楊友磊1)2) 胡業(yè)民1)3) 項農(nóng)1)3)

1)(中國科學院等離子體物理研究所,合肥 230031)2)(中國科學院大學,北京 100049)3)(中國科學院磁約束聚變理論中心,合肥 230031)

(2017年5月3日收到;2017年8月18日收到修改稿)

1 引 言

穩(wěn)態(tài)運行對基于托卡馬克(Tokamak)的聚變反應堆至關重要,穩(wěn)態(tài)運行要求等離子體電流完全由非感應電流驅動來維持.另外,在先進托卡馬克運行模式中,電流剖面的控制也是一個重要的研究課題.除自舉電流外,中性束注入和射頻波電流驅動是主要的非感應電流驅動方法[1].低雜波(lower-hybrid wave,LHW)電流驅動是射頻波電流驅動中效率最高的[2?4],在現(xiàn)有托卡馬克中被廣泛使用[5?8],并且計劃用于未來的國際熱核聚變實驗堆(ITER)[9]和中國聚變工程實驗堆(CFETR)[10].而電子回旋波(electron cyclotron wave,ECW)電流驅動[11]也廣泛地用于等離子體電流剖面及磁流體不穩(wěn)定性的控制等[12,13].

在托卡馬克環(huán)形幾何位形中,帶電粒子按照其導心的漂移運動,可劃分為通行粒子和捕獲粒子.通行粒子的平行速度在運動過程中不變號,因此可以攜帶電流;而捕獲粒子的平行速度在一個回彈周期內(nèi)會變號兩次,在環(huán)向上只有相對通行粒子來說很小的進動,因此可以認為基本不攜帶電流.對于給定的磁面上通行和捕獲電子的份額可以用低場側捕獲角的大小來度量,捕獲角即速度空間正負通行/捕獲臨界邊界的夾角.捕獲角和磁面上的最大磁場和最小磁場有關,靠近磁軸的磁面上捕獲角小,稱為淺捕獲;靠近邊界的磁面上捕獲角大,稱為深捕獲.

LHW通過朗道阻尼,在平行于磁場的某一選定方向上加速電子,使得電子的速度空間分布函數(shù)產(chǎn)生非對稱的平臺,進而產(chǎn)生平行電流.LHW的耦合和傳播對等離子體參數(shù)很敏感,使得其功率沉積和電流驅動剖面不易控制.ECW通過回旋共振在垂直方向上加速電子,使得特定方向的溫度升高,碰撞率下降,從而產(chǎn)生非對稱電阻而驅動出電流(Fisch-Boozer電流[14]),或使特定方向通行電子變成捕獲電子從而產(chǎn)生相反方向凈電子流進而形成電流(Ohkawa電流[15]).ECW可以以一個窄波束的形式在等離子體中傳播,其功率沉積和電流驅動都很局域且容易控制,因此非常適用于控制等離子體電流剖面.但是ECW的電流驅動效率通常遠低于LHW電流驅動的效率.

由于LHW電流驅動和ECW電流驅動的這些互補的特征,實際應用中經(jīng)常把它們結合起來同時用于托卡馬克實驗來維持和控制等離子體電流[16?18].理論和數(shù)值研究以及實驗研究都有發(fā)現(xiàn)LHW電流驅動和ECW電流驅動之間有協(xié)同效應[19?25].協(xié)同效應指在相同的等離子體條件下,二者同時注入時驅動的電流不同于二者單獨注入時驅動的電流之和.在滿足一定的匹配條件時,協(xié)同效應可以顯著地增加驅動電流.協(xié)同效應源于LHW和ECW產(chǎn)生的速度空間擴散的相互影響.ECW在垂直方向上加速電子,這些被加速的電子通過碰撞散射可能會進入LHW的共振區(qū),相當于給LHW提供了更多的共振電子.另一方面,被LHW加速的電子也可能通過碰撞散射到ECW的共振區(qū),從而影響ECW電流驅動.

ECW電流驅動受捕獲的影響很大,Fisch-Boozer和Ohkawa這兩種電流驅動機理產(chǎn)生的驅動電流方向相反.在捕獲較小時,Fisch-Boozer效應占主導,而隨著捕獲的增大,Ohkawa效應的貢獻會越來越大.研究表明捕獲效應也會使得LHW驅動的載流電子變成捕獲電子而不再攜帶電流,從而降低LHW電流驅動效率[26].總之,捕獲對ECW電流驅動和LHW電流驅動都有很大的影響,因此也很有可能對ECW和LHW的協(xié)同產(chǎn)生影響.

但是目前對ECW和LHW協(xié)同效應的研究中還未曾詳細討論捕獲的影響.本文通過CQL3D[27]程序數(shù)值求解回彈平均的準線性方程,研究了在不同LHW共振區(qū)和不同ECW功率下捕獲電子對協(xié)同效應的影響,有助于進一步理解ECW和LHW的協(xié)同效應物理,并有助于優(yōu)化實驗參數(shù),以期驅動更多的電流和更好地控制電流剖面.

2 動理學模型

在ECW和LHW驅動以及碰撞的作用下,電子速度分布函數(shù)的演化可以用準線性方程來描述[27]:

式中f是電子的分布函數(shù);C(f)≡C(f,fm)+C(f,fi)是線性化的碰撞算子;u=p/m=γv是電子單位靜止質量的動量,m為電子的靜止質量,是相對論因子,其中c為真空中的光速;DEC和DLH分別是ECW和LHW的準線性擴散系數(shù).DEC和DLH可由相對論性的Kennel和Engelmann表達式得到[28]:

這里q為粒子攜帶的電量;k//和k⊥分別是波矢k在平行和垂直于磁場方向的分量;是局域的回旋頻率,ω是入射射頻波的頻率;貝塞爾函數(shù)J的宗量是和⊥分別是u//和u⊥方向的單位矢量,u//和u⊥是單位靜止質量的動量在平行和垂直方向的分量;n是射頻波的諧波數(shù),對于LHW,n=0;對于EAST上的ECW,n=2;Ex,Ey和E//是電場的各個分量.

本文討論速度空間中捕獲角對兩支波協(xié)同效應的影響,對應于環(huán)位形中的一個磁面.ECW和LHW能產(chǎn)生協(xié)同效應的前提是兩支波的功率可以沉積在同一個磁面上.ECW和LHW的傳播可以用射線追蹤方法來計算.在射線追蹤模型中,射頻波用一組獨立傳播的射線來模擬,每根射線攜帶的功率其中P是射頻波的功率譜,通常由天線程序計算得到.射頻波會被滿足共振條件的電子吸收,共振條件即(3)式中的δ函數(shù)表示的多普勒頻移后的相對論性共振條件

其中k//是在Δk//=Δn//c/ω范圍內(nèi)的平行方向波數(shù).共振條件決定了在速度空間中準線性擴散系數(shù)非零的區(qū)域,而準線性擴散系數(shù)的值則由(2)–(4)式來計算.ECW和LHW的共振區(qū)的示意圖見圖1.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)ECW(紅)和LHW(綠)的共振區(qū)示意區(qū)Fig.1.(color online)Schematic illustration of the resonance regions for the ECW(red)and the LHW(green).

本文中所用的等離子體平衡參數(shù)基于EAST托卡馬克.通過調整ECW的入射角,可以使其功率沉積在歸一化環(huán)向磁通的平方根ρ=0.4的磁面上,在這一磁面上,捕獲角可達約52°.通過CQL3D程序設置,調節(jié)回彈平均過程中磁面上磁場最大值和最小值之差,可將捕獲角在約8°–52°之間進行調節(jié),等效于ECW沉積在不同的徑向位置,但波的入射功率和在速度空間的共振區(qū)位置等保持不變.磁軸處的環(huán)向磁場約為2.4 T,等離子體溫度約2 keV.LHW的共振區(qū)按慣例取為3–5倍熱速度,并在研究LHW的共振區(qū)寬度的影響時調節(jié)為3–7倍熱速度.

3 數(shù)值計算結果

3.1 固定共振區(qū)、不同捕獲角的結果

本節(jié)首先研究了固定ECW和LHW的共振區(qū)及功率不變時,不同捕獲角對雙波協(xié)同效應的影響.雙波共同驅動時,協(xié)同效應會對ECW和LHW的驅動電流產(chǎn)生不同程度的影響,而捕獲對ECW和LHW的影響也有很大區(qū)別,因此有必要將協(xié)同時二者貢獻的驅動電流區(qū)分開來.LHW的驅動電流正比于平行分布函數(shù)在LHW共振區(qū)內(nèi)的平臺高度,可以通過這個關系,根據(jù)協(xié)同時LHW共振區(qū)內(nèi)平行分布函數(shù)的平臺高度,以及單支LHW驅動時的平臺高度和驅動電流,計算出協(xié)同時等效的低雜驅動的電流:

圖2展示了單支ECW的驅動電流JEC、協(xié)同時等效的ECW驅動電流單支LHW的驅動電流JLH、協(xié)同時等效的LHW驅動電流以及協(xié)同時的總驅動電流隨捕獲角的變化.從圖2可以看出:雙波協(xié)同時兩支波的驅動電流都比單獨驅動時大,即ECW的驅動電流受捕獲角的影響很大,捕獲角從8°變化到52°的過程中,JEC和都下降了80%以上;而LHW受捕獲角的影響也較大,捕獲角從8°變化到52°的過程中,JLH減小了約23%,減小了約29%;總電流受捕獲角的影響在二者之間,捕獲角從8°變化到52°的過程中,Js減少了約45%.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)單支ECW(紅實線)、協(xié)同時ECW(紅虛線)、單支LHW(藍實線)、協(xié)同時LHW(藍虛線)以及ECW和LHW協(xié)同時(黑實線)驅動的電流密度隨捕獲角的變化Fig.2.(color online)Current densities with different trap angles for the EC only case(red solid line),the contribution of EC wave in EC+LH case(red dashed line),the LH wave only case(blue solid line),the contribution of LH wave in EC+LH case(blue dashed line),and the EC+LH case(black solid line).

圖3 (網(wǎng)刊彩色)分布函數(shù)的非麥克斯韋部分和速度空間的流線 (a1)淺捕獲時單支ECW;(a2)淺捕獲時單支LHW;(a3)淺捕獲時ECW和LHW協(xié)同;(b1)深捕獲時單支ECW;(b2)深捕獲時單支LHW;(b3)深捕獲時ECW和LHW協(xié)同F(xiàn)ig.3.(color online)Filled contours of the non-Maxwellian parts of the distribution functions and the streamlines of the fl ux for(a1)the EC wave only case with barely trapping,(a2)the LH wave only case with barely trapping,(a3)the EC+LH case with barely trapping,(b1)the EC wave case with deep trapping,(b2)the LH only case with deep trapping,and(b3)the EC+LH case with deep trapping.

對比圖3(a1)和(a3)可以看出:有LHW存在時,ECW可以驅動出更多載流電子,ECW的電流驅動被增強,即從流線可以看出,LHW共振區(qū)內(nèi)被加速的電子有一部分散射回了EC共振區(qū)內(nèi);另外,ECW和LHW的共振區(qū)有部分重疊,在這一區(qū)域的電子會受到兩支波的共同驅動,對兩支波的驅動電流都有增強作用,增加LHW共振區(qū)寬度或者提高ECW功率可以使重疊區(qū)域的電子更多,可能會產(chǎn)生更強的協(xié)同效應.對比圖3(a2)和圖3(a3)可以看出:由于ECW的存在,LHW的共振電子也增加了,LHW電流驅動也得到了加強,即從流線可以看出,這主要是由于被ECW在垂直方向上加速的電子,通過碰撞散射到LHW的共振區(qū),使得LHW可以與更多電子共振,從而驅動出更多的電流;兩支波共振區(qū)的重疊部分中,ECW對LHW電流驅動也有一定的增強.對比圖3(a1)和圖3(b1)可以看出:捕獲會導致ECW驅動出的部分載流電子變成捕獲電子而不能攜帶電流,從而使得ECW的驅動電流減小;而ECW的共振區(qū)通常距離通行/捕獲邊界較近,因此捕獲對ECW電流驅動的影響非常大.對比圖3(a2)和圖3(b2)可以看出:當捕獲角增大時,部分LHW驅動的載流電子也會落入捕獲區(qū),從而導致LHW的驅動電流減小;由于LHW的共振區(qū)距離通行/捕獲邊界相對遠一些,這個影響比對ECW電流驅動的影響小.同樣,對比圖3(a3)和圖3(b3)可以看出:捕獲角的增大會導致很多雙波協(xié)同時的載流電子變?yōu)椴东@電子,從而導致驅動電流減小;這個影響的大小介于對ECW和對LHW的影響之間;捕獲角的增大既直接減少了LHW驅動的電流,又影響了協(xié)同時ECW對LHW的促進作用,所以捕獲角變大時比JLH下降得更多.

雙波協(xié)同時,兩支波的驅動電流都會受到影響,這些影響可以用協(xié)同因子來量化.協(xié)同因子的定義為

圖 4(網(wǎng)刊彩色)ECW(紅)、LHW(藍)、以及 EC+LH 協(xié)同(黑)的協(xié)同因子隨捕獲角的變化Fig.4.(color online)Synergy factors with different trap angles for the EC wave(red),the LH wave(blue),and the EC+LH synergy(black).

圖2中的電流對應的協(xié)同因子如圖4所示.從圖4可以看出:隨著捕獲角的增大,協(xié)同因子下降;捕獲角對ECW的協(xié)同因子影響很大;捕獲角對LHW的協(xié)同因子影響較小;捕獲角對總的協(xié)同因子的影響介于二者之間,并由于而更接近對LHW的影響.

從上面的分析可以看出,LHW共振區(qū)的寬度影響兩支波共振區(qū)重疊區(qū)域的面積,因而加寬LHW共振區(qū)可能會產(chǎn)生更強的協(xié)同效應.另外,提高ECW的功率,ECW可以把電子加速到速度更高的區(qū)域,更接近甚至直接進入LHW的共振區(qū),也可能產(chǎn)生更強的協(xié)同效應.下面分別討論這兩種情況.

3.2 LHW共振區(qū)加寬時的結果

為研究LHW共振區(qū)寬度對雙波協(xié)同的影響,本節(jié)將3.1節(jié)中LHW的共振區(qū)寬度取為3–7倍熱速度,其他設置保持不變,研究了捕獲角對驅動電流和協(xié)同因子的影響.

此時的電流隨著捕獲角的變化如圖5所示.與圖2進行對比可以看出:LHW共振區(qū)加寬后,JLH和相應地增加了近一倍,但是變化趨勢基本沒有改變;Js的變化趨勢也基本沒有改變;但是的變化趨勢改變比較明顯,的下降速度明顯降低.LHW的共振區(qū)加寬后,對ECW電流驅動的影響也相應增強,相對地,ECW受捕獲的影響減弱.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)單支ECW(紅實線)、協(xié)同時ECW(紅虛線)、單支LHW(藍實線)、協(xié)同時LHW(藍虛線)以及ECW和LHW協(xié)同時(黑實線)驅動的電流密度隨捕獲角的變化Fig.5.(color online)Current densities with different trap angles for the EC only case(red solid line),the contribution of EC wave in EC+LH case(red dashed line),the LH wave only case(blue solid line),the contribution of LH wave in EC+LH case(blue dashed line),and the EC+LH case(black solid line).

圖6 (a)總的協(xié)同因子、(b)ECW的協(xié)同因子以及(c)LHW的協(xié)同因子在LHW共振區(qū)為3–5(虛線)和3–7(實線)時隨捕獲角的變化Fig.6.Synergy factors with different trap angles for(a)the EC+LH synergy,(b)the EC wave and(c)the LH wave,with lower-hybrid resonance regions of 3–5(dashed lines)and 3–7(solid lines).

這時協(xié)同因子隨捕獲角的變化如圖6所示,其中虛線同圖4中的結果,實線是LHW共振區(qū)加寬后的結果.通過對比可以看出:LHW共振區(qū)加寬后,ηEC增大了很多,而且對捕獲角的依賴減弱,甚至在捕獲較大時隨著捕獲的繼續(xù)增大而增大;由于LHW電流驅動的比例增大了,ECW對LHW的影響相對變?nèi)?因此ηLH變小;ηEC+LH主要受ηLH影響,因此也略有減小.

3.3 ECW功率加倍時的結果

為研究ECW功率對雙波協(xié)同的影響,本節(jié)將3.1節(jié)中ECW的功率加倍,其他設置不變,研究了捕獲角對驅動電流和協(xié)同因子的影響.

此時的電流隨著捕獲角的變化如圖7所示.與圖2進行對比可以看出:ECW功率加大后,JEC和有了大幅的增加,在捕獲比較小時,ECW的驅動電流甚至與LHW的驅動電流可比;JEC和受捕獲的影響依然很大,隨著捕獲的增大而迅速下降;由于占總電流的比例增大,而又隨著捕獲的增大而迅速下降,導致Js的下降速度也加大;隨著ECW的功率增大,其對LHW電流驅動的影響也加大,因此有較大幅度的提高.

圖7中最小捕獲和最大捕獲時對應的分布函數(shù)的非麥克斯韋部分及速度空間的流線如圖8所示.圖8(a1),(a2)和(a3)分別對應單支ECW、單支LHW和雙波協(xié)同在小捕獲時的結果;圖8(b1),(b2)和(b3)分別對應單支ECW、單支LHW和雙波協(xié)同在大捕獲時的結果.對比圖8和圖3可以看出,ECW功率加大后,可以驅動更多的電子,并可以把電子加速到更大的垂直速度.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)單支ECW(紅實線)、協(xié)同時ECW(紅虛線)、單支LHW(藍實線)、協(xié)同時LHW(藍虛線)以及ECW和LHW協(xié)同時(黑實線)驅動的電流密度隨捕獲角的變化Fig.7.(color online)Current densities with different trap angles for the EC only case(red solid line),the contribution of EC wave in EC+LH case(red dashed line),the LH wave only case(blue solid line),the contribution of LH wave in EC+LH case(blue dashed line),and the EC+LH case(black solid line).

這時協(xié)同因子隨著捕獲角的變化如圖9所示,其中虛線同圖4中的結果,實線是ECW功率加倍后的結果.通過對比可以看出:ECW功率加大后,LHW對ECW的影響相對減弱,因此ηEC在淺捕獲時略微減小,但是ECW功率加大后,可以把電子加速到更大的垂直速度,隨著捕獲角的繼續(xù)增大,更多的捕獲電子落到LHW的共振區(qū)內(nèi),LHW將部分捕獲電子在平行方向上加速變成通行電子,ηEC反而上升了;ECW功率加大后,對LHW電流驅動的影響也加大,ηLH增大了很多;ηEC+LH總體隨著捕獲角的增加而下降,但是下降速度受到ηEC影響而先快后慢.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)分布函數(shù)的非麥克斯韋部分和速度空間的流線 (a1)淺捕獲時單支ECW;(a2)淺捕獲時單支LHW;(a3)淺捕獲時ECW和LHW協(xié)同;(b1)深捕獲時單支ECW;(b2)深捕獲時單支LHW;(b3)深捕獲時ECW和LHW協(xié)同F(xiàn)ig.8.(color online)Filled contours of the non-Maxwellian parts of the distribution functions and the streamlines of the fl ux for(a1)the EC wave only case with barely trapping,(a2)the LH wave only case with barely trapping,(a3)the EC+LH case with barely trapping,(b1)the EC wave case with deep trapping,(b2)the LH only case with deep trapping,and(b3)the EC+LH case with deep trapping.

圖9 (a)總的協(xié)同因子、(b)ECW的協(xié)同因子以及(c)LHW的協(xié)同因子在ECW功率為5 MW(虛線)和10 MW(實線)時,隨捕獲角的變化Fig.9.Synergy factors with different trap angles for(a)the EC+LH synergy,(b)the EC wave and(c)the LH wave,with the electron cyclotron wave power of 5 MW(dashed line)and 10 MW(solid line).

4 討論與結論

本文通過求解準線性方程,研究了捕獲電子效應對ECW和LHW協(xié)同效應的影響.協(xié)同電流由ECW和LHW共同驅動,本文利用LHW驅動電流與其共振區(qū)內(nèi)平臺高度成正比這一規(guī)律,區(qū)分出了協(xié)同時兩支波對驅動電流的貢獻,進而分別研究了不同捕獲角下協(xié)同對兩支波各自的影響.在捕獲角由約8°增大到約52°的過程中,ECW的驅動電流下降了80%以上,LHW驅動的電流下降了約20%以上,總驅動電流下降了約45%,在ECW功率較大時總驅動電流的下降甚至超過了50%.ECW的驅動電流隨著捕獲角的增大而下降得很快,通過加寬LHW共振區(qū)有利于減弱ECW電流驅動對捕獲的依賴.ECW的功率加大后,可以把電子加速到更大的垂直速度,隨著捕獲角的增大,更多捕獲電子可以被LHW加速變成通行電子,從而產(chǎn)生更有效的協(xié)同效應,并減小捕獲角對ECW電流驅動的影響.

ECW電流驅動常用于驅動局域的等離子體電流,在需要離軸驅動時,捕獲對ECW電流驅動非常不利.本文的研究表明,在捕獲角較大時,LHW可以將部分捕獲電子在平行方向上加速變成通行電子,從而驅動出更多的局域等離子體電流.而且在捕獲角比較大時,加大LHW的共振區(qū)寬度和加大ECW的功率都可以獲得更好的協(xié)同效應.

另外,在ITER[1,9]和CFETR[10]的高溫度、高密度參數(shù)下,LHW很難傳播到等離子體芯部,而且效率降低.本文的研究工作表明,在捕獲角較大的情況下,ECW和LHW的協(xié)同效應依然可以顯著地增強電流驅動,因此有望改善LHW電流驅動.

本文的研究僅限ECW和LHW在速度空間的相互影響.在實際實驗中,ECW和LHW的傳播和功率沉積、射頻波引起的等離子體溫度的變化、快電子的約束、靴帶電流等因素都需要綜合考慮.

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