趙星，王遜，黃樹(shù)成

（江蘇科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003）

數(shù)據(jù)挖掘中的數(shù)據(jù)往往都不可避免的存在著缺失數(shù)據(jù)、冗余數(shù)據(jù)、不確定數(shù)據(jù)和不一致數(shù)據(jù)等多種問(wèn)題[1]。在各個(gè)領(lǐng)域中，缺失數(shù)據(jù)這一問(wèn)題都是不容忽視的。尤其是目前的數(shù)據(jù)收集工作，已漸漸從人工搜集轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)器搜集。并且，由于數(shù)據(jù)量的急速膨脹，導(dǎo)致各種數(shù)據(jù)質(zhì)量問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮，在這中間數(shù)據(jù)缺失尤為常見(jiàn)。導(dǎo)致數(shù)據(jù)中存在大量“空值”的因素有許多，例如數(shù)據(jù)收集條件的制約、度量方法錯(cuò)誤、人工錄入時(shí)出現(xiàn)遺漏和違反數(shù)據(jù)約束等[2]。在某些領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)庫(kù)中缺失值比例高達(dá)50%～60%以上[3，11-12]。這些不完整的數(shù)據(jù)不僅意味著信息空白，更重要的是它會(huì)影響后續(xù)數(shù)據(jù)挖掘抽取模式的正確性和導(dǎo)出規(guī)則的準(zhǔn)確性[4]。因此，如何處理缺失數(shù)據(jù)已成為數(shù)據(jù)清洗及數(shù)據(jù)預(yù)處理領(lǐng)域研究的主要問(wèn)題之一。

當(dāng)前，存在的用于缺失值處理的方法共分為兩類(lèi)[13，15]。第一種方法為直接刪除不完整數(shù)據(jù)，將含有缺失值的屬性或記錄從數(shù)據(jù)集中全部刪除。這種方法的實(shí)現(xiàn)方式比較簡(jiǎn)單，并且容易實(shí)現(xiàn)。但這種方法可能會(huì)刪除潛在的有用數(shù)據(jù)，使得挖掘結(jié)果產(chǎn)生偏差[14]。第二種方法為基于填充技術(shù)的方法。該方法是采取填充算法對(duì)不完整數(shù)據(jù)進(jìn)行填充，大多是運(yùn)用完整數(shù)據(jù)分析方法，分析完整數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)不完整數(shù)據(jù)進(jìn)行填充，從而用最接近的值來(lái)替代缺失值[5]。這種方法可以提高可用數(shù)據(jù)的數(shù)量。因此，采用填充算法來(lái)處理數(shù)據(jù)缺失問(wèn)題，不管從量上還是質(zhì)上，對(duì)缺失數(shù)據(jù)的處理效果都要好于第一種。目前國(guó)內(nèi)外已提出了很多有關(guān)缺失數(shù)據(jù)填充的算法，在當(dāng)前是一個(gè)研究熱點(diǎn)。主要可以分為統(tǒng)計(jì)方法、分類(lèi)方法、關(guān)聯(lián)規(guī)則分類(lèi)方法等[6]。雖然這些方法在不同的應(yīng)用環(huán)境下都有各自的優(yōu)點(diǎn)，但仍然存在一些不足[7]。

文中研究了聚類(lèi)方法在缺失值填充中的使用，基于K-means聚類(lèi)的缺失值填充算法根據(jù)與目標(biāo)最相似的實(shí)例屬性值來(lái)估計(jì)缺失值，處理后的結(jié)果具有較高的準(zhǔn)確性。但這種算法方法依然存在一些不足，因此，文中在原有算法基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的算法：基于距離最大化和缺失數(shù)據(jù)聚類(lèi)的填充算法。新算法根據(jù)相距最遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)不在同一類(lèi)中的原則，改進(jìn)后的算法使用數(shù)據(jù)間的最大距離確定聚類(lèi)中心，可以自動(dòng)確定k值，使得聚類(lèi)結(jié)果達(dá)到最優(yōu)，更高效的進(jìn)行數(shù)據(jù)填充；其次，對(duì)聚類(lèi)的距離函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，采用部分距離度量方式，改進(jìn)后的算法可以對(duì)含有缺失值的記錄進(jìn)行聚類(lèi)，做到同時(shí)進(jìn)行聚類(lèi)和標(biāo)記缺失數(shù)據(jù)所屬類(lèi)，從而簡(jiǎn)化原填充算法步驟。最后，在填充過(guò)程中，增加對(duì)離散型數(shù)據(jù)的填充處理。

1 改進(jìn)的基于K-means聚類(lèi)的缺失數(shù)據(jù)填充算法

1.1 基于K-means聚類(lèi)的缺失值填充算法

基于K-means聚類(lèi)的缺失值填充方法需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理：提前除去原始數(shù)據(jù)集中缺失過(guò)多數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)包括含有較多缺失值的記錄或者屬性。通常情況下，如果缺失的屬性值比重達(dá)到50%及以上就選擇去除該條記錄[8]。由于同類(lèi)事物間有許多屬性是相似的。因此，在對(duì)完整數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)后，可以根據(jù)聚類(lèi)結(jié)果計(jì)算出缺失值并加以填充。

基于K-means算法的缺失值填充算法的主要步驟如圖1所示，具體描述如下：

圖1 基于聚類(lèi)算法的缺失值填充算法流程圖

輸入：含有m個(gè)對(duì)象的數(shù)據(jù)集D，聚類(lèi)個(gè)數(shù)k

輸出：經(jīng)過(guò)缺失值填充處理的數(shù)據(jù)集D′

步驟：

Step1.根據(jù)記錄中是否含有缺失值將原始數(shù)據(jù)集D劃分為兩個(gè)數(shù)據(jù)子集，分別為完整數(shù)據(jù)子集C和缺失數(shù)據(jù)子集M。

Step2.在完整的數(shù)據(jù)子集C上進(jìn)行K-means聚類(lèi)，最終將數(shù)據(jù)集C分成k個(gè)類(lèi)。

Step3.標(biāo)記M中的記錄所屬類(lèi)。計(jì)算缺失數(shù)據(jù)子集M中的每條記錄與C上k個(gè)類(lèi)重心之間的相似度，然后選出相似度最大的一個(gè)類(lèi)，把記錄賦給該類(lèi)。

Step4.填充M中的缺失值。根據(jù)上一步標(biāo)記的所屬類(lèi)，將M中的每條記錄的缺失值用標(biāo)記類(lèi)相應(yīng)的屬性均值來(lái)填充。

經(jīng)過(guò)填充后，得到經(jīng)過(guò)缺失值填充處理的數(shù)據(jù)集D′，D′包含完整數(shù)據(jù)子集C和經(jīng)填充后的子集M′。

從上述描述看出，該算法的輸入值有兩個(gè)，分別為含有m個(gè)對(duì)象的數(shù)據(jù)集D和聚類(lèi)個(gè)數(shù)k。需要使用者提前輸入聚類(lèi)個(gè)數(shù)，這是它的缺點(diǎn)所在。并且在填充數(shù)據(jù)時(shí)使用均值，對(duì)于離散性數(shù)據(jù)，正確率會(huì)大大降低。

1.2 改進(jìn)算法的策略

文中從以下幾個(gè)方面對(duì)K-means聚類(lèi)的缺失值填充算法進(jìn)行改進(jìn)。

1）通過(guò)最大距離確定k值。原算法要求用戶提前輸入聚類(lèi)的個(gè)數(shù)（k值），這其實(shí)也是K-means算法自身的缺點(diǎn)。如果通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)評(píng)估出k值，有可能會(huì)導(dǎo)致最終形成的聚類(lèi)的結(jié)果與實(shí)際的類(lèi)別數(shù)目差別甚遠(yuǎn)。數(shù)據(jù)量越龐大，k值就越難以估算，并且在聚類(lèi)的過(guò)程中極易陷入局部最優(yōu)解的局面[10]。若想選擇合適的k值，常常需要使用其他方法進(jìn)行k值的估算。所以本文將基于聚類(lèi)的缺失值填充算法加以改進(jìn)，提出了基于距離最大化的k值自動(dòng)生成算法，在一定程度解決了K-means算法中k值的確定問(wèn)題。

改進(jìn)算法思想：針對(duì)原算法的第二步加以改進(jìn)，省略k值的輸入，使k值自動(dòng)生成。首先選擇盡可能離得遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)對(duì)象作為初始的聚類(lèi)中心進(jìn)行劃分，然后分別按照歐式距離尋找各類(lèi)中離聚類(lèi)中心點(diǎn)最遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)對(duì)象，再在其中選擇距離最大的那個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象為新增的聚類(lèi)中心點(diǎn)，進(jìn)行重新劃分，如此反復(fù)，直到滿足一定的條件算法結(jié)束。聚類(lèi)完成后，聚類(lèi)的個(gè)數(shù)也就自動(dòng)產(chǎn)生了。

在該算中相似度的計(jì)算均采用的是歐式距離度量方式，改進(jìn)算法步驟與流程如下：

Step1.設(shè)定一個(gè)含有n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象的集合D，。首先選擇距離最大兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象xp，xq作為初始的聚類(lèi)中心，即xp，xq之間的距離滿足，則把xp作為第一個(gè)類(lèi)的聚類(lèi)中心，記為S1，即S1=xp；把xq作為第二個(gè)類(lèi)的聚類(lèi)中心，記為S2，即S2=xq。

Step2.將集合Sn中其余的n-2個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象，按照歐式距離計(jì)算，并以S1，S2為聚類(lèi)中心劃分類(lèi)，若，則將xi劃分到類(lèi)S1中，否則將xi劃分到類(lèi)S2中，這樣就將集合D以S1，S2為聚類(lèi)中心劃分成了兩大類(lèi)，分別記作D21，D22。Step3.計(jì)算類(lèi)D21中的所有數(shù)據(jù)對(duì)象到S1的距離，并取最大距離記為d21，即計(jì)算類(lèi)D22中的所有數(shù)據(jù)對(duì)象到S2的距離，同樣取最大距離，得

Step4.取d2=max{d21,d22} ，若d2＞hd1（h為輸入?yún)?shù)，一般由經(jīng)驗(yàn)獲得），對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象為第3個(gè)聚類(lèi)中心點(diǎn)，記為S3，把D以S1，S2，S3為聚類(lèi)中心劃分成了3大類(lèi)，分別記作D31，D32，D33。

Step5.計(jì)算類(lèi)D31中的所有數(shù)據(jù)對(duì)象到S1的距離，得，計(jì)算類(lèi)D32中的所有數(shù)據(jù)對(duì)象到S2的距離，得計(jì)算類(lèi)D33中的所有數(shù)據(jù)對(duì)象到S3的距離，得

其中參數(shù)h的取值范圍為0.5≤h≤1，可以看出h的取值與最終形成的聚類(lèi)中心的個(gè)數(shù)成反比。因?yàn)閔越小越容易滿足Step6中的檢驗(yàn)條件，即聚類(lèi)中心之間的距離比較小，也就越容易找到新的聚類(lèi)中心。根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，h一般取為0.5。

改進(jìn)后的算法必須在去除孤立點(diǎn)之后才能使用，因?yàn)閷?duì)未處理的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)，恰恰容易選擇兩個(gè)孤立點(diǎn)作為初始的聚類(lèi)中心，產(chǎn)生錯(cuò)誤的聚類(lèi)結(jié)果。但由于此算法應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘前，數(shù)據(jù)預(yù)處理的數(shù)據(jù)清洗中，數(shù)據(jù)清洗還需要對(duì)數(shù)據(jù)集光滑噪聲并去除離群點(diǎn)，糾正數(shù)據(jù)的不一致性[9]。所以在此情況下，去除了“噪聲”和孤立點(diǎn)數(shù)據(jù)的影響后，應(yīng)用此方法，去除了不足之處。并且改進(jìn)后的聚類(lèi)算法避免了用戶輸入的參數(shù)對(duì)聚類(lèi)結(jié)果的影響，在一定程度上也避免了聚類(lèi)陷入局部最優(yōu)解的局面。

2）將聚類(lèi)和標(biāo)記操作合并，省略計(jì)算缺失數(shù)據(jù)所屬類(lèi)這一步驟。在K-means聚類(lèi)的缺失數(shù)據(jù)填充算法中，第三步為計(jì)算每個(gè)缺失記錄所屬類(lèi)，該步驟需再次搜索數(shù)據(jù)集，計(jì)算缺失記錄與類(lèi)重心的相似度，增加了整個(gè)算法的處理時(shí)間，針對(duì)這一缺點(diǎn)，加以改進(jìn)，直接對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類(lèi)，在聚類(lèi)同時(shí)對(duì)缺失記錄做標(biāo)記。

文中提出了將聚類(lèi)（Step2）和標(biāo)記操作（Step3）合并的方法。若要合并2、3步，需要含有缺失值的記錄同時(shí)參與聚類(lèi)，但K-means聚類(lèi)算法不能計(jì)算含有缺失值記錄之間的距離。并且，在第3步中，計(jì)算每個(gè)缺失記錄所屬類(lèi)，需要計(jì)算缺失記錄與每個(gè)類(lèi)重心的相似度，最大相似度對(duì)應(yīng)的類(lèi)標(biāo)記為缺失記錄所屬類(lèi)。其中相似度的計(jì)算，則利用歐氏距離計(jì)算各個(gè)屬性之間的相異度，變換之后，得到記錄間的相似度。可以看出，第二步聚類(lèi)中的距離函數(shù)和第三步計(jì)算缺失記錄所屬類(lèi)中的相似度函數(shù)均基于歐氏距離。因此若要對(duì)含有缺失記錄的數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類(lèi)，則需要對(duì)K-means算法的距離函數(shù)加以改進(jìn)，來(lái)適用于計(jì)算含缺失值數(shù)據(jù)集中對(duì)象之間的距離。改進(jìn)后的算法，屬性值之間的距離依然采用歐氏距離，當(dāng)遇到含有缺失值的記錄時(shí)，使用該記錄的剩余屬性值來(lái)計(jì)算與其他記錄之間的距離。通過(guò)添加指示變量ε來(lái)區(qū)分缺失屬性值，然后再將該距離乘以擴(kuò)展系數(shù)來(lái)計(jì)算二者的整體距離。

設(shè)整個(gè)數(shù)據(jù)集合為D，數(shù)據(jù)集D中存在缺失記錄，D中每個(gè)記錄均有m個(gè)屬性用xi表示記錄X的第i個(gè)屬性值。數(shù)據(jù)集D中存在記錄X和Y，若記錄X和Y第i個(gè)屬性值上存在缺失值，即X和Y其中一個(gè)第i個(gè)屬性值缺失，或X和Y第i個(gè)屬性值均缺失，則X和Y的第i個(gè)屬性的指示變量εi為0，否則為1，εi計(jì)算公式如式（1）：

歐式距離度量方法如式（2），在此基礎(chǔ)上加入指示變量和擴(kuò)展系數(shù)，改進(jìn)后的距離函數(shù)如式（3）。

3）使用重值對(duì)離散型數(shù)據(jù)填充。在最后一步填充過(guò)程中，原算法采用標(biāo)記類(lèi)的屬性均值來(lái)填充缺失值。若該屬性值為離散性數(shù)據(jù)，使用均值填充，會(huì)大大的降低填充的準(zhǔn)確性。所以針對(duì)此處不足，加以改進(jìn)：如果缺失數(shù)據(jù)為數(shù)值型數(shù)據(jù)，則依然使用標(biāo)記類(lèi)的平均值作為缺失數(shù)據(jù)的值；如果缺失數(shù)據(jù)是離散型數(shù)據(jù)，則改使用標(biāo)記類(lèi)中出現(xiàn)次數(shù)最多的屬性值作為缺失數(shù)據(jù)值。計(jì)算方法如下：其中Ai為缺失值所在屬性的屬性值，n為該類(lèi)記錄總數(shù)。

1.3 改進(jìn)算法的步驟

改進(jìn)的基于K-means算法的缺失值清洗算法的具體描述如下：

輸入：含有m個(gè)對(duì)象的數(shù)據(jù)集D

輸出：已經(jīng)過(guò)缺失值填充處理的數(shù)據(jù)集D′

方法：

Step1．不做劃分，對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集D使用改進(jìn)的K-means聚類(lèi)算法進(jìn)行聚類(lèi)，會(huì)得到k個(gè)類(lèi)，將聚類(lèi)結(jié)果標(biāo)記為D1,D2,…,Dk。

Step 2．依次檢查中D1,D2,…,Dk是否存在缺失記錄，若Di中包含缺失數(shù)據(jù)記錄，則將Di拆分成兩個(gè)子集，分別為完整數(shù)據(jù)子集Ci和缺失數(shù)據(jù)子集Mi，即數(shù)據(jù)子集Ci中的所有記錄均為完整記錄，不包含缺失值，而數(shù)據(jù)集Mi中的記錄均含有一個(gè)及以上的屬性存在缺失值。并且數(shù)據(jù)集Ci和Mi存在以下關(guān)系：Di=Ci?Mi，Ci?Mi=?。

Step 3．根據(jù)數(shù)據(jù)子集Mi所在類(lèi)，使用式（7），對(duì)記錄的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行填充，若缺失數(shù)據(jù)為數(shù)值型數(shù)據(jù)，則使用標(biāo)記類(lèi)的平均值作為缺失數(shù)據(jù)的值；若缺失數(shù)據(jù)是離散型數(shù)據(jù)，則使用標(biāo)記類(lèi)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值作為缺失數(shù)據(jù)值。填充后數(shù)據(jù)集記為

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)集采用來(lái)自UCI的STUDENT ALCOHOL CONSUMPTION Data Set數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集具有13個(gè)屬性，1 044條數(shù)據(jù)。由于STUDENT ALCOHOL CONSUMPTION數(shù)據(jù)集并不存在缺失數(shù)據(jù)，為完整數(shù)據(jù)集，其中每條記錄都已經(jīng)含有類(lèi)標(biāo)簽，為了實(shí)驗(yàn)，將人為地制造不同比例的缺失值到數(shù)據(jù)集中，也就是選取某一屬性并且將一部分實(shí)例的該屬性值設(shè)為unkown，這里要指出的是，屬性的選取非常關(guān)鍵，需要選擇對(duì)實(shí)例其他屬性有關(guān)聯(lián)的屬性。

文中采用正確率衡量算法的填充精度。實(shí)驗(yàn)最終，將經(jīng)過(guò)算法填充的數(shù)據(jù)集與原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行比較，通過(guò)計(jì)算正確率來(lái)體現(xiàn)填充算法的匹配程度。正確率計(jì)算方法如下：

其中m是正確填充的屬性值個(gè)數(shù)，n為原始數(shù)據(jù)集中缺失的屬性值個(gè)數(shù)，P為填充算法的正確率。當(dāng)P值為0時(shí)，表示所有填充的缺失值都錯(cuò)誤；相反，當(dāng)P值為1時(shí)，所有填充的缺失值都正確。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：

圖2 基于K-means聚類(lèi)的缺失值填充算法不同k值下的精確度曲線

圖3 本文算法不同h值下的精確度曲線

從圖2可以看出，對(duì)于原聚類(lèi)填充算法，并非值越大缺失值填充效果就越好，而且k的取值沒(méi)有規(guī)律可循，當(dāng)與數(shù)據(jù)集的分類(lèi)吻合時(shí)，其實(shí)k驗(yàn)結(jié)果較好。從圖3可以看出，可以看出h的取值與正確率基本成反。因?yàn)閔越小表示，即聚類(lèi)中心之間的距離比較小，數(shù)據(jù)的相似度也就越高，填充效果也就更好。

圖4 不同算法不同缺失比例下的精確度曲線

從圖4可以看出，缺失值較少的情況下，填充的精確度普遍較高，當(dāng)缺失值比例40%以上的時(shí)候，精確度降低。

表1 不同填充算法最優(yōu)正確率對(duì)比表

通過(guò)此表可以看出，使用基于K-means的缺失值填充算法和經(jīng)過(guò)改進(jìn)的基于K-means的缺失值填充算法對(duì)缺失值進(jìn)行有效填充的準(zhǔn)確度較均值填充算法有所提高，特別是經(jīng)過(guò)改進(jìn)的K-means的缺失值填充算法，在沒(méi)有損失正確率的前提下，成功的解決K-means算法對(duì)用戶k值輸入的依賴(lài)，另外也避免了初始值選取的非常近而增加算法迭代循環(huán)次數(shù)影響算法效率的問(wèn)題。而且可根據(jù)實(shí)際情況，調(diào)節(jié)準(zhǔn)確度?？梢?jiàn)，改進(jìn)后的算法對(duì)缺失值填充還是十分有效的。

3 結(jié)論

文中提出了一種基于距離最大化和缺失數(shù)據(jù)聚類(lèi)的填充算法。首先，對(duì)K-means聚類(lèi)算法加以改進(jìn)，利用數(shù)據(jù)間的最大距離確定聚類(lèi)中心；其次對(duì)聚類(lèi)的距離函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使之能夠?qū)θ笔?shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)，在聚類(lèi)的同時(shí)完成標(biāo)記缺失數(shù)據(jù)所屬類(lèi)，簡(jiǎn)化了原填充算法步驟；最后，在填充過(guò)程中，對(duì)于離散型數(shù)據(jù)，改用標(biāo)記類(lèi)中出現(xiàn)頻率最高的值填充缺失值。改進(jìn)后的算法不需要提前輸入聚類(lèi)個(gè)數(shù)，避免了用戶輸入的參數(shù)對(duì)聚類(lèi)結(jié)果的影響，在一定程度上也避免了聚類(lèi)陷入局部最優(yōu)解的局面。并且通過(guò)化簡(jiǎn)原算法步驟和增加離散型數(shù)據(jù)的處理，使得填充過(guò)程更簡(jiǎn)潔高效。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的算法在填充正確率上高于原有的經(jīng)典算法，而且該算法具有更高的運(yùn)行效率。

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