孫曉玲

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

1 引言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是研究隨機變量統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科。該課程有嚴(yán)密的理論體系，其結(jié)論和方法有很強的應(yīng)用性，在生產(chǎn)實踐、經(jīng)濟(jì)管理和社會生活中有眾多的應(yīng)用案例。本課程的理論和方法與數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機科學(xué)的諸多分支都有密切的聯(lián)系，在培養(yǎng)大學(xué)生綜合素養(yǎng)方面發(fā)揮著重要的作用[1-3]。

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，學(xué)習(xí)早已超越課堂，已經(jīng)成為可以隨時、隨地發(fā)生的終生行為。為了適應(yīng)人們能夠利用碎片時間隨時隨地學(xué)習(xí)需求，“微課”應(yīng)運而生了。“微課”是指在較短時間內(nèi)，有明確的教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容短小，集中說明一個問題的小課程。微課的興起與發(fā)展源于網(wǎng)絡(luò)教育的迅猛發(fā)展，它的出現(xiàn)滿足了人們個性化學(xué)習(xí)、按需選擇學(xué)習(xí)的愿望，既可查缺補漏又能強化鞏固知識，是課堂學(xué)習(xí)的重要補充和拓展[4-7]。

由于微課需要在10到15分鐘以內(nèi)完成傳統(tǒng)課堂1到2節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，這就要求微課制作者合理設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，在課程中引入新的教學(xué)方法、教學(xué)手段和教學(xué)理念。本文根據(jù)全國首屆(2015)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計競賽中的微課教學(xué)案例“小李的選擇”來闡述概率論與數(shù)理統(tǒng)計中期望和方差在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用步驟和方法。

2 應(yīng)用實例

2.1 教學(xué)內(nèi)容分析

要全面的掌握隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，必須了解這個隨機變量的分布函數(shù)。但在實際問題中，要求得隨機變量的分布函數(shù)往往很困難，也沒有必要。通常只需要了解到隨機變量的幾個數(shù)量指標(biāo)即可，這些數(shù)量指標(biāo)就是隨機變量的數(shù)字特征。期望和方差是概率分布中最重要、最常用的數(shù)字特征，它們在金融決策中發(fā)揮著重要的作用。這里將以微課教學(xué)案例“小李的選擇”為例說明期望與方差在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用步驟和方法。

2.2 教學(xué)案例—“小李的選擇”

問題背景小李有30萬元想購買理財產(chǎn)品，若存銀行，一年可獲得利息收益9300元，為了保值增值，小李更傾向于購買具有較高收益的理財產(chǎn)品。對工作人員推薦的產(chǎn)品A，B，C，小李讓業(yè)內(nèi)朋友幫忙分析獲得了三種理財產(chǎn)品的盈虧分析。業(yè)內(nèi)朋友幫小李繪制了一年后三種產(chǎn)品獲得收益的情況如下圖1、圖2、圖3所示：

圖1 理財產(chǎn)品A的預(yù)期收益

圖2 理財產(chǎn)品B的預(yù)期收益

圖3 理財產(chǎn)品C的預(yù)期收益

問題提出看到上圖，小李感到很困惑，還是不知該如何選擇，接下來就討論能否利用期望和方差的知識幫助小李做出合理的選擇。根據(jù)討論的結(jié)果可以引出期望和方差的概念，也能讓學(xué)生切實感受到期望和方差概念的應(yīng)用。

問題分析在幫助小李做出選擇之前需要明確理財產(chǎn)品的選擇標(biāo)準(zhǔn)。小李之所以選擇購買理財產(chǎn)品是因為其相對于其它理財方式所具有的高收益。因此，可將高收益作為購買理財產(chǎn)品的一個選擇標(biāo)準(zhǔn)。但是鑒于理財市場經(jīng)常流行一句話“高收益、高風(fēng)險”，小李還想在保證一定收益的情況下盡量降低風(fēng)險。因此，還需要考慮另外一個選擇標(biāo)準(zhǔn)：低風(fēng)險。

確定好了高收益，低風(fēng)險這兩個選擇標(biāo)準(zhǔn)之后，小李又面臨了另一個問題，由于理財產(chǎn)品的收益都具有不確定性，確定了選擇標(biāo)準(zhǔn)后又該如何量化預(yù)期收益呢？下面就分別以高收益，低風(fēng)險作為選擇標(biāo)準(zhǔn)來量化各個理財產(chǎn)品的預(yù)期收益從而幫助小李做出選擇。

2.2.1 問題解決：選擇標(biāo)準(zhǔn)1：高收益

由于收益具有不確定性，因此可以用隨機變量表示收益，將這三種產(chǎn)品一年后的收益分別記為隨機變量X，Y，Z。顯然，它們都是一維離散型隨機變量。從上面的柱狀分析圖可以分別看出三種理財產(chǎn)品的預(yù)期收益X，Y，Z的概率分布分別如表1、2、3所示：

表1 預(yù)期收益X的概率分布

表2 預(yù)期收益Y的概率分布

表3 預(yù)期收益Z的概率分布

由于理財產(chǎn)品收益取值有多個，僅僅了解了預(yù)期收益的概率分布還是不能確切知道一年后各產(chǎn)品的具體收益，因此可以用數(shù)學(xué)期望來代表這個預(yù)期收益。數(shù)學(xué)期望是隨機變量的數(shù)字特征之一，它表示隨機變量取值的平均水平。離散相隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義如下所示：

數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)以概率為權(quán)值對隨機變量取值的加權(quán)平均，即隨機變量取值的均值。

可以根據(jù)理財產(chǎn)品A，B，C預(yù)期收益的概率分布數(shù)據(jù)，再利用Excel軟件中的SUMPRODUCT(A1:G1*A2:G2)函數(shù)計算出X,Y,Z的數(shù)學(xué)期望，如表4所示：

表4 預(yù)期收益的數(shù)學(xué)期望

利用Excel現(xiàn)場演示計算不僅能夠省去傳統(tǒng)課堂黑板書寫演示的時間，還能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)軟件對學(xué)習(xí)的強大輔助作用。從表中容易看出，若以期望收益最大為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選擇，小李應(yīng)該選擇平均收益最大的產(chǎn)品B。但是在這種風(fēng)險投資中，高收益往往伴隨著高風(fēng)險，風(fēng)險投資者們進(jìn)行投資，必然要關(guān)注被投資項目的風(fēng)險是不是在他可接受的范圍之內(nèi)。若風(fēng)險超出了他能承受的范圍，即使預(yù)期收益再高投資者也很可能不會冒大的風(fēng)險進(jìn)行投資。因此下面還需要考慮第二個選擇標(biāo)準(zhǔn)：低風(fēng)險，由此可引出方差的概念。

2.2.2 問題解決選擇標(biāo)準(zhǔn)2：低風(fēng)險

如何評估風(fēng)險？

在某一特定環(huán)境下，在某一特定時間內(nèi)，經(jīng)濟(jì)學(xué)中度量收益不確定性的指標(biāo)，可用方差進(jìn)行度量。方差是用來度量隨機變量和其數(shù)學(xué)期望(即均值)之間的偏離程度，定義如下：

方差的本質(zhì)方差是用來度量隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望之間的平均偏離程度的量，方差越小，則隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度越小，隨機變量的取值就越集中在期望值附近。

方差的概念與生活密切關(guān)聯(lián)。在風(fēng)險決策、經(jīng)濟(jì)決策、證券投資、效益評估、產(chǎn)品質(zhì)量評估等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

要利用方差幫小李按照第二個選擇標(biāo)準(zhǔn)：低風(fēng)險進(jìn)行選擇，可根據(jù)三種理財產(chǎn)品的預(yù)期收益X，Y，Z的概率分布表以及相應(yīng)數(shù)學(xué)期望值數(shù)據(jù)，再應(yīng)用Excel軟件中的SUMPRODUCT(((A1:G1)-H1)^2*A2:G2)函數(shù)計算得到下面的表5：

表5 預(yù)期收益的方差

從表5可以看出若以低風(fēng)險作為理財產(chǎn)品的選擇標(biāo)準(zhǔn)，顯然要選擇產(chǎn)品C，而若以高收益為選擇標(biāo)準(zhǔn)的話顯然要選產(chǎn)品B，那么到底該如何抉擇呢？為了讓投資更加穩(wěn)妥，下面將兩個選擇標(biāo)準(zhǔn)綜合考慮進(jìn)行決策。

3 綜合決策

為了選擇收益最高、風(fēng)險最低的產(chǎn)品，不妨以產(chǎn)品C的收益和風(fēng)險為量綱來評估風(fēng)險。

表6 風(fēng)險評估表

從表6可以看出，與產(chǎn)品C相比，產(chǎn)品A收益增加35%，風(fēng)險增加更多，達(dá)到95.4%。而產(chǎn)品B與C相比，收益增加45%，風(fēng)險卻只增加13.5%，收益增幅高于風(fēng)險增幅，綜合考慮，可以建議小李選擇產(chǎn)品B。

若選擇的對象更多，數(shù)據(jù)量更大，可以將上面的選擇過程進(jìn)一步量化?？蓪⑸媳碇械氖找嬖龇c風(fēng)險增幅相除，得到一個評判數(shù)據(jù)，則表6可以變?yōu)橐韵卤?形式：

表7 綜合評估表

從比值來看，產(chǎn)品B具有明顯優(yōu)勢，因此建議小李選擇產(chǎn)品B。

小結(jié)利用期望和方差進(jìn)行綜合決策，可以首先根據(jù)數(shù)學(xué)期望估算出一個相對平均的收益值，為決策提供一個具體的數(shù)據(jù)依據(jù)，雖不是完全準(zhǔn)確，但可以為決策提供一個具體的方向。方差可以反映數(shù)據(jù)的波動水平，有利于幫助人們得出相對準(zhǔn)確的判斷和正確的抉擇。

綜合來看，應(yīng)用數(shù)學(xué)期望和方差進(jìn)行綜合決策的步驟有以下幾步：

步驟1引入隨機變量，表達(dá)不確定性問題；

步驟2應(yīng)用數(shù)學(xué)期望，獲得預(yù)期目標(biāo)；

步驟3應(yīng)用方差，評估獲得預(yù)期目標(biāo)的風(fēng)險；

步驟4綜合考慮，合理決策。

4 結(jié)束語

由于在平時個人消費、求職、投資、企業(yè)營銷方案等日常生活和經(jīng)濟(jì)活動中，經(jīng)常需要對各種遇到的情況和可能做出決策，以便以最合理有利的方式采取行動。由于決策經(jīng)常受到隨機因素的影響，因此決策常帶有一定的風(fēng)險。為了盡可能的規(guī)避風(fēng)險，人們常將數(shù)學(xué)期望和方差作為綜合決策參考的重要依據(jù)。文中給出的微課案例不僅能夠讓學(xué)生學(xué)習(xí)到期望和方差的概念，還能讓學(xué)生了解到期望和方差在經(jīng)濟(jì)決策方面的應(yīng)用。當(dāng)決策問題較為復(fù)雜，數(shù)據(jù)量較大時，基于期望和方差的綜合決策方法可以為決策者提供較有力的參考工具，并獲得較大的經(jīng)濟(jì)效益及社會效益。

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