張少林

【摘要】數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中非常重要的一部分.事實(shí)上，數(shù)學(xué)證明就是對(duì)一些命題的真假性進(jìn)行判斷，這些命題涉及幾何方面的和代數(shù)方面的.但不管是哪方面的命題，其證明的過(guò)程都具有相似性.數(shù)學(xué)證明有論證命題、理解命題、發(fā)現(xiàn)命題的功能和作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)證明；論證命題；理解命題；發(fā)現(xiàn)命題

一、數(shù)學(xué)證明的由來(lái)

數(shù)學(xué)證明始于公元前6世紀(jì)，據(jù)一些文獻(xiàn)考證，希臘哲學(xué)家泰勒斯是擁有一些演繹幾何學(xué)定理發(fā)明權(quán)的第一人，一般認(rèn)為，他對(duì)的一些命題作了相應(yīng)的證明.

如，1.圓被任何直徑二等分；2.等腰三角形兩底角相等；3.兩直線相交，其對(duì)頂角相等；4.兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；5.內(nèi)接于半圓的角是直角.

從一個(gè)比較基本的事實(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)較簡(jiǎn)單的演繹推理，得到所要求的結(jié)果.這種幾何學(xué)被稱為論證（或者演繹的、系統(tǒng)的）幾何學(xué).到了公元前4世紀(jì)，歐幾里得在其《幾何原本》中，從一些基本定義與公理、公設(shè)出發(fā)，以合乎邏輯的演繹方法推導(dǎo)出很多定理，從而奠定了數(shù)學(xué)證明的模式.

二、數(shù)學(xué)證明的定義

數(shù)學(xué)作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求.數(shù)學(xué)研究的對(duì)象并沒(méi)有指明哪種具體的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是從眾多的物質(zhì)和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)中抽象出來(lái)的事物，是人腦的產(chǎn)物.如，數(shù)學(xué)中研究的圓，客觀世界中有太陽(yáng)、月亮、車輪、籃球、足球，但并沒(méi)有數(shù)學(xué)中研究的圓.數(shù)學(xué)中研究的圓，是人腦的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)不同于物理、化學(xué)、生物等學(xué)科.這些學(xué)科都有具體的物質(zhì)和具體的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)作為自己的研究對(duì)象，而數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它的應(yīng)用是非常的廣泛的，是掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)學(xué)科，所以，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就離不開(kāi)數(shù)學(xué)證明.

什么是數(shù)學(xué)證明呢？一般人認(rèn)為數(shù)學(xué)證明就是根據(jù)相應(yīng)的定義、公理，法則等來(lái)證明一個(gè)命題的真假性的一個(gè)過(guò)程.比如，證明三角形內(nèi)角和為是180°，就是通過(guò)相應(yīng)的公理和法則來(lái)證明的.事實(shí)上，這種說(shuō)法并不完整，它只是說(shuō)出了數(shù)學(xué)證明的表面現(xiàn)象，而沒(méi)有真正揭示出數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)來(lái).數(shù)學(xué)證明則是以一些基本概念和基本公理為基礎(chǔ)的，使用合乎邏輯的推理來(lái)決定判斷是否正確.數(shù)學(xué)中的判斷叫作命題.因此，“一個(gè)命題是真的，必須且只需它是這樣一串命題的最后一個(gè)，其中每一個(gè)命題或者是形式系統(tǒng)的一條公理，或者是由一條推導(dǎo)法則所導(dǎo)出的命題”.也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)證明是以一些真實(shí)性已確定的命題為前提，通過(guò)邏輯論證，確定某一命題的真實(shí)的思維形式.因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門演繹的科學(xué).由于數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其組織以及構(gòu)造方式的特點(diǎn).決定了數(shù)學(xué)證明只是一種演繹的證明.要回答這個(gè)問(wèn)題，我們只需打開(kāi)歐幾里得《幾何原本》這本書(shū)就足于明白了.

三、數(shù)學(xué)證明的功能及作用

數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中非常重要，在于數(shù)學(xué)證明的功能和作用，數(shù)學(xué)證明有下面三個(gè)主要的功能或作用.

（一）論證命題

數(shù)學(xué)證明最基本的功能和作用就是可以論證一個(gè)命題的真假或者說(shuō)是正確性.數(shù)學(xué)命題有真有假，一般來(lái)說(shuō)，命題的真實(shí)性不是顯然的，這時(shí)要判斷真假就需要借助于一些方法，如，觀察，實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)證明等等.比如，“直線外的一點(diǎn)與這直線上的點(diǎn)的連線中，垂線段最短”，通過(guò)觀察就能看出它是一個(gè)真命題.通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法我們可以發(fā)現(xiàn)“三角形的外角和等于360°”這也是一個(gè)真命題.當(dāng)然.“三角形的外角和等于360°”這個(gè)命題也可以用其他方法.但是，我們利用的觀察、實(shí)驗(yàn)等的方法其實(shí)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，相?yīng)的會(huì)產(chǎn)生沒(méi)有說(shuō)服力.而且，有許多命題通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)是無(wú)法論證的，比如，“2是無(wú)理數(shù)”通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)就無(wú)法判斷其真假.而數(shù)學(xué)證明是通過(guò)引用一些真命題和特定的題設(shè)條件，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理方法進(jìn)行的，具有無(wú)可辯駁的說(shuō)服力，可以論證一個(gè)命題的真假.

（二）理解命題

數(shù)學(xué)證明有助于增進(jìn)對(duì)所證命題的理解，它可以通過(guò)一些邏輯的、推理的程序，來(lái)使得大家進(jìn)一步理解一個(gè)命題，以及加深對(duì)在證明該命題過(guò)程中所用到的相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，真正看出該命題成立的原因.

比如，怎樣去理解x2+bx=c這樣一個(gè)代數(shù)方程呢？我們可以我們可以構(gòu)造一個(gè)圖形.

同時(shí)，通過(guò)數(shù)學(xué)證明還可以使人們尋找新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，使人們獲得的知識(shí)系統(tǒng)化.

證明一個(gè)命題的真假時(shí)，需要靈活的運(yùn)用相應(yīng)的公理、定理以及其他的條件.因而，通過(guò)數(shù)學(xué)證明，在論證某個(gè)命題真假的同時(shí)，也增加了對(duì)證明過(guò)程中所涉及的知識(shí)的理解.在證明某個(gè)命題的時(shí)候要用到另外的命題，那么，這些命題之間的一定有內(nèi)在的聯(lián)系，尋找它們之間聯(lián)系的橋梁就是數(shù)學(xué)證明.同時(shí)，通過(guò)不斷的數(shù)學(xué)證明，尋找到新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，使人們所學(xué)的知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而趨于系統(tǒng)化.比如，在證明梯形的中位線定理的時(shí)候，我們用到了三角形全等的判定定理（或推論），兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的定理以及三角形中位線定理等等.通過(guò)靈活的運(yùn)用，可以加深對(duì)這些知識(shí)的理解.而且，在證明了梯形的中位線定理以后，我們可以發(fā)現(xiàn)：梯形的中位線定理和三角形的中位線定理有許多的相似之處，都存在平行和一半的關(guān)系.這樣，就可以將這兩個(gè)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使自己的知識(shí)趨于系統(tǒng)化.

（三）發(fā)現(xiàn)命題

數(shù)學(xué)證明有助于人們發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論及新的知識(shí).通過(guò)數(shù)學(xué)的證明來(lái)發(fā)現(xiàn)命題，在數(shù)學(xué)史上，有許多發(fā)現(xiàn)就是從數(shù)學(xué)證明開(kāi)始的.例如，n個(gè)平面都經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，但其中任何三個(gè)平面不共線，問(wèn)n個(gè)平面把空間分成多少個(gè)部分？對(duì)于這樣一個(gè)命題，我們首先來(lái)看n，當(dāng)n=1時(shí)，分成了2個(gè)部分，即21部分，當(dāng)n=2時(shí)，分成了4個(gè)部，即22部分；當(dāng)n=3時(shí)，分成了8個(gè)部分23部分；于是有人認(rèn)為，n個(gè)平面可以把空間分為2n個(gè)部分.當(dāng)我們證明這個(gè)結(jié)論時(shí)，發(fā)現(xiàn)它最多只能分成14個(gè)部分，而不是2的4次等于16個(gè)部分，從這個(gè)事實(shí)出發(fā)，人們進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了一個(gè)正確的命題.就是：n個(gè)平面只能把空間分成了n（n-1）+2個(gè)部分.又比如，歐拉在解決“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”的時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題無(wú)法用以前的幾何學(xué)的方法解決，是一個(gè)全新的問(wèn)題.因?yàn)榘凑杖藗兯熘膸缀卫碚?，都是與長(zhǎng)短、大小這些量有關(guān)，而七橋問(wèn)題與量無(wú)關(guān).歐拉通過(guò)研究得出了一筆畫的原理.最后，證明了這是個(gè)不可能問(wèn)題，并且提出了一個(gè)新的幾何學(xué)分支——拓?fù)鋵W(xué).

又如，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)就是源于對(duì)歐幾里得《幾何原本》中第五公式的證明.人們覺(jué)得第五公設(shè)“若兩條直線與第三條直線相交，而且在同一側(cè)所構(gòu)成的兩個(gè)同旁內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則該兩直線沿這一側(cè)延長(zhǎng)后必定相交.”比其他四條公設(shè)復(fù)雜多了，因而，嘗試從別的公理把它推出來(lái).但是，所有的努力都失敗了，人們不是證明時(shí)不知不覺(jué)的用了與第五公設(shè)有關(guān)的定理，就是提出了與第五公設(shè)邏輯等價(jià)的新定理.不過(guò)，這些錯(cuò)誤與失敗卻為后來(lái)的成功鋪了路.1830年左右，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶與俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基在前人的基礎(chǔ)上他們互相獨(dú)立地建立了或分別發(fā)現(xiàn)了非歐幾何的存在.

【參考文獻(xiàn)】

[1]顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint