于單色輻出度極大值的某一頻率，到單色輻出度漸弱的高頻段，從而解決了維恩公式低頻段與實(shí)驗(yàn)不符的問題，也化解了由瑞利-金斯公式引發(fā)的高頻段的“紫外災(zāi)難”。

5年之后的1905年，就在普朗克本人仍然糾結(jié)于這種“不完全的計(jì)算”,試圖回歸“經(jīng)典”解釋的時(shí)候，愛因斯坦(Albert Einstein，1879—1955)卻在分析光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果時(shí)，發(fā)表了著名的光電子理論，明確指出光子能量具有量子化特征。基于這一觀點(diǎn)，愛因斯坦成功地解釋了光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，這使“能量量子化”的假設(shè)獲得了有力的支持。從此，量子化的觀點(diǎn)很快被物理學(xué)界廣泛接受，20世紀(jì)初物理學(xué)天空“兩朵烏云”中的一朵化成了耀眼的量子物理學(xué)光輝。

1 從數(shù)值擬合的角度認(rèn)識(shí)普朗克公式

1896年，維恩(W.Wien，1864—1928，德國(guó))根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)和麥克斯韋分布律，導(dǎo)出了黑體輻射的單色幅出度與輻射頻率之間的關(guān)系，即維恩公式：

Mν=αν3e-β ν/T

(1)

1900年6月，瑞利(J.W.Strutt，1842—1919，英國(guó))根據(jù)經(jīng)典電磁學(xué)和能量均分定理得到了瑞利公式，后經(jīng)金斯(J.H.Jeans，1877—1946，英國(guó))修正，即成瑞利-金斯公式

(2)

1900年12月，普朗克提出了著名的普朗克公式[1]

(3)

為了更好地分析以上3個(gè)公式，不妨將它們改寫為

式中,α、α′、α″和β、β′、β″均為常量。

可以看出，上述(4)、(5)、(6)三式具有極其相似的形式，它們都可以看作是兩部分的乘積：Mν=f1(ν)·f2(ν)。其中第一部分f1(ν)正比于頻率ν的三次方，它隨頻率的增大而增大，直至無窮。很顯然，如果只有這一部分，必然會(huì)出現(xiàn)單色幅出度無窮大的情況，瑞利-金斯公式的“紫外災(zāi)難”就源于此(盡管該公式在f2(ν)中作了ν-1的“補(bǔ)救”，但也只能減緩這一趨于無窮大的趨勢(shì)，而無法改變本質(zhì))。

為了使單色幅出度曲線在越過極大值之后能夠隨頻率增高而轉(zhuǎn)為足夠快地下降，必須在公式中增加作用相反的“抑制因素”，這就是第二部分函數(shù)f2(ν)，這一函數(shù)必須在高頻段發(fā)揮主導(dǎo)和控制作用，不僅要抑制曲線的無限上升，還必須使它逐漸轉(zhuǎn)為下降，直至趨向于零。

適應(yīng)這一要求最簡(jiǎn)單而通用的函數(shù)就是負(fù)冪函數(shù)ν-γ和負(fù)指數(shù)函數(shù)e-γ ν(式中γ為常數(shù))。瑞利-金斯公式和維恩公式中分別用到了這兩種函數(shù)形式。在瑞利-金斯公式(5)中，負(fù)冪函數(shù)的具體形式是與頻率成反比，即f2(ν)=ν-1，如前所述，它無法抑制f1(ν)隨頻率三次方的增大效應(yīng)。事實(shí)上，由于負(fù)冪函數(shù)與f1(ν)函數(shù)同形，二者的乘積必然會(huì)以頻率的冪函數(shù)形式隨頻率單調(diào)變化，不會(huì)出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)曲線中的極大值。而在維恩公式(4)中，f2(ν)以負(fù)指數(shù)函數(shù)形式出現(xiàn)，f2(ν)=e-γ ν，其函數(shù)值隨頻率增大而迅速減小，且減小的速度遠(yuǎn)勝于f1(ν)函數(shù)中頻率的三次方隨頻率增大的速度，起到了預(yù)期的高頻控制作用，因此維恩公式在高頻(短波)階段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好(見圖1(a)[2])。

圖1 維恩公式、瑞利-金斯公式和普朗克公式的對(duì)比(a) 波長(zhǎng)域; (b)頻率域

但是，維恩公式在低頻(長(zhǎng)波)段則與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不甚相符。由此看來，只考慮函數(shù)在高頻段的控制作用也還不夠，必須同時(shí)兼顧高頻和低頻，使函數(shù)在低頻時(shí)趨近于瑞利-金斯公式，高頻時(shí)趨近于維恩公式。

具有這種特性的函數(shù)就是f2(ν)=(eγ ν-1)-1，這也正是普朗克公式(6)中出現(xiàn)的函數(shù)。

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的展開式

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+…

(7)

當(dāng)x很小時(shí)(相應(yīng)于低頻情況)，略去高階無窮小量，可得近似式

ex-1≈x

(8)

與式(5)對(duì)比可知，這就是瑞利-金斯公式的情況。而當(dāng)x很大時(shí)(相應(yīng)于高頻情況)，有

ex-1≈ex

(9)

與式(4)對(duì)比可知，這就是維恩公式的情況。也就是說，只需對(duì)普朗克公式分別取低頻極限和高頻極限，即可得到瑞利-金斯公式和維恩公式(圖1(b)[3])。普朗克公式的精妙之處，由此可見一斑。

2 從物理的角度理解普朗克公式

如前所述，普朗克公式兼顧了高頻和低頻兩種情況，只需選取合適的常數(shù)，即可獲得較高的擬合精度。然而，物理學(xué)家不會(huì)滿足于單純的數(shù)值擬合；在他們看來，找到一個(gè)能很好地與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合的函數(shù)，這件事情并無本質(zhì)困難，只要下決心尋找、試驗(yàn)、修正，總是可以如愿的。物理學(xué)家真正關(guān)注的是擬合函數(shù)的物理意義，力求從理論上解釋，為什么是這個(gè)函數(shù)，而不是別的函數(shù)？此外，還希望這個(gè)函數(shù)能夠解釋其他已有的相關(guān)實(shí)驗(yàn)事實(shí)和規(guī)律。

開爾文(William Thomson，1824—1907，英國(guó))之所以把黑體輻射的問題稱作“熱和光動(dòng)力理論上空的烏云”[4]，是因?yàn)橐延械奈锢砝碚摱贾荒芙忉尯隗w輻射曲線的一部分而非全部，物理學(xué)家顯然不能容忍這種物理上或理論上的不完善。

按照瑞利的假設(shè)，線性諧振子是能量連續(xù)的經(jīng)典體系，遵從能量均分定理。在相同的溫度下，每個(gè)諧振子的平均能量均相等。而黑體空腔中的輻射場(chǎng)具有無窮多個(gè)自由度，因此必然會(huì)得到總能量無窮大的結(jié)果[2]。

普朗克大膽地做了一個(gè)在當(dāng)時(shí)看來十分怪異的假設(shè)：黑體腔壁上的電磁振子與黑體腔中的電磁波處于平衡狀態(tài)，當(dāng)振子以頻率ν振蕩時(shí)，只能輻射某些確定值的能量nhν(n=0，1，2,…)。這種離散的量子化能級(jí)的概念與瑞利關(guān)于“振子可以具有任意大小能量”的觀點(diǎn)截然相反。

然而，如果不同頻率的振子同樣有效地輻射電磁波，那么，由于高頻光子的能量大，將必然導(dǎo)致高頻輻射強(qiáng)度過分增大，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。因此，“減少(而且是大幅減少)高頻光子數(shù)”就成為降低高頻輻射強(qiáng)度的唯一途徑，只有這樣才能對(duì)高頻段的輻射強(qiáng)度起到控制作用。普朗克的巧妙之處正是在提出“能量量子化”概念的同時(shí)引入了一個(gè)使高頻輻射“低效”的抑制因素。換句話說，在普朗克模型中，高頻振子是一種“低效光源”。

我們可以借助原子模型中不同能級(jí)上的粒子數(shù)分布規(guī)律來理解這一“抑制因素”。假設(shè)黑體空腔的溫度為T，則具有能量En=nhν的振子數(shù)為[5]

Nn=Ae-n hν/kT

(10)

其中，n=0表示基態(tài)；n=1表示第一激發(fā)態(tài)。由此可得，處于第一激發(fā)態(tài)的振子數(shù)與處于基態(tài)的振子數(shù)之比為

(11)

顯然，隨著振子頻率ν的增大，這一比例將急劇減小。舉例詳之。假設(shè)溫度T=1000K，振子頻率ν=1×1014Hz，則第一激發(fā)態(tài)的振子能量E1=hν=6.63×10-20J，處于第一激發(fā)態(tài)的振子數(shù)與處于基態(tài)的振子數(shù)之比為

.19×10-3

(12)

.98×10-13

(13)

圖2 普朗克模型中同一溫度下低頻振子和高頻振子的能級(jí)對(duì)比[5](a) 低頻振子； (b) 高頻振子

對(duì)比式(12)和(13)可以看出，與低頻振子相比，高頻振子的能量雖然增大了5倍，但是處于第一激發(fā)態(tài)的振子的相對(duì)數(shù)目卻減少至大約三百億分之一！所以高頻段的總輻射能量大大減小，這正是普朗克希望達(dá)到的效果。于是，只需調(diào)整系數(shù)h至恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，即可得到與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)完美吻合的理論公式。

3 由普朗克公式得到的啟發(fā)

決定自然現(xiàn)象狀態(tài)或過程的因素有時(shí)單一，有時(shí)多重，所以不同的自然現(xiàn)象有不同的表現(xiàn)形式和變化規(guī)律。有的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，有的高值飽和或低值飽和，有的中間大兩端小，存在極值。但有一點(diǎn)是肯定的：“無窮大”的物理量不可能在物理現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)，因此，對(duì)于理論描述中出現(xiàn)的無窮大表象，必須找到合適的“去無窮”機(jī)制。在解釋黑體輻射時(shí)，普朗克引入“能量量子化”概念，相當(dāng)于增加了一個(gè)能使單色輻出度隨頻率增大而迅速減小的影響因素，它抑制了輻射強(qiáng)度在高頻段的增長(zhǎng)，從而化解了“紫外災(zāi)難”。

黑體輻射的單色輻出度隨頻率變化的特點(diǎn)是在函數(shù)中部存在極大值，這種形式在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中很常見，如高斯分布、麥克斯韋分布、玻耳茲曼分布、人口數(shù)量對(duì)年齡的分布、考試成績(jī)的分布等等。在此類過程中，往往存在兩個(gè)作用相反的因素，其中一個(gè)因素控制著自變量的高端，其作用在自變量趨近低端時(shí)漸減；另一個(gè)因素控制著自變量的低端，其作用在自變量趨近高端時(shí)漸減。在黑體輻射實(shí)驗(yàn)中，這兩個(gè)因素分別是光子的能量和光子的數(shù)目。頻率較大時(shí)，光子能量大，但相對(duì)數(shù)目較少；頻率較小時(shí)，雖然光子的相對(duì)數(shù)目較多，但每個(gè)光子的能量較小。兩個(gè)因素共同作用，使得黑體輻射呈現(xiàn)出圖1(a)所示的曲線形式，無論在高頻方向還是低頻方向都不會(huì)出現(xiàn)單色輻出度“無窮大”的情況。

將這種“雙因素控制”原理推而廣之，很多中間高、兩端低的分布特征都可以得到合理的解釋。例如，圖3所示的地球電離層的電子密度隨高度分布的觀測(cè)數(shù)據(jù)，在大約300km高度處，電子密度出現(xiàn)極大值，這一現(xiàn)象也是“雙因素控制”的結(jié)果。電離層中存在著電離和復(fù)合兩種過程，決定這兩種過程的主要因素是太陽輻射強(qiáng)度和大氣密度：太陽輻射越強(qiáng)，中性分子原子的電離越強(qiáng)，導(dǎo)致電子數(shù)目增多、密度增大；而大氣密度越大，由電子和離子碰撞導(dǎo)致的復(fù)合越強(qiáng)，引起電子數(shù)目減少、密度減小。在高空處，盡管太陽輻射很強(qiáng)，但大氣非常稀薄，可供電離的分子原子有限，所以電子密度不會(huì)很大；到了地表附近，雖然大氣稠密，可供電離的分子原子增多，但由于太陽輻射在穿過大氣層時(shí)已大大減弱，因此使得電離過程有限；同時(shí)，由于低空處的大氣稠密，復(fù)合過程明顯，所以電子密度也不會(huì)很大。于是，在某一特定高度附近，大氣中的電子密度出現(xiàn)極大值；而隨著高度的增大或減小，電子密度均有所下降。

圖3 電離層F區(qū)電子密度隨高度變化的觀測(cè)結(jié)果[6]

4 結(jié)語

普朗克公式巧妙地彌合了維恩公式和瑞利-金斯公式的不足，通過“能量量子化”的概念成功地引入了一個(gè)“去無窮”的機(jī)制，從而化解了“紫外災(zāi)難”。而正是這個(gè)“能量量子化”的觀點(diǎn)，開啟了量子物理學(xué)的偉大序幕，讓人類在物質(zhì)觀上有了革命性的突破。

另外值得一提的是，由普朗克公式還可推出當(dāng)時(shí)已知的關(guān)于黑體輻射的兩條實(shí)驗(yàn)規(guī)律：對(duì)普朗克公式在全頻段進(jìn)行積分，即得斯特藩-玻耳茲曼定律(黑體的總輻出度與其溫度的四次方成正比)；對(duì)普朗克公式的波長(zhǎng)表述形式求導(dǎo)，即得維恩位移律(黑體的單色輻出度在某一特定的波長(zhǎng)上達(dá)到極大值，此波長(zhǎng)與黑體的溫度成反比)。由此可見，普朗克公式堪稱絕妙，無怪乎被評(píng)為“科學(xué)史上最偉大的公式”之一。

[1] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)(B版，熱學(xué)、光學(xué)、量子物理)[M]. 3版. 北京：清華大學(xué)出版社，2009：304.

[2] 陸果. 基礎(chǔ)物理學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，1997：620-623.

[3] 維基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law.

[4] 胡化凱. 物理學(xué)史二十講[M]. 合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009：338.

[5] Young H D, Freedman R A, Ford A L. University physics with modern physics[M]. 13th Edition. San Francisco: Addison-Wesley, 2012: 1311-1312.

[6] Hargreaves J K. The upper atmosphere and solar-terrestrial relations[M]. New York： Van Nostrand Reinhold Co. 1979： 104-105.