,李洪,

(東北林業(yè)大學(xué) 信息與計算機(jī)工程學(xué)院,哈爾濱 150040)

0 概述

過程層析成像(Process Tomography,PT)技術(shù)包括電容層析成像技術(shù)、電阻層析成像技術(shù)和電磁層析成像技術(shù)。它們分別依據(jù)測量不同的電學(xué)特性進(jìn)行相關(guān)信息的重建工作。其中電容層板成像(ECT)技術(shù)就是利用傳感器測量并得到電容信號后,將這些電容信號依照合適的算法進(jìn)行介質(zhì)內(nèi)介電常數(shù)分布情況的重建工作。

ECT技術(shù)作為PT技術(shù)的一種,相比其他PT技術(shù)而言,具有成本低、可靠性高、簡單易實現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。另外ECT的非侵入性、高安全性和高速度性使其在解決連續(xù)相非導(dǎo)電物質(zhì)的兩相流以及多相流成像問題中產(chǎn)生很好的效果[1-3]。ECT技術(shù)的適用范圍廣泛,現(xiàn)已在化工、石油和醫(yī)藥等眾多兩相流和多相流檢測領(lǐng)域有相應(yīng)的應(yīng)用[4-5]。

自從ECT技術(shù)出現(xiàn)以后,大量的圖像重建算法被國內(nèi)外的眾學(xué)者所提出。文獻(xiàn)[6]在1996年就對ECT的各種圖像重建算法進(jìn)行過一次綜合表述。近些年,Tikhonov正則化方法[7]、正則化的Gauss-Newton方法[8]、快速模擬退火全局優(yōu)化算法[9]、遺傳算法[10]、支持向量機(jī)法等一系列新的ECT圖像重建算法相繼被提出。

目前,對于ECT圖像重建最常用的幾種方法有直接算法中的LBP法[11]和Tikhonov正則化法以及迭代算法中的共軛梯度(CG)法[12]和Landweber迭代法[13]。

ECT圖像重建是一個高度非線性問題,因ECT技術(shù)具有的“軟場”特性,該問題屬于病態(tài)問題求解。采用針對與該非線性問題“鄰近”的線性問題的解法不斷逼近要得到的解的這樣一種思想是簡單而有效的。

ECT技術(shù)是否可以成功應(yīng)用關(guān)鍵取決于ECT反問題求解的精度與速度的優(yōu)劣[14-15]。LBP算法的成像速度較快,但其成像精度上卻有很大的不足。CG算法在復(fù)雜流型上的成像精度并不特別理想。模擬退火算法、遺傳算法和支持向量機(jī)算法在某方面的優(yōu)越性上有所強(qiáng)化,但卻以犧牲其他性能作為代價,因此只能在特定領(lǐng)域中有所應(yīng)用。

電容層析成像技術(shù)要實現(xiàn)滿足工業(yè)實際應(yīng)用需求的目標(biāo),依賴于ECT圖像重建算法的效果,所以,尋找優(yōu)秀的ECT圖像重建算法是值得一直研究的目標(biāo)。

本文提出一種修正隱式Landweber電容層析成像算法,并與采用LBP、經(jīng)典Landweber、CG以及SD方法的仿真實驗的重建圖像、誤差率和迭代次數(shù)進(jìn)行對比,目的是獲得更好的電容層析成像圖像重建效果。

1 電容層析成像系統(tǒng)及ECT技術(shù)原理

在ECT研究中,常用的有6、8、12、16電極的ECT系統(tǒng)。本文主要討論典型12電極的ECT系統(tǒng)。12電極ECT系統(tǒng)主要有三大組成部分,如圖1所示[16-19]。

圖1 12電極ECT系統(tǒng)的組成

ECT技術(shù)的原理是根據(jù)不同相元素介電常數(shù)各不相同的特性,用電容傳感器上的電極板對被測流體施加電壓后,經(jīng)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)測得的流體流動產(chǎn)生的變化的電容值,通過ECT圖像重建算法,得到不同相元素的介電常數(shù)的分布及被測流體的截面重建圖像。

通常,在一個N電極ECT系統(tǒng)中,獨(dú)立電極對的總數(shù)M滿足下式:

(1)

首先從這12個極板的中某個極板出發(fā),逆時針依序?qū)@些極板分別做編號處理,把編號為1的電極板規(guī)定為源極板。然后為源極板加一固定電壓值U,再依次選取電極板2、3、…、12作為檢測電極板,分別對1-2、1-3、…、1-12這些電極板對間的電容值進(jìn)行測量。并且保證在每一次的測量過程中,閑置的其他電極都處于接地狀態(tài)。接著繼續(xù)依序規(guī)定編號為 2的電極板作為源極板,同理測出2-3、2-4、…、2-12這些電極板對間的電容值。繼續(xù)按編號進(jìn)行類似上述操作,操作止于完成了11-12這一電極對的電容值測量工作。此時,共能得到66個獨(dú)立的測量電容值[20]。

ECT圖像重建算法截至目前為止大部分都采用介電常數(shù)到電容映射這一線性模型。式(2)則表示離散化、線性化并且進(jìn)行歸一化過后的線性模型[21-25]。

C=SG

(2)

2 電容層析成像反問題求解

本文首先分析一個隱式的Landweber方法:

(3)

k=0,1,…

(4)

即:

k=0,1,…

(5)

來求解非線性算子方程:

F(x)=y,F:H→H

(6)

其中,H是Hilbert空間,F是Hilbert空間上的一個非線性算子。

式(5)所示的隱式方法是由3階中點(diǎn)Newton法變形而來,把Newton法中的F′(·)-1改寫為F′(·)*[26]。

假設(shè)算子F在x*的開鄰域Ω?D(F)中滿足如下的非線性條件。

(7)

(8)

此外,假定F滿足:

2)F′在Ω內(nèi)是一直Lipschitz連續(xù)的,Lipschitz常數(shù)為L。

3)存在M>0,使得對所有的x∈Ω,‖F(xiàn)′(x)‖≤M(算子的有界性)。

在以上的假設(shè)條件下,且假定x0足夠接近于真解x*,將證明當(dāng)誤差水平δ=0時,序列{xk}收斂于真解x*。此外,當(dāng)誤差水平δ≠0時,在有限的迭代步數(shù)內(nèi),可以保證:

?k≤k*-1

(9)

(10)

其中,τ是一個依賴于條件1)中的η的正數(shù)。且對于下式:

(11)

令F′是連續(xù)的,且滿足Lipshitz條件(Lipschitz常數(shù)為L),由簡單迭代法,式(11)存在唯一解。

此外,令K(x,0)=-F′(x)*(F(x)-y),有:

(12)

當(dāng)誤差水平δ≠0時,該隱式Landweber方法具體計算時采用如下計算格式:

(13)

當(dāng)m=2時:

(14)

使該迭代式中的步長為自適應(yīng)變步長,令:

(15)

其中,R0=‖x0-x*‖。

對于ECT反問題而言,有對應(yīng)的非線性算子方程:

C=F(G)=SG

(16)

其中,C表示測量得到的電容向量,S表示靈敏度矩陣,G表示圖像分布向量。

在C=F(G)中,以S代替F′(G),以SG替代F(G),所以將式(14)寫為如下形式:

(17)

(18)

所以,式(14)最終將改寫為:

(19)

其中:

(20)

且有R0=‖G0-G*‖,M和L則源于條件2)和條件3)。

從原理上講,Landweber算法是最速下降法的一種變形,迭代的最開始收斂較快,但越靠近極小點(diǎn)收斂越慢。所以,可以在每次迭代時,先用經(jīng)典Landweber算法進(jìn)行搜索,然后以該搜索結(jié)果為初值,再用隱式Landweber方法進(jìn)一步搜索,這樣可以大大提高收斂速度,并得到更加精確的結(jié)果。同時,可以根據(jù)經(jīng)驗選取參數(shù)將方法進(jìn)行優(yōu)化,在其中加入?yún)?shù)α、β,α、β與STS的最大特征值相關(guān)聯(lián)。

到此,對式(15)進(jìn)行迭代修正后得到下式:

Gk+1=Gk-αST(SGk-C)-

(21)

下面分析該算法的收斂性,由式(11)和式(16),有:

(22)

假設(shè)條件2)和條件3)當(dāng)0≤k≤k*時都滿足,按照偏差原則式(9),迭代在k*(δ)步終止。

定義下列公式:

(23)

(24)

其中:

(25)

由式(5),有:

(26)

由式(12),可得:

(27)

其中:

(28)

又由假設(shè)條件1)和條件2),有:

(29)

‖ek+1‖2≤‖ek‖2+h(hM2-2+2η+

(30)

存在h1>0,使得γ>0,且:

(31)

由停止準(zhǔn)則式(9)和式(30),可知:

(32)

又因為:

所以有對任意的滿足0≤k≤k*的k,存在h1>0,使得對任意的h

(33)

又對于經(jīng)典Landweber的迭代公式,有:

‖G*-Gk+1‖2-‖G*-Gk‖2=

2(Gk-G*,Gk+1-G*)+‖Gk+1-Gk‖2=

2(C-SGk,C-SGk)-

(C-SGk,(I-SST)(C-SGk))-

‖C-SGk‖2≤‖C-SGk‖×

((2η-1)‖C-SGk‖+2(1+η)δ)

(34)

由Morozov偏差原則,有:

‖C-SGk‖≥τδ

(35)

(36)

則可知式(28)的不等式右邊為負(fù)數(shù),說明經(jīng)典Landweber中的Gk+1比Gk更單調(diào)收斂接近于真解。

綜上,可知式(21)求解公式單調(diào)收斂,且逐漸向真解逼近。

該算法的效率分析如下:因修正的隱式Landweber算法迭代式(21)確定后,此算法執(zhí)行的時間將僅依賴于迭代公式所進(jìn)行的迭代修正次數(shù),所以隱式Landweber算法的運(yùn)算復(fù)雜度為O(N),N為迭代公式的總迭代次數(shù)。在空間復(fù)雜度方面,該算法的執(zhí)行在計算程序程序編寫的過程中除本身需要的變量、常數(shù)以及輸入數(shù)據(jù)外,不在需要額外的操作空間。從而,該算法具有較好的算法效率。

3 仿真與實驗結(jié)果

基于以上理論,本文進(jìn)行模擬仿真實驗來驗證算法求解ECT圖像重建這一反問題的效果。針對極低位層流、低位層流、小半徑核心流以及柱狀流這4種流型進(jìn)行預(yù)設(shè)置并采用Matlab配合12電極的ECT系統(tǒng)來進(jìn)行仿真實驗。實驗環(huán)境設(shè)定在配置Intel(R) Core(TM) i7-6700 @ 3.4 GHz處理器,安裝內(nèi)存4.0 GB,64位操作系統(tǒng)的計算機(jī)上。

依據(jù)以上實驗條件,根據(jù)本文中提出的該種修正隱式Landweber方法進(jìn)行ECT圖像重建,得到實驗結(jié)果后,將其與線性反投影(LBP)法、經(jīng)典Landweber法、共軛梯度(CG)法和最速下降(SD)法的圖像重建結(jié)果進(jìn)行對比。

ECT反問題求解中良好的精度與合理的速度是ECT技術(shù)能夠成功應(yīng)用的關(guān)鍵。在該仿真實驗中,實驗精度的確定依靠空間圖像誤差來判定。誤差計算公式如下:

(37)

其中,n、gimg、ginit和i分別代表著成像區(qū)域單元總數(shù)、重建圖像向量、介質(zhì)分布原型圖像向量以及成像區(qū)域剖分單元索引[27]。

實驗速度則依照實驗過程中的迭代次數(shù)來判定。迭代次數(shù)N越大,表示ECT圖像重建的時間花銷越大。設(shè)定實驗產(chǎn)生的迭代誤差滿足式(38)即停止迭代。

‖SGk-C‖<ξ

(38)

修正的隱式Landweber算法(簡寫為XYLWB)成像結(jié)果與其他算法成像結(jié)果對比以及分析如圖2所示。

圖2 目標(biāo)算法與其他算法重建圖像結(jié)果對比

從圖2的成像結(jié)果對比可以看出,這幾種算法重建的圖像在形狀上均大體接近原始流型,但與標(biāo)準(zhǔn)原始圖像對比上的視覺誤差各不相同。其中,對于極低位層流,Landweber方法和XYLWB方法的成像效果相對更好,且XYLWB方法的成像效果更佳。對于低位層流,XYLWB方式最接近低位層流的原始圖像。

表1展示了各種方法重建的圖像與原始圖像的誤差百分比。I、II、III、IV分別代表極低位層流、低位層流、核心流以及柱狀流。從中可以看出,對于I、II、III這3種流型,采用XYLWB方法所成圖像的誤差率均為最低,與表1中所顯示結(jié)果基本一致。

表1 圖像誤差比較 %

從表2可看出,對于I、III 2種流型,XYLWB算法的成像迭代次數(shù)均明顯少于SD算法。對于流型II,經(jīng)典Landweber算法、SD算法和XYLWB算法的迭代次數(shù)差別微弱,但XYLWB算法所產(chǎn)生的誤差率上卻是這3種算法中最低的。XYLWB算法與經(jīng)典Landweber算法相比較,對于流型I,迭代次數(shù)和誤差率均有所下降;對于流型II、III,迭代次數(shù)上有所增加,但在誤差率上卻明顯下降。相比CG算法而言,XYLWB算法對于各個流型的迭代次數(shù)有所增加,但對比表2,會發(fā)現(xiàn)對于I、II、III這3種流型,誤差率明顯降低,所以這些迭代次數(shù)的增加是值得的。綜合表1、表2可以知道,對于流型IV,采用XYLWB的成像效果,雖相比CG法略顯不足,但卻仍優(yōu)于LBP、經(jīng)典Landweber算法和SD算法。

表2 成像迭代次數(shù)

表3列出的是以上4種算法經(jīng)20步迭代后的范數(shù)殘量誤差值,從表3中可以看出,XYLWB的范數(shù)殘量誤差值比較合理。

表3 算法的范數(shù)殘量誤差值

目標(biāo)算法與其他算法的范數(shù)殘量誤差比較如圖3所示。圖3分別針對于以上實驗的4種流型,來對經(jīng)典Land-weber、 SD、CG及XYLWB算法的第0步～第20步迭代的2范數(shù)殘量誤差進(jìn)行比較。

圖3 算法的范數(shù)殘量誤差對比

由圖3中信息可得知,對于極低位層流、層流這2個流型,XYLWB算法在迭代第8步的時候已經(jīng)得到最好的范數(shù)殘量誤差,且對于極低位層流,整體上XYLWB算法的范數(shù)殘量誤差要小于經(jīng)典Landweber算法和CG算法;對于低位層流,XYLWB算法的范數(shù)殘量誤差在整體上是最小的。對于核心流,Landweber算法、SD算法以及XYLWB算法,范數(shù)殘量誤差均整體在0.5以下,明顯要比CG算法穩(wěn)定。對于柱狀流,XYLWB算法和SD算法在最開始擁有最小的范數(shù)殘量誤差,在第8步后XYLWB算法的范數(shù)殘量誤差逐漸接近于經(jīng)典Landweber算法。

綜合以上分析可知,采用該種修正隱式Landweber算法來進(jìn)行ECT圖像重建是一種值得考慮的算法。其在圖像重建的精度與速度上均有其優(yōu)勢。

4 結(jié)束語

本文針對ECT圖像重建中的病態(tài)性問題,提出一種修正隱式Landweber算法。給出了修正隱式Landweber算法在ECT圖像重建這一反問題中的求解公式,同時對該算法的收斂性進(jìn)行了分析。仿真實驗結(jié)果證明了該修正隱式Landweber算法是有效的。通過與LBP、經(jīng)典Landweber、CG以及SD算法的重建圖像、誤差率和迭代次數(shù)的對比,修正隱式Landweber算法顯示出了其自身精度和速度上的優(yōu)勢。該算法簡單、高效,是一種解決ECT圖像重建問題的有效算法。

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