計(jì)三有，楊宗儒，吳銳鵬

（武漢理工大學(xué) 物流工程學(xué)院，武漢 430063）

集裝箱門式起重機(jī)是目前全球大型的專業(yè)化集裝箱碼頭堆場的通用裝卸設(shè)備，主要分為輪胎式集裝箱門式起重機(jī)RTG （rubber tired container gantry crane）和軌道式集裝箱門式起重機(jī)RMG（rail mounted container gantry crane）兩大類，都可以裝卸搬運(yùn)標(biāo)準(zhǔn)集裝箱[1]。當(dāng)小車或大車運(yùn)行時(shí)，集裝箱門式起重機(jī)的起吊貨物（吊具和集裝箱）會(huì)產(chǎn)生相對于豎直中心線的晃動(dòng)，操作人員在消除擺動(dòng)和精確對位上需要浪費(fèi)更多的時(shí)間，從而造成裝卸作業(yè)效率降低，甚至引起安全事故，因此需要相應(yīng)的防搖控制系統(tǒng)或裝置來抑制或消除這種不利擺角。

集裝箱門式起重機(jī)的吊重偏擺防搖技術(shù)主要有機(jī)械式防搖、液壓式防搖、機(jī)械電子式防搖以及智能電子式防搖幾種，按照控制對象的不同又可以分為主動(dòng)控制和被動(dòng)控制[2]。本文運(yùn)用現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)反饋控制，將研究對象系統(tǒng)用狀態(tài)空間進(jìn)行描述，利用所有狀態(tài)變量信息通過反饋增益網(wǎng)絡(luò)輸送至系統(tǒng)的輸入端，形成閉環(huán)反饋控制，達(dá)到防搖的目的。同時(shí)建立數(shù)學(xué)模型，利用計(jì)算機(jī)仿真小車吊重系統(tǒng)的偏擺控制系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，以驗(yàn)證控制系統(tǒng)的有效性和實(shí)用性。

1 集裝箱門式起重機(jī)吊重系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 吊重系統(tǒng)的模型建立

對起重機(jī)吊重偏擺的分析可以看出，當(dāng)小車或者大車在起動(dòng)或者制動(dòng)過程中，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，使得通過柔性鋼絲繩的貨物即使不考慮外界干擾或風(fēng)阻力的影響，只在慣性力的作用下也會(huì)發(fā)生小幅的球狀面運(yùn)動(dòng)；當(dāng)大車不動(dòng)只有小車運(yùn)行時(shí)，吊重會(huì)在小車運(yùn)行的豎直平面內(nèi)偏擺，這種擺動(dòng)近似單擺[3]。分析吊重的偏擺運(yùn)動(dòng)所采用的起重機(jī)運(yùn)動(dòng)簡化模型如圖1所示。

圖1 集裝箱門式起重機(jī)吊重系統(tǒng)空間模型Fig.1 Space model of hoisting system of container gantry crane trolley

集裝箱門式起重機(jī)防搖實(shí)質(zhì)就是控制吊重相對于豎直線的擺動(dòng)角度在較小的范圍內(nèi)。集裝箱門式起重機(jī)的作業(yè)系統(tǒng)是典型的非線性多變量耦合系統(tǒng)，大小車的運(yùn)行速率、起升高度的變化、風(fēng)阻力摩擦阻力的影響等都會(huì)影響系統(tǒng)的工作性能。因此，需要建立一個(gè)相當(dāng)精確的數(shù)學(xué)模型，為了研究方便，在滿足實(shí)際需求的前提下忽略一些次要因素，對實(shí)際模型進(jìn)行合理的假設(shè)和簡化：①不考慮空氣和風(fēng)阻力；②考慮集裝箱門式起重機(jī)小車與吊具之間采用的是四吊點(diǎn)聯(lián)結(jié)的形式，忽略吊重水平面的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，那么四吊點(diǎn)與單吊點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是相同的，所以可以將起重小車和吊具與貨物都簡化為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；③忽略滑輪和鋼絲繩的質(zhì)量，不計(jì)鋼絲繩受力后的變形；④假設(shè)車輪與軌道的摩擦阻力與小車位置的一階微分即小車速度成線性比例關(guān)系[4]；⑤忽略起升高度的變化，即繩長恒定不變；⑥只計(jì)吊重在橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的擺角；⑦不考慮小車驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的影響，認(rèn)為輸出力矩直接控制小車驅(qū)動(dòng)力。

假設(shè)小車和吊重的質(zhì)量分別為M和m，繩長為l，擺角為θ，小車沿x軸方向的驅(qū)動(dòng)力為Fx，大車沿y軸方向的驅(qū)動(dòng)力為Fy，x為小車相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的水平位置。

建立空間坐標(biāo)系xyz，3個(gè)坐標(biāo)軸分別表示小車運(yùn)行方向、大車運(yùn)行方向和吊重升降方向，α為吊重在豎直方向的擺角在xoz面內(nèi)的投影，反映了吊重在xoz面內(nèi)的擺動(dòng)幅度，β為吊重在豎直方向的擺角在yoz面內(nèi)的投影，反映了吊重在yoz面內(nèi)的擺動(dòng)幅度，θ為吊重相對于豎直線的擺角。

小車的質(zhì)心坐標(biāo)表示為（xM，yM，zM），吊重的質(zhì)心坐標(biāo)表示為（xm，ym，zm），則：

小車的速度分量為

吊重的速度分量為

取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為（x，y，α， β），小車車輪與軌道之間的摩擦系數(shù)為μx，大車車輪與軌道之間的摩擦系數(shù)為 μy，則系統(tǒng)的廣義力為（Fx，F(xiàn)y，0，0），系統(tǒng)的拉格朗日方程為

假定集裝箱門式起重機(jī)起升機(jī)構(gòu)卷筒制動(dòng)，鋼絲繩的長度記為常數(shù)，則可得系統(tǒng)的一個(gè)簡化條件為

系統(tǒng)的動(dòng)能為

選取小車運(yùn)行平面為系統(tǒng)的零勢能面，則系統(tǒng)勢能為

為了保證吊重運(yùn)輸?shù)陌踩?，大小車的運(yùn)行速度加速度都會(huì)受到限制，使得吊重實(shí)際的擺角非常小接近于0，為了找出吊重?cái)[角的影響因素，需要對非線性系統(tǒng)進(jìn)行必要的線性化處理，將微分方程中的高階部分影響因素忽略，主要考慮低階線性部分的影響，得到簡化后的起重機(jī)吊重系統(tǒng)的線性動(dòng)力學(xué)模型為

觀察可知大車和小車對吊重?cái)[動(dòng)的影響是相互獨(dú)立的，所以θ是相互獨(dú)立的擺角α與β的復(fù)合，吊重實(shí)際的微小球裝面運(yùn)動(dòng)是分別在大小車運(yùn)行方向上做單擺運(yùn)動(dòng)的合成，從而集裝箱門式起重機(jī)的空間三維模型可以簡化為平面二維模型來處理，如圖2所示。

同理可得到系統(tǒng)的平面數(shù)學(xué)模型為

1.2 吊重系統(tǒng)的狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)

線性微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間來研究系統(tǒng)的內(nèi)部特征，可以得到系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)特性。選取小車的位移x，小車的速度x˙，吊重的擺角θ，吊重的擺動(dòng)角速度θ˙作為狀態(tài)變量，傳遞矩陣D為0，則可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為

傳遞函數(shù)和微分是相互對應(yīng)的，對微分方程作拉普拉斯變換得到的傳遞函數(shù)是動(dòng)力學(xué)仿真和分析常用的一種數(shù)學(xué)模型。對系統(tǒng)的線性定常微分方程進(jìn)行變換為

可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

可以看出集裝箱門式起重機(jī)小車吊重系統(tǒng)是一個(gè)以小車驅(qū)動(dòng)力為輸入，小車位置和吊重?cái)[角為輸出的單輸入雙輸出系統(tǒng)。

2 基于Simulink的集裝箱門式起重機(jī)吊重系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)仿真及偏擺控制的設(shè)計(jì)

2.1 小車吊重系統(tǒng)的仿真分析

對前述的吊重系統(tǒng)二維模型進(jìn)行整理變形可以得到：

仿真分為小車起動(dòng)至停止階段和小車制動(dòng)后吊重的擺動(dòng)階段兩個(gè)部分。其中第一階段不考慮鋼絲繩阻尼的作用。為了進(jìn)行仿真結(jié)果的比較，設(shè)定工況 1（m=25 t，l=10 m）、工況 2（m=25 t，l=5 m）、工況3（m=12.5 t，l=5 m）。起停階段仿真時(shí)間設(shè)置為12 s，驅(qū)動(dòng)加速8 s，制動(dòng)4 s。在Simulink中輸入信號選擇Stair Generator，從Scope模塊中獲得動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，并根據(jù)微分方程組的系數(shù)添加對應(yīng)的增益Gain和積分模塊Integrator，在Simulink中連接各仿真模塊可以得到如圖3～圖6曲線，同理可以仿真得到第二階段的擺角與角速度在時(shí)域內(nèi)的曲線，如圖7、圖8所示。

圖3 小車位移-時(shí)間曲線Fig.3 Displacement-time curve of trolley

圖4 小車速度-時(shí)間曲線Fig.4 Speed-time curve of trolley

圖5 吊重的擺角-時(shí)間曲線Fig.5 Swing angle-time curve of hoisting

圖6 吊重的角速度-時(shí)間曲線Fig.6 Angular velocity-time curve of hoisting

圖7 吊重?cái)[角-時(shí)間曲線Fig.7 Swing angle-time curve of hoisting

圖8 吊重角速度-時(shí)間曲線Fig.8 Angular velocity-time curve of hoisting

綜合兩個(gè)階段的仿真分析，小車在加速運(yùn)動(dòng)和制動(dòng)階段，吊重的最大擺角達(dá)到了0.2 rad即11°左右，擺動(dòng)相對明顯，且大的擺角都出現(xiàn)在制動(dòng)階段，驗(yàn)證了仿真所得到的結(jié)論，制動(dòng)階段才是防搖的重點(diǎn)。而實(shí)際吊重在沒有任何控制裝置作用下，自行衰減到零的速度非常緩慢，消擺的時(shí)間都在2 min以上。小車的啟制動(dòng)即加減速階段是吊重偏擺的主導(dǎo)因素。

仿真得到的結(jié)果與實(shí)際的數(shù)據(jù)之間會(huì)有一些誤差存在，通過對建模階段的合理性假設(shè)的分析可以看出，由于建模時(shí)忽略了一些實(shí)際中的影響因素例如摩擦接觸風(fēng)阻力等對吊重系統(tǒng)的影響，因此產(chǎn)生一些誤差是完全合理和可以接受的。仿真模型具備較高的精確度，所建立的數(shù)學(xué)模型很接近實(shí)際情況。

2.2 集裝箱門式起重機(jī)偏擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

對于集裝箱門式起重機(jī)所建立和簡化的線性定常系統(tǒng)設(shè)置狀態(tài)反饋控制，通過參考輸入的控制和狀態(tài)變量的反饋?zhàn)饔?，達(dá)到防搖控制的目的[5]。最常用的就是通過控制小車驅(qū)動(dòng)電機(jī)，間接控制小車驅(qū)動(dòng)力、小車位置、小車速度、吊重?cái)[角和擺動(dòng)角速度等狀態(tài)變量，完成對小車在規(guī)定時(shí)間內(nèi)消除擺動(dòng)的目標(biāo)，本文選擇控制電壓為控制輸入。閉環(huán)反饋仿真框圖如9所示。

圖9 閉環(huán)反饋仿真框圖Fig.9 Closed loop feedback simulation block diagram

在Simulink中進(jìn)行仿真可以得到吊重?cái)[角、角速度與時(shí)間的曲線如圖10、圖11所示。

從仿真的各變量動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線可以看出，在小車達(dá)到目標(biāo)位置停止穩(wěn)定時(shí)，調(diào)節(jié)10 s結(jié)束后，吊重的擺角和角速度都衰減為零，吊重不再擺動(dòng)，小車也不再受驅(qū)動(dòng)力的控制。顯示了閉環(huán)控制良好的抑制吊重?cái)[角的效果。吊重的擺角在整個(gè)響應(yīng)過程有很好的阻尼特性，同時(shí)幾乎沒有超調(diào)量。

圖10 吊重?cái)[角-時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.10 Response curve of hoisting swing angle-time

圖11 吊重?cái)[動(dòng)角速度-時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.11 Response curve of hoisting angular velocity-time

3 結(jié)語

通過建立基于廣義坐標(biāo)下的拉格朗日建模法的集裝箱門式起重機(jī)小車吊重系統(tǒng)的空間數(shù)學(xué)模型，使用Matlab/Simulink軟件分別對集裝箱門式起重機(jī)小車起停階段和小車停止后的吊重?cái)[動(dòng)階段的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了仿真，掌握了影響吊重?cái)[角的因素和吊重的擺動(dòng)規(guī)律，得到的仿真結(jié)果比較符合實(shí)際情況，驗(yàn)證了所建模型的精確性。論文還對集裝箱門式起重機(jī)偏擺的狀態(tài)反饋控制進(jìn)行仿真驗(yàn)證，為同類起重機(jī)的偏擺控制提供借鑒和參考。

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