羅哲

摘要：針對實際生產(chǎn)難以得到具體柴油機配氣系統(tǒng)凸輪型線函數(shù)的情況，采用N次諧波曲線逼近擬合法對配氣凸輪升程數(shù)據(jù)表進行擬合。利用MATLAB軟件建立N次諧波曲線逼近擬合法數(shù)學(xué)模型，通過代入凸輪升程數(shù)據(jù)求解出凸輪型線的N次諧波擬合函數(shù)方程。本文對兩種不同型線的凸輪采用該方法進行型線擬合，得到整體型線函數(shù)方程，分析擬合參數(shù)點與實際測量點之間的剩余標(biāo)準(zhǔn)差，以及對函數(shù)方程進行求導(dǎo)得出的速度、加速度圖形情況，驗證了所采用的N次諧波曲線逼近擬合法在配氣凸輪函數(shù)擬合問題上的有效性。

關(guān)鍵詞：N次諧波；曲線擬合；凸輪型線；配氣系統(tǒng)

中圖分類號：TK422 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）11-0089-03

1 引言

配氣凸輪作為配氣系統(tǒng)的動力提供者，一直以來其型線都是研究的重點，凸輪型線設(shè)計的優(yōu)劣對于柴油機各方面性能影響顯著?，F(xiàn)今，國內(nèi)外配氣系統(tǒng)使用較為頻繁的凸輪型線有：多項式型線、高次方型線、復(fù)合正弦拋物線型線、分段函數(shù)型線等凸輪型線[1-3]。凸輪型線的設(shè)計過程可以概括為兩種：（1）對已經(jīng)給出的凸輪輪廓型線方程和幾何形狀進行改進設(shè)計與優(yōu)化；（2）對已經(jīng)給出的凸輪基圓半徑和挺柱升程曲線進行光滑與擬合。由于在實際設(shè)計中很難具體得出某一凸輪的實際型線方程，因此在實際計算時往往采用第二種方法，將配氣凸輪型線用相對于挺柱的升程曲線來表示，其中為凸輪轉(zhuǎn)角。目前常用的型線擬合方法有多項式法、樣條函數(shù)法、N次諧波逼近擬合法等，其中N次諧波逼近擬合法以2π為周期，利用有限項的傅里葉級數(shù)擬合型線函數(shù)，不僅能保持高階倒數(shù)的連續(xù)性，而且擬合精度高。

本文以柴油機配氣系統(tǒng)進氣凸輪作為研究對象，采用N次諧波曲線逼近擬合的方式對凸輪型線進行擬合，利用MATLAB軟件編程建立N次諧波曲線逼近擬合求解模型。對兩種不同型線的凸輪進行升程曲線測量，得出每種凸輪相對應(yīng)的升程曲線數(shù)據(jù)表，利用上述模型對各凸輪升程曲線進行N次諧波逼近函數(shù)擬合，得到每個凸輪的升程函數(shù)擬合方程，比對擬合方程與測量數(shù)據(jù)點的差異性情況，驗證擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性。

2 N次諧波曲線逼近擬合凸輪型線的原理

通常情況下，在得到一個柴油機配氣凸輪之后，可通過使用平面測量頭以凸輪對稱中線點為零點向兩側(cè)延伸的方式進行測量。每次間隔一度進行測量，便可以測繪出配氣凸輪的升程數(shù)據(jù)表[4-5]。通過將平面測量頭所測得的凸輪升程數(shù)據(jù)進行光順之后，便得到一系列的點陣，即凸輪的轉(zhuǎn)角及其相對于的升程[6]。假設(shè)凸輪轉(zhuǎn)動角度由到這些節(jié)點構(gòu)成，那么相對應(yīng)的凸輪升程便由到構(gòu)成。所謂的擬合簡單來說，就是要得到一條具有顯示方程的曲線能夠盡最大程度的通過或者靠近這個相當(dāng)于平面上一一對應(yīng)的n+1個點。鑒于凸輪旋轉(zhuǎn)一周的角度為，因此可以肯定凸輪的升程函數(shù)也是以為運動周期的。在數(shù)值分析上可以知道，傅里葉級數(shù)可以展開具有一定光滑性且以為周期的函數(shù)，因此，利用傅里葉級數(shù)展開式可以得出下列式子：

但是就實際而言，要想通過式（2）、（3）、（4）求得參數(shù)、、是有一定困難的，因為我們無法確定的表達式，而正是我們所要擬合得出函數(shù)，因此便陷入了矛盾之中。從實際情況上來分析，我們雖然不知道的表達式，但卻知道各個所對應(yīng)的的值，因此可以通過這些點采用數(shù)值積分的方法求得、、的近似值。

雖然理論上我們所擬合的區(qū)間是，但是就真實情況而言，我們只需要擬合上的一段區(qū)間即可，因為在凸輪基圓上函數(shù)恒為零。通過已知的凸輪升程數(shù)據(jù)表，然后采用數(shù)值積分的方法通過這有限個節(jié)點去近似無限個節(jié)點求解、、等參數(shù)，然后用這些參數(shù)去構(gòu)造有限項凸輪升程曲線函數(shù)形式。因此，其實我們是在使用有限項函數(shù)去逼近凸輪升程曲線的真實表達式，所以，該方法稱為“N次諧波曲線逼近法”。

采用N次諧波曲線逼近法所得到的函數(shù)具有無限階可導(dǎo)性，從而保證了曲線良好的光滑性，且逼近的階數(shù)N也可以根據(jù)設(shè)計需要自己選擇。通過逼近所得函數(shù)是一個整體函數(shù)表達式，這樣對于求解其他運動學(xué)和動力學(xué)問題便顯得十分便捷，只需將該函數(shù)方程直接代入便可輕松求解。

3 N次諧波曲線逼近擬合法的MATLAB軟件實現(xiàn)

在MATLAB中可以通過FFT（快速傅里葉變換）工具指令來實現(xiàn)DFT（離散傅里葉變換）。這種方法是通過利用復(fù)數(shù)形式的離散傅里葉變換來計算實數(shù)形式的離散傅里葉變換。那么其具體轉(zhuǎn)換過程如下：

（1）定義FFT擬合的參數(shù)。FFT指令需要我們給出擬合的角度范圍、擬合的位移大小以及擬合的項數(shù)N（也可以說是輸入信號的周期）。關(guān)于擬合項數(shù)的選取可根據(jù)凸輪轉(zhuǎn)角的范圍進行選取，如凸輪轉(zhuǎn)角80°，那么擬合的項數(shù)N可選擇為80及以上。在參數(shù)定義完成之后，通過FFT運算可以得到一系列復(fù)數(shù)形式的點陣，該點陣具有一定的對稱性，一般情況會以N/2+1這個點為對稱點。其所得結(jié)果的一般形式為：

（2）將FFT擬合結(jié)果進行DFT轉(zhuǎn)換。在已知輸入信號周期N的情況下，對于FFT到DFT的轉(zhuǎn)換，我們只需要提取FFT結(jié)果的前N/2+1項的值便可以正確的復(fù)原原來的位移。FFT變換為DFT之后的形式以及兩種變換之間的關(guān)系如下面式子所示：

其中：

（3）完成轉(zhuǎn)換。將轉(zhuǎn)換之后所得的系數(shù)結(jié)果全部代入到DFT合成式子（7）里面便可以得到擬合后的凸輪型線函數(shù)表達式。利用該函數(shù)表達式便可以進行配氣系統(tǒng)的動力學(xué)計算。

4 實驗及結(jié)果分析

本文選用兩種不同型線的配氣凸輪作為研究對象，分別標(biāo)記為凸輪1、凸輪2。利用上述擬合方法分別對這兩種凸輪進行凸輪型線函數(shù)擬合，其擬合結(jié)果如圖1所示。

從上述擬合圖中可以看出，通過采用N次諧波逼近擬合法完全可以得出進行動力學(xué)計算的升程函數(shù)，其中關(guān)于凸輪1、凸輪2的擬合參數(shù)如表1所示，剩余標(biāo)準(zhǔn)差顯示了擬合函數(shù)與真實值之間的準(zhǔn)確程度，越小代表擬合程度越高，從表1中可以看出兩者標(biāo)準(zhǔn)差均在10的負(fù)6次方以下，可見上述兩個凸輪升程數(shù)據(jù)表通過N次諧波擬合之后所得型線方程特性良好。endprint

通過N次諧波擬合之后，得出了凸輪升程函數(shù)，對升程函數(shù)進行求導(dǎo)可以得到速度、加速度圖形，其結(jié)果如圖2所示。從圖形中可以看出擬合后的函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，并且曲線具有良好的光滑性。

5 結(jié)語

本文利用MATLAB軟件對兩種不同型線的凸輪進行了N次諧波逼近函數(shù)擬合，得到了每個凸輪型線的函數(shù)擬合方程，并且通過計算值與實際值的比對可以看出擬合效果良好，擬合之后的凸輪型線求得的速度、加速度圖光滑平順，進一步驗證了擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性和有效性。

參考文獻

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Abstract：In view of the fact that it is difficult to obtain the cam profile simulation of the diesel valve train in actual production， the Nth harmonic method is adopted to fit the data table of the valve cam. The mathematical model of Nth harmonic method is established by using MATLAB software. By solving the cam lift data， the Nth harmonic fitting function equation of cam profile is obtained. In this paper， the method of line fitting is adopted for two different kinds of cam profile， as a result of acquiring the function equation of the whole. The figures of speed and accelerated speed are acquired by the derivation of function equation and analysis of residual standard between fitting parameters and actual measurement point. The availability of Nth harmonic method in valve cam profile is verified.

Key Words：Nth harmonic； curve fitting； cam profile； valve systemendprint