黃嘉艷+蔣金山

摘要：概率偽形態(tài)學是一種新的形態(tài)學處理方法，與傳統(tǒng)形態(tài)學的基本運算不同，它無需對原數(shù)據(jù)進行排列而求得極值，而是基于切比雪夫不等式估計鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)的兩個偽極值來定義腐蝕和膨脹結(jié)果，其中參數(shù)k可用來調(diào)節(jié)偽極值與實際極值的逼近程度，并使概率偽形態(tài)學方法兼具線性和非線性特性。通過對圖像直方圖進行規(guī)定化處理自適應地確定參數(shù)k，減小了直接在原直方圖上估計參數(shù)造成的誤差。與傳統(tǒng)形態(tài)學方法對比，概率偽形態(tài)學方法的腐蝕膨脹結(jié)果較好地保持圖像的形狀和細節(jié)結(jié)構(gòu)，同時在邊緣提取中得到的結(jié)果較理想。

關(guān)鍵詞：概率偽形態(tài)學；參數(shù)選??；自適應；腐蝕；膨脹

中圖分類號：TP317.4 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）11-0075-06

1 引言

數(shù)學形態(tài)學（Mathematical Morphology，MM）是幾何描述分析和非線性圖像處理的有力工具，這一理論框架是上世紀80年代由Matheron[1]和Serra[2]等人提出的。MM最初在二值圖像上得到廣泛應用，后來將其推廣到灰度圖像上，并根據(jù)定義的序關(guān)系比較鄰域內(nèi)數(shù)據(jù)的大小，來定義形態(tài)學膨脹、腐蝕運算[3]。由于二值圖像和灰度圖像都是標量函數(shù)，在標量域中數(shù)據(jù)之間存在自然的序關(guān)系，因此，二值形態(tài)學和灰度形態(tài)學本質(zhì)上無區(qū)別[4]。而將MM拓展到彩色圖像上就不那么直接，首先需要定義彩色圖像像素之間的全序關(guān)系。文獻[5]定義了4種矢量序來對多元數(shù)據(jù)進行排序：邊緣序（M-Ordering）、約簡序（R-Ordering）、偏序（P-Ordering）、條件序（C-Ordering）?；谶吘壭?、條件序、約簡序的形態(tài)學方法在彩色圖像中得到普遍的應用[6]。然而，由于目前對向量的排序并沒有統(tǒng)一標準，上面定義的四種矢量序關(guān)系在不同應用中存在各自缺點和不足，具有一定的局限性。傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)學方法（Gray-Level Mathematical Morphology， GLMM）就是基于序關(guān)系對圖像進行處理的。

概率偽形態(tài)學方法（Probabilistic Pseudo-Morphology，PPM）[7]是在偽形態(tài)學[8， 9]的基礎(chǔ)上提出來的，不同于傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)學需要考慮數(shù)據(jù)序關(guān)系定義問題，PPM基于切比雪夫不等式估計鄰域內(nèi)的兩個“偽極值”，來定義形態(tài)學的基本運算，并從灰度圖像推廣到彩色圖像（這里的彩色圖像為RGB圖像）。在彩色圖像處理過程中結(jié)合主成分析法（Principal Component Analysis， PCA），在第一主成分數(shù)據(jù)上結(jié)合切比雪夫不等式估計局部變量的偽極值，重新定義了形態(tài)學的基本運算：偽腐蝕、偽膨脹。與傳統(tǒng)形態(tài)學定義邊緣序方法對比，邊緣序方法將R、G、B各分量分開處理來進行運算，容易引入“假色”，PCA的應用能有效的緩解了此問題。本文首先闡述概率偽形態(tài)學方法定義的基本運算，再在灰度圖像上討論參數(shù)k的選取，并說明在參數(shù)k下的偽極值很好的逼近真實極值，然后對參數(shù)k的作用意義進行分類。最后，通過誤差分析驗證，在選取的k值下概率偽形態(tài)學方法得到的基本運算結(jié)果與傳統(tǒng)灰度形態(tài)學的結(jié)果數(shù)值上相似，但視圖結(jié)果顯示，概率偽形態(tài)學方法抗造性強，能更好的保持了圖像的細節(jié)結(jié)構(gòu)和形狀，另外，運用兩種方法進行邊緣提取，概率偽形態(tài)學方法能得到邊緣更加清晰，輪廓線條更加平滑。

2 概率偽形態(tài)學

概率偽形態(tài)學方法是以切比雪夫不等式為理論基礎(chǔ)，該不等式表示任意隨機變量分布在某個以均值為中心點的特定區(qū)間以外的最大概率，適用于任意分布，要求該分布滿足均值和方差是有限的[10]?，F(xiàn)令為任意隨機變量，分別是表示其均值和標準差（都為正數(shù)），則切比雪夫不等式表示如下：

3.2.2 誤差分析及驗證參數(shù)k的有效性

利用誤差進行定性分析，計算二者：不同參數(shù)k下的概率偽形態(tài)學方法PPM、傳統(tǒng)形灰度態(tài)學方法GLMM在相同結(jié)構(gòu)元素下的膨脹腐蝕結(jié)果之間的二次誤差，根據(jù)公式：

其中n圖像像素點的個數(shù)，xi、yi分別是PPM、GLMM的運算結(jié)果。通過對比在不同參數(shù)下二者的誤差，來驗證存在參數(shù)k使二者誤差最小，進一步比較得到經(jīng)過高斯規(guī)定化圖像直方圖上得到的參數(shù)下的誤差更小。即概率偽形態(tài)學在此參數(shù)下的運算結(jié)果更好的逼近傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)學得到的真實運算結(jié)果。

由于概率偽形態(tài)學方法通過借助切比雪夫不等式估計傳統(tǒng)灰度形態(tài)學得到的運算結(jié)果，通過比較由規(guī)定化直方圖估計得到的參數(shù)以及在原直方圖上估計的參數(shù)各自的誤差大小，來說明前者得到參數(shù)使結(jié)果更優(yōu)。圖4為其中3幅圖像在不同參數(shù)k下的誤差情況。使用5*5、11*11方形結(jié)構(gòu)元素對圖像進行膨脹、腐蝕運算。左邊為二次誤差，右邊為對應的總誤差，由圖可見，每幅圖像都存在某一k*使得概率偽形態(tài)學的運算結(jié)果與傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)學的誤差最小，為了進一步說明在高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖上設置的參數(shù)比在原直方圖上進行估計得到的參數(shù)使運算結(jié)果誤差更小，即基于高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖參數(shù)設置方法更優(yōu)，通過比較各自參數(shù)下的膨脹、腐蝕誤差結(jié)果及總誤差，具體數(shù)據(jù)見表2，其中參數(shù)設置列中“規(guī)：”表示在經(jīng)過高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖圖像上進行的參數(shù)設置；“原：”表示在原圖像直方圖上進行參數(shù)設置。通過比較各項運算結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，前者誤差不同程度小于后者且總誤差也較小，3幅圖像在高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖得到的k=2、1.73、2.11，對比在原直方圖上估計的參數(shù)k=2.64、1.97、3.07的結(jié)果誤差更小，由此證明高斯函數(shù)規(guī)定化設置參數(shù)這種方法的有效性。

4 對比實驗結(jié)果分析

圖5（a）、（c）分別是兩種方法設置的參數(shù)下的概率偽形態(tài)學（PPM）腐蝕和膨脹結(jié)果視圖，與傳統(tǒng)灰度形態(tài)學（GLMM）對應的結(jié)果視圖（b）進行對比，發(fā)現(xiàn)：①PPM腐蝕膨脹視圖結(jié)果比GLMM腐蝕膨脹視圖結(jié)果輪廓更加清晰，圖像的對比度改進明顯；②在對比高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖參數(shù)和原直方圖參數(shù)得到的腐蝕膨脹結(jié)果，發(fā)現(xiàn)前者比后者的視圖輪廓線更加平滑，后者得到圖像的輪廓線較粗，使得腐蝕膨脹后的圖像細節(jié)結(jié)構(gòu)難以辨析，但前者更好地保持了圖像的細節(jié)和結(jié)構(gòu)，輪廓線更分明，視圖效果更好。endprint

圖6、圖7是在高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖上得到的參數(shù)k的概率偽形態(tài)學和傳統(tǒng)灰度形態(tài)學的腐蝕膨脹結(jié)果作對比，使用5*5方形平面結(jié)構(gòu)元素11*11方形平面結(jié)構(gòu)元素進行操作，其由局部細節(jié)圖可明顯看出它們之間差異。GLMM受圖像的紋理復雜性和結(jié)構(gòu)元素尺寸的影響較大，使圖像遺失了某些特征，而PPM更好的保留了圖像的紋理結(jié)構(gòu)，且結(jié)果更加平滑柔和。如圖6（b）右局部放大圖中樹杈和小船船體形狀受方形結(jié)構(gòu)元素影響明顯，圖7（b）人像五官呈現(xiàn)方塊狀，而PPM偽腐蝕結(jié)果受結(jié)構(gòu)元素形狀影響小，如圖6（a）、（c）、（e）和（g），其結(jié)果比較平滑；另外，PPM的結(jié)果比GLMM更好的保持了圖像的細節(jié)，如圖6（e）、（g），較大程度地保留了樹的輪廓、樹干粗細形狀，圖7（a）、（c）人像眉毛、眼睛鼻梁等細節(jié)形狀得到保持。這是由于PPM的偽腐蝕偽膨脹運算涉及局部的鄰域數(shù)據(jù)分布（均值和標準差），從動態(tài)統(tǒng)計角度看，該方法抗噪性較強。對比傳統(tǒng)方法，PPM對局部噪聲不敏感，使它更好的保持圖像的局部結(jié)構(gòu)。

將概率偽形態(tài)學在參數(shù)k*下邊緣提取結(jié)果與傳統(tǒng)形態(tài)學比較，在相同形狀、尺寸的結(jié)構(gòu)元素下，定義形態(tài)學梯度算子如下：

其中dil_img表示圖像的膨脹；ero_img表示圖像的腐蝕。圖8是在3*3方形結(jié)構(gòu)元素作用下概率偽形態(tài)學和傳統(tǒng)形態(tài)學邊緣提取結(jié)果，由圖8可以看出，在確定的參數(shù)k*下概率偽形態(tài)學方法得到的邊緣更加清晰，與背景對比度較高，更加平滑?？傮w上講，概率偽形態(tài)學能獲得較理想的邊緣結(jié)果。

5 結(jié)語

本文主要對概率偽形態(tài)學方法中參數(shù)k的自適應設置進行探討，通過高斯函數(shù)規(guī)定化直方圖后再進行參數(shù)設置，對比在原圖像進行參數(shù)估計，前者得到的參數(shù)能使概率偽形態(tài)學的基本運算結(jié)果和傳統(tǒng)形態(tài)學方法的基本運算結(jié)果誤差更小，從視圖效果來看，參數(shù)k下的概率偽形態(tài)學比傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)學抗噪性強，能更好地保持圖像的細節(jié)結(jié)構(gòu)和形狀。對彩色圖像進行PPM的偽腐蝕、偽膨脹運算是在RGB空間上進行，由于該空間上的三個軸表示三基色的數(shù)量級，具有相關(guān)性，在這種顏色空間上更適用PCA；也可在其他如HSV、CIELAB[15]等顏色空間上嘗試執(zhí)行該方法。另外由于概率偽形態(tài)學方法應用PCA在處理彩色圖像，圖像數(shù)據(jù)通過在不相關(guān)的特征方向上進行投影得到新數(shù)據(jù)空間，考慮將該方法應用到圖像去噪中，對去除高斯非相關(guān)性噪聲有顯著效果，后續(xù)會沿這個方向作進一步探究。

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Abstract：Probabilistic pseudo-morphology is a new morphological method differing from the traditional in the basic operational process：dilation and erosion. It does not need to rank the original data then obtain the extremes， instead， it estimates two pseudo-extremes of neighborhood data based on Chebyshev inequality to determine the operations. The parameter k can be used to adjust the approximation degree of the pseudo-extreme value and the actual extreme value， and makes the probabilistic pseudo-morphological method have both linear and nonlinear characteristics. By regularizing the image histogram can adaptively determine the parameter k， then reducing the error caused by estimating directly on the original histogram. Compared with the traditional morphological methods， the results of probabilistic pseudo-morphological erosion and dilation can keep better shape and structure of the details of the image， and the results in the edge extraction is also better.

Key Words：probabilistic pseudo-morphology； parameter setting； adaptivity； erosion； dilationendprint