曹 潔，馮 鋒，王進花

（蘭州理工大學 計算機通信學院，蘭州730050）

D-S證據(jù)理論是信息融合技術(shù)得以實現(xiàn)的重要工具，產(chǎn)生于20世紀60年代人們對多值映射工作的研究[1]。相對于概率論，它對證據(jù)的融合無需先驗知識，對信息的表達和處理更加有效，因而D-S證據(jù)理論被廣泛地應(yīng)用于信息融合領(lǐng)域中[2]。然而，在證據(jù)理論發(fā)展應(yīng)用的過程中，也遇到了諸如“一票否決”、“魯棒性差”、“信任度偏移”等問題。對此，研究人員從以下方法開展了研究：

第一類方法，Smarandache等人認為證據(jù)理論框架本身不合理，并對其進行修改，在超冪集的框架上構(gòu)建了DSmT理論。該理論處理不確定信息非常適宜，但對框架的修改難度很大。

第二類方法，許多學者將問題歸咎于Dempster組合規(guī)則歸一化運算，認為將沖突信度按比例分配給其他非空焦元并不合理，因而提出對Dempster組合規(guī)則進行修改[3-6]。

第三類方法，部分學者首先對Dempster組合規(guī)則給予肯定，認為合成結(jié)果有悖常理應(yīng)歸咎于數(shù)據(jù)模型的不合理性，因而提出在組合規(guī)則不變的情況下對證據(jù)源模型進行修改的方法[7-10]。

證據(jù)之間沖突程度的衡量是處理沖突的關(guān)鍵，常常被人們忽視。目前，對于衡量證據(jù)之間的沖突，尚未有統(tǒng)一的方法[11]。算例表明，用經(jīng)典沖突系數(shù)k表征沖突的大小，并不合理。文獻[12-13]提出，將Pignistic概率距離和k組合，構(gòu)成1個二元組用于表征證據(jù)之間的沖突程度，其效果優(yōu)于僅僅使用沖突系數(shù)k，然而由于證據(jù)是嵌套子集，如果證據(jù)條數(shù)＞2，則不能有效地判斷證據(jù)之間的沖突。文獻[14-15]利用Jousselme距離和沖突系數(shù)k的簡單平均來修正原始的沖突系數(shù)。文獻[16]用沖突系數(shù)和自定義的證據(jù)距離來描述證據(jù)之間的沖突，但是當存在相同證據(jù)時卻不能用這樣的表達式來描述它們之間的沖突程度。

針對上述問題，在此基于三角模算子定義了證據(jù)之間的相似度，計算得到了證據(jù)距離，并結(jié)合定義的證據(jù)馬氏距離及經(jīng)典沖突系數(shù)k，提出一種比較合理地衡量證據(jù)沖突的沖突系數(shù)。由此得到待組合證據(jù)體相應(yīng)的權(quán)重，采用序貫方式實現(xiàn)證據(jù)組合。

組合前利用折扣因子對待組合證據(jù)予以修正，經(jīng)Dempster組合規(guī)則融合后，利用信任系數(shù)對組合結(jié)果進行第2次修正，然后參與后續(xù)證據(jù)的組合。該組合方法摒棄了對傳統(tǒng)D-S證據(jù)理論模型框架的修改，使實現(xiàn)組合的難度大大降低。其實質(zhì)是對待組合證據(jù)體進行了預(yù)處理，并改變了傳統(tǒng)批量式的融合方式，并未對組合規(guī)則本身進行修正，保留了組合規(guī)則所滿足的交換律和結(jié)合律性質(zhì)。

1 D-S證據(jù)理論存在的問題分析

文獻[17]給出了D-S證據(jù)理論的基本概念。雖然證據(jù)理論在信息融合、故障診斷、智能決策等系統(tǒng)中已獲得廣泛運用，但是在實際應(yīng)用中也遇到了難題。在此舉例說明Dempster組合規(guī)則存在的不足。

1.1 高沖突證據(jù)組合問題

當k=1時，不能用Dempster組合規(guī)則進行融合，而當k→1時，對高沖突證據(jù)進行融合，將會產(chǎn)生有悖常理的結(jié)果。

例 1假定辨識框架 Θ=｛a，b，c｝，系統(tǒng) 2個證據(jù)為

證據(jù) 1：m1（a）=0.99，m1（b）=0.01

證據(jù) 2：m2（b）=0.01，m2（c）=0.99

證據(jù)m1和m2以0.99的信度值分別最大支持焦元a和c，而支持b的信度值只有0.01，但合成結(jié)果為 m（a）=m（c）=1，m（b）=0，融合結(jié)果有悖常理。同時，如果證據(jù)完全沖突，合成公式的分母為0，組合規(guī)則完全失效。

1.2 傳統(tǒng)沖突表示存在的問題

例 2 假定辨識框架 Θ=｛A，B，C，D，E｝，2 個證據(jù)的基本概率分配為

組合后的融合結(jié)果為

完全相同的證據(jù)體m1和m2沖突程度應(yīng)為0。但是，計算得到系數(shù)k=0.8，說明描述證據(jù)沖突程度僅僅依靠傳統(tǒng)沖突系數(shù)k，顯然并不合理。而利用文獻[14-16]所提沖突程度表達式在此計算沖突程度也不為0，據(jù)此可知其所提沖突系數(shù)并不全面。

1.3 引入三角模算子

分析經(jīng)典沖突系數(shù)k及以上兩例可知，僅利用焦元間的非包容性衡量證據(jù)間的沖突程度并不全面，證據(jù)之間的差異性也是衡量沖突程度必須考慮的重要因素。為了在描述證據(jù)沖突時利用證據(jù)之間的差異性，特引入三角模算子（triangular norm）[18]。

三角模算子是人工智能領(lǐng)域中的一種理論方法[19]，常依賴于模糊推理的思想，將單源決策映射到另一空間，通過比較來達到判決目的。三角模定義如下：

若映射 T（S1，S2），［0，1］*［0，1］→［0，1］，對?a，b，c，d∈［0，1］，滿足條件為

若 a≤b，c≤d 則 T（a，b）≤T（c，d）；

則映射T稱為三角模算子或三角模。幾種常見的三角模算子如下：

定義1假設(shè)m為識別框架Θ上的BPA函數(shù)，定義證據(jù)mi，mj之間的相似度為

定義2證據(jù)mi和mj之間的證據(jù)距離定義為

例3假定辨識框架Θ=｛a，b，c｝， 系統(tǒng)3個證據(jù)為

證據(jù) E1支持 a，E2和 E3支持 c，一般推斷 E2和E1的沖突要大于E2和E3，經(jīng)計算得到k12=0.71，d12=0.32；k23=0.52，d23=0.38（kij為第 i個和第 j個證據(jù)的沖突系數(shù)；dij為第i個和第j個證據(jù)的距離）。故根據(jù)沖突系數(shù)判斷E2和E1的沖突大于E2和E3，與分析一致，但按照距離來判斷卻會得到相反的結(jié)論，因此同樣不能單純利用證據(jù)距離來表征沖突程度。

2 基于新沖突系數(shù)的證據(jù)二次修正融合方法

2.1 新的沖突系數(shù)

為了更好地描述證據(jù)間的差異性，引入了馬氏距離[20]（Mahalanobis distance）。 馬氏距離有別于歐氏距離，由于考慮了各種特征之間的聯(lián)系且獨立于測量尺寸，用于計算2個未知樣本集的相似度非常有效，能夠避免變量相關(guān)性所造成的干擾。

第i，j兩個樣品之間的馬氏距離為

定義3假設(shè)m為識別空間U上的BPA函數(shù)，U→［0，1］，定義 mi和 mj之間的馬氏距離為

由上可知，沖突系數(shù)kij反映了證據(jù)之間的非包容性，而自定義證據(jù)距離 dBPA（mi，mj）及證據(jù)間的馬氏距離能夠反映證據(jù)間的差異性。鑒于此，為了充分利用兩者在某些情況下的互補性，提出新的證據(jù)沖突程度的表達式為

由式（7）可以看出，新的沖突系數(shù) kij′為 kij，dBPA（mi，mj）和三者共同作用的結(jié)果。只有當三者均為0時，才說明證據(jù)間無沖突，同時也只有當三者都較大時，才能判定證據(jù)之間存在較大的沖突，有效地抑制了單一要素對證據(jù)沖突判定造成的偏差。

2.2 改進組合規(guī)則的實現(xiàn)

2.2.1 證據(jù)權(quán)重系數(shù)

證據(jù)的權(quán)重系數(shù)是證據(jù)的“價值”體現(xiàn)，與其他證據(jù)沖突較小的證據(jù)為“多數(shù)證據(jù)”，有利于最終組合結(jié)果的正確合成，權(quán)重系數(shù)較大；與其他證據(jù)沖突較大的證據(jù)為“少數(shù)證據(jù)”，它們會使最終合成結(jié)果有悖常理，應(yīng)獲得較小的權(quán)重系數(shù)。在此定義了第 i個與第 j（ j≠i）個證據(jù)的矛盾因子 kij′后，令

證據(jù)沖突程度方陣的每一個元素由證據(jù)間的沖突程度構(gòu)成，于是n維沖突方陣為

將沖突方陣的第i行或第i列相加，可得到第i個證據(jù)與其他證據(jù)的總沖突程度，即：

設(shè)有n個待組合的證據(jù)體mi，各自所對應(yīng)的總沖突度為confi，每個證據(jù)體對應(yīng)的權(quán)重為[21]

式中：α為負指數(shù)函數(shù)參數(shù)。

2.2.2 證據(jù)的二次修正

關(guān)鍵證據(jù)的權(quán)重系數(shù)最大，其權(quán)重系數(shù)為

得到的各證據(jù)相對權(quán)重向量為

于是得到證據(jù)mass函數(shù)的“折扣因子”為

根據(jù)“折扣因子”對證據(jù)體進行第1次修正：

修正后的證據(jù)利用D-S規(guī)則進行合成。

定義4證據(jù)mi和mj之間融合的信任系數(shù)定義為

假設(shè)證據(jù) mi和 mj融合后的結(jié)果為 mij（X），則第2次修正的結(jié)果為

將修正的融合結(jié)果Mij′（X）和新證據(jù)重復上述融合與再修正，后續(xù)融合依此類推。融合過程類似于哈夫曼編碼，由于采用序貫式融合，無需再對證據(jù)進行排序。 假設(shè)有 5 個證據(jù) m1，m2，m3，m4，m5，計算得到對應(yīng)的“折扣因子”為 α1，α2，α3，α4，α5，證據(jù)的二次修正過程如圖1所示。

圖1 證據(jù)的二次修正組合過程Fig.1 Secondary correction combination process of evidence

采用上述改進方法進行證據(jù)組合的步驟歸納如下：

步驟1融合系統(tǒng)（傳感器）收集到n個證據(jù)，計算兩兩間的證據(jù)相似度；

步驟2計算兩兩間的證據(jù)距離，并得到新的沖突系數(shù)；

步驟3構(gòu)造沖突方陣并分別計算各個證據(jù)的權(quán)重系數(shù)、折扣因子及衡量各步融合結(jié)果的信任系數(shù)；

步驟4采用序貫式進行證據(jù)二次修正組合，得到最終組合結(jié)果。

3 算例分析

3.1 試驗1—新沖突衡量指標有效性驗證

1）根據(jù)所提的沖突系數(shù)計算例1中所給證據(jù)體的沖突，由于證據(jù)m1最大支持焦元a，證據(jù)m2最大支持焦元c，2條證據(jù)之間存在較大沖突，由上述計算公式計算得到：

則新的沖突系數(shù)為

例1中，2組證據(jù)的沖突非常高，新沖突系數(shù)亦能準確反映出來。

2）根據(jù)所提出的沖突系數(shù)計算例2中所給證據(jù)體的沖突：

則新的沖突系數(shù)為

例2中，2組證據(jù)完全一致，因此證據(jù)間沖突程度應(yīng)為0，所提方法計算結(jié)果并不為0，但相比經(jīng)典沖突系數(shù)更加切合實際。由此可知所提出的沖突系數(shù)能夠較好地反映證據(jù)間的沖突程度。

3.2 試驗2—多源數(shù)據(jù)融合對比

以文獻[23]給出的4個證據(jù)為例，將傳統(tǒng)D-S組合方法及典型的幾種修改方法的組合結(jié)果進行對比，從而驗證所提方法的有效性。

假設(shè)辨識框架 Θ=｛A：民航機，B：轟炸機，C：戰(zhàn)斗機｝，利用開發(fā)的軟件仿真產(chǎn)生4組傳感器數(shù)據(jù)，從而構(gòu)成4個不同的證據(jù)體，即

將這 4 個證據(jù)分別用 Dempster，Yager，Murphy，文獻[3]，文獻[22]，文獻[23]和本文提出的二次修正組合方法進行融合，結(jié)果如表1所示。

表1 多信息源融合結(jié)果Tab.1 Fusion results of multiple information sources

由表1可知，D-S組合規(guī)則無法有效地處理存在高沖突的證據(jù)，若存在支持度為0的證據(jù)體，則證據(jù)合成結(jié)果始終是0，而不依賴其他證據(jù)對該命題有多大的支持概率，即該組合規(guī)則存在“一票否決”的弊端而得出錯誤結(jié)論。

Yager的結(jié)果與D-S組合規(guī)則類似，并未克服“一票否決”的弊端，它將導致證據(jù)沖突的那部分信度值完全轉(zhuǎn)移給Θ，證據(jù)數(shù)量的擴大也導致了未知項m（Θ）增大，從而增加了組合結(jié)果的不確定性。

Murphy平均方法的不足在于忽略了證據(jù)之間的相關(guān)性，雖然也能夠正確識別目標A，由于它僅通過對證據(jù)簡單平均來抵消證據(jù)2中 “壞值”0的影響，在系統(tǒng)收集到4個證據(jù)時才識別出目標A，所以收斂速度較慢。

本文提出的二次修正組合方法采用序貫方式實現(xiàn)證據(jù)組合，分別對組合前的證據(jù)及各步組合結(jié)果進行修正，有效地抑制了“壞證據(jù)”對系統(tǒng)最終融合結(jié)果的影響，提高了融合結(jié)果的準確性，避免了由于D-S融合方法改進而導致運算量的增加，使得整體的融合過程具有較小的計算量。

4 結(jié)語

信息融合系統(tǒng)，由于受到人為或自然環(huán)境等因素的干擾，使得收集到的證據(jù)之間常常存在較大沖突，這時傳統(tǒng)的Dempster組合規(guī)則失效，無法得到令人滿意且合理的融合結(jié)論，同時經(jīng)典沖突系數(shù)對證據(jù)沖突的描述也并不合理。鑒于此，基于三角模算子及馬氏距離，同時考慮證據(jù)間的非包容性和差異性，提出了新的沖突表示方法，從而有效地度量證據(jù)之間的沖突程度。然后，基于新的沖突表示方法提出了一種新的沖突信息融合方法，實現(xiàn)了融合過程的二次修正，在系統(tǒng)存在高沖突證據(jù)時仍能獲得正確結(jié)論，且收斂速度快，計算量小。

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