楊 劉

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230061)

1 引言

本文研究如下含p-Laplacian算子常微分方程多點邊值問題

(φp(x′(t)))′+f(t,x(t))=0,

0

(1.1)

(1.2)

正解的存在性，其中

φp(s)=|s|p-2s,p>1,(φp)-1=φq,1/p+1/q=1,1≤k≤s≤m-2,αi,βi∈(0,).

文中我們假設(shè)下述條件成立：

0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1.

(H2)f∈C([0,1]×

具p-Laplace算子的常微分方程邊值問題廣泛出現(xiàn)在多孔介質(zhì)中氣體的湍流理論、非牛頓流體理論等問題中，對這一問題的研究有深刻的應(yīng)用背景. 借助于非線性泛函方法，對此類問題正解與多個正解的存在性的研究取得了豐富的結(jié)果[1,2,3].

Wang youyu, Ge weigao[4]利用錐拉伸錐壓縮不動點定理得到了二階多點邊值問題

(φp(u′(t)))′+a(t)f(t,u(t),u′(t))

=0,t∈(0,1)

正解的存在性結(jié)論.

Xu fuyi[5]利用范數(shù)形式的錐拉伸錐定理壓縮不動點定理證明了含p-Laplace算子二階微分方程邊值問題

(φp(u′(t)))′+f(t,u(t))=0,0

正解的存在性.

為了在證明過程中用到解的凹性，上述文獻都假設(shè)問題的非線性項f非負.目前，關(guān)于具有變號非線性項p-Laplace算子邊值問題正解的研究還比較少.本文利用雙錐上不動點定理，在非線性項變號的情況下，證明邊值問題(1.1,1.2)正解的存在性，推廣了已有文獻的結(jié)果.

設(shè)K是Banach空間X上的一個錐.設(shè)r>0是一個常數(shù),令

Kr={x∈K:‖x‖

設(shè)α:K→R+是非負連續(xù)的增泛函,即α是連續(xù)的且對λ∈(0,1),α(λx)≤λα(x).令

K(b)={x∈K:α(x)

引理1.1[6]設(shè)K,K′是Banach空間X上的兩個錐,且K′?K.設(shè)T:K→K和T′:K′→K′是兩個全連續(xù)算子.α:K′→R+是一個非負連續(xù)的增泛函.若存在常數(shù)b>a>0使得下列條件滿足:

(C1) 對x∈?Ka,‖Tx‖

(C2) 對x∈?Ka′,‖T′x‖b;

則算子T在K中至少有兩個不動點x1,x2使得

0≤‖x1‖

2 主要結(jié)論

引理2.1[5]設(shè)f(t,x(t))∈C([0,1]×R,R),邊值問題

(φp(x′(t)))′+f(t,x(t))=0,0

有唯一解

其中

K={x∈X:x(t)≥0,t∈[0,1]},K′={x∈X:u(t)∈K,x(t)在 [0,1]上是凹的}.

顯然，K,K′是X中的兩個錐，且K′?K.

記正常數(shù)

引理2.2設(shè)非負函數(shù)x(t)滿足邊值條件(1.2),且滿足x′′(t)<0,t∈[0,1],則有x(t)在[0,1]上單調(diào)遞減且

x(t)≥γ||x(t)||,t∈[0,1],

對x∈K,定義算子

對x∈K′,定義

(T′x)(t)=

其中(B)+=max{B,0}.對x∈K,定義θ:X→K,(θx)(t)=max{x(t),0}.

定理1設(shè)條件(H1),(H2)成立，且存在常數(shù)a,b,d>0使得0

(H3)f(t,x)≥0,(t,x)∈[0,1]×[d,b];

則邊值問題 (1.1),(1.2)至少有兩個正解并滿足

0<‖x1‖

證明對u∈?Ka,由條件(H4),

||Tx||=

則T不動點x1滿足0

(Ax1)(t)<0=x1(t),t∈(t1,t2).

由條件(H2),[t1,t2]≠[0,1]. 以下分兩種情況：

對u∈?K′(δb),有δb≤u(t)≤b,由條件 (H5)，有

μ(T′(x))=

x(t)≥‖x‖>γa>d,t∈[0,1],

0<‖x1‖

3 例子

考慮如下三點邊值問題

φ1.5(x′)′+f(t,x)=0,0

(4.1)

(4.2)

其中

f(t,x)=

取d=1,a=11,b=45 經(jīng)計算得

f滿足f(t,0)>0,t∈[0,1]且

當(dāng)(t,x)∈[0,1]×[1,45]時，f(t,x)≥0;

定理1的條件均成立，邊值問題(4.1),(4.2)至少存在兩個對稱正解且滿足.

0<‖x1‖<11≤‖x2‖,μ(x2)<15.

[1] R. P. Agarwal et. al,Eigenvalues and the one-dimensionalp-Laplacian[J]. J. Math. Anal. Appl. 266(2002): 383-400.

[2] R. P. Agarwal, D. O′Regan,Twin solutions to singular Dirichlet problems, J. Math. Anal. Appl. 240 (1999) 433-445.

[3] Z. Bai, Y. Wang, W. Ge, Triple positive solutions for a class of two-point boundary value problems, Electron. J.Differential Equations 06 (2004) 1-8.

[4] Y. Wang, W. Ge, Positive solutions for multipoint boundary value problems with a one-dimensionalp-Laplacian[J]. Nonlinear Anal., 66 (2007) 1246-1256.

[5] F. Xu, Positive solutions for multipoint boundary value problems with one-dimensionalp-Laplacian operator [J]}, Appl. Math. Comput., 194 (2007) 366-380.

[6] 郭彥平，葛渭高，董士杰，具有變號非線性項的二階三點邊值問題的兩個正解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2004(3) 522-529.