（江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013）

基于分形理論的銹蝕鋼筋表面輪廓分布特征

陸春華，楊金木，延永東，傅巧瑛

（江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013）

為了更準(zhǔn)確地表征銹蝕鋼筋的表面輪廓分布特征，利用分形理論的結(jié)構(gòu)函數(shù)法推導(dǎo)出銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與尺度系數(shù)的計(jì)算模型.從受氯鹽侵蝕的混凝土梁試件中獲取4根不同銹蝕率的鋼筋試樣，利用千分尺測(cè)量鋼筋的截面直徑，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，研究其分布規(guī)律.統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：銹蝕鋼筋截面直徑不拒絕正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布；利用所得模型計(jì)算出銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與尺度系數(shù)，其分形維數(shù)與鋼筋的銹蝕率成正相關(guān)關(guān)系.結(jié)合分形維數(shù)和尺度系數(shù)定義的特征參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)銹蝕鋼筋表面輪廓絕對(duì)測(cè)量與相似測(cè)量的統(tǒng)一，有助于更為準(zhǔn)確地表征銹蝕鋼筋的表面輪廓.

銹蝕鋼筋；分布特征；分形理論；結(jié)構(gòu)函數(shù)法；特征參數(shù)

鋼筋銹蝕是混凝土結(jié)構(gòu)耐久性能退化的主要原因，很多學(xué)者采用鋼筋銹蝕率進(jìn)行銹蝕鋼筋力學(xué)性能的退化研究［1－4］.但是鋼筋銹蝕率是一個(gè)平均化的概念，不能反映銹蝕鋼筋表面的不均勻分布狀態(tài)和程度［5］.實(shí)際上，由于混凝土自身材料的不均勻性、所處環(huán)境的變異性及受力部位的不均勻性，銹蝕鋼筋表面輪廓是復(fù)雜且不穩(wěn)定的，沿鋼筋長(zhǎng)度方向銹蝕會(huì)有一定的變化［6］.文獻(xiàn)［1，7］研究發(fā)現(xiàn)，銹蝕鋼筋力學(xué)性能受到坑蝕深度和分布影響，且坑蝕附近產(chǎn)生的應(yīng)力集中隨著坑蝕深度增加更加明顯.相同銹蝕率的鋼筋，其力學(xué)性能表現(xiàn)也有一定差異［8］.

近年來(lái)，分形理論的發(fā)展為人們解決研究對(duì)象表面輪廓不均勻性問(wèn)題帶來(lái)新思路.文獻(xiàn)［9］利用盒計(jì)數(shù)法計(jì)算銹蝕前后P11鋼管表面的分形維數(shù)，對(duì)比發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)能夠快速準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)鋼材耐腐蝕性評(píng)價(jià).文獻(xiàn)［10］利用分形理論表征了金屬?gòu)?fù)合材料在幾何扭曲方面的特點(diǎn).文獻(xiàn)［11］對(duì)鋼材受沖擊破壞截面進(jìn)行研究后發(fā)現(xiàn)，截面分形維數(shù)與材料的沖擊韌性成正相關(guān)關(guān)系.文獻(xiàn)［12］探討了考慮摩擦因素的球體交接面法向接觸剛度的分形計(jì)算模型，結(jié)果表明分形維數(shù)決定法向接觸剛度與法向荷載成正比還是反比關(guān)系.

鑒于分形理論的上述特點(diǎn)，本研究以受氯鹽侵蝕的銹蝕鋼筋為研究對(duì)象，用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算其截面直徑的分形維數(shù)，討論其分形特征；結(jié)合分形維數(shù)與尺度系數(shù)，推導(dǎo)出銹蝕鋼筋截面直徑的特征參數(shù)，以便能更為準(zhǔn)確地描述銹蝕鋼筋表面輪廓的分布特征.

1 分形維數(shù)的計(jì)算模型

銹蝕鋼筋的粗糙表面是由掃描長(zhǎng)度到原子長(zhǎng)度的無(wú)數(shù)個(gè)空間頻率組成，如果表面被重復(fù)放大，可以觀察到粗糙表面不斷出現(xiàn)的細(xì)微結(jié)構(gòu).因此粗糙表面盡管有連續(xù)的輪廓，卻是處處不可微的，而且具有自仿射性.粗糙表面輪廓的這種多尺度性和自仿射性使其難以建立數(shù)學(xué)模型［13］.

分形幾何的出現(xiàn)給上述粗糙表面輪廓的描述奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其中Weierstrass Mandelbrot分形函數(shù)（W M函數(shù)）滿(mǎn)足連續(xù)性、處處不可微性和自仿射性，可用來(lái)表征和模擬粗糙表面的輪廓［14］.圖1為分形函數(shù)（W M函數(shù)）表征的銹蝕鋼筋表面輪廓示意圖.

圖1 分形函數(shù)表征的銹蝕鋼筋的表面輪廓

圖1中，將鋼筋表面輪廓表示成函數(shù)Z（x），其表達(dá)式［15］為

式中：D為分形維數(shù)；G為特征尺度系數(shù)；γ為大于1的常數(shù)；γn為輪廓的空間頻率，當(dāng)n＝n1時(shí)，γn1＝1／l（l為取樣長(zhǎng)度）.

由式（1）可知，Z（x）級(jí)數(shù)收斂，而dZ／dx發(fā)散，這意味著函數(shù)在任意點(diǎn)均不可微，同時(shí)滿(mǎn)足自放射關(guān)系：

定義Z（x）的增量方差S（τ）為結(jié)構(gòu)函數(shù)，即

由W M分形函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)R（τ），即

經(jīng)過(guò)傅立葉變換得到

將式（6）代入式（3），積分得到

式中Γ（x）為Gamma函數(shù).

式中C為尺度系數(shù)，反應(yīng)輪廓的不平整度.

對(duì)式（8）兩邊取對(duì)數(shù)，針對(duì)若干尺度τ對(duì)輪廓曲線的離散信號(hào)計(jì)算出相應(yīng)的S（τ）.在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)ln S（τ）－lnτ中進(jìn)行擬合，得到一條近似的直線，擬合直線的斜率為α，截距為A，最后換算得到表面輪廓曲線的分形維數(shù)D和尺度系數(shù)C.其中，分形維數(shù)D與斜率α的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

2 試 驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)梁設(shè)計(jì)

試驗(yàn)中采用的混凝土梁尺寸為b×h×L＝150 mm×100 mm×1 500 mm.混凝土設(shè)計(jì)強(qiáng)度為C30，水泥采用42.5普通硅酸鹽水泥，粗骨料采用粒徑為5～25 mm的碎石，細(xì)骨料采用細(xì)度模數(shù)為1.62的江砂，混凝土配合比詳情如表1所示.

表1 混凝土配合比詳情

混凝土縱向鋼筋采用直徑16 mm的HRB335鋼筋，每根梁放置2根鋼筋，單根長(zhǎng)度1 600 mm.保護(hù)層厚度分別為20 mm和40 mm.圖2為試驗(yàn)梁設(shè)計(jì)圖.實(shí)際工程中的混凝土結(jié)構(gòu)由于受到荷載作用通常處于帶裂縫工作狀態(tài)，為了真實(shí)模擬實(shí)際工程中的混凝土結(jié)構(gòu)受荷載作用的工作狀態(tài)，在澆鑄構(gòu)件時(shí)，參考實(shí)際工程中受彎構(gòu)件常見(jiàn)的裂縫參數(shù)，用金屬薄片在梁構(gòu)件表面預(yù)制不同寬度、深度和間距的預(yù)裂縫（見(jiàn)圖2）.混凝土梁澆筑后自然養(yǎng)護(hù)28 d，并測(cè)得立方體抗壓強(qiáng)度為32.1 MPa.

圖2 試驗(yàn)梁設(shè)計(jì)圖（單位：mm）

2.2 試驗(yàn)方法

圖3為鋼筋的銹蝕部位分布情況.為了更加真實(shí)地反應(yīng)自然環(huán)境下混凝土試件內(nèi)部鋼筋的銹蝕形態(tài)，將試件置于質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的NaCl溶液池中，采用干濕比為1∶1的循環(huán)試驗(yàn)法進(jìn)行加速銹蝕，單個(gè)循環(huán)周期為14 d，共歷時(shí)1 400 d.干濕循環(huán)試驗(yàn)結(jié)束后，將混凝土試件取出，置于室外環(huán)境，干燥7 d，隨后對(duì)試件破型，取出銹蝕鋼筋.然后對(duì)其銹蝕部位進(jìn)行外觀檢測(cè)和統(tǒng)計(jì)記錄（見(jiàn)圖3）.從圖3中可以看出，鋼筋沿長(zhǎng)度方向的銹蝕形態(tài)呈現(xiàn)不均勻性，越靠近保護(hù)層一側(cè)銹蝕程度越嚴(yán)重.

圖3 鋼筋的銹蝕部位分布情況

考慮到銹坑分布位置和試驗(yàn)數(shù)據(jù)多樣化，對(duì)已取出鋼筋進(jìn)行合理截取，所有鋼筋試件長(zhǎng)度為500 mm，共計(jì)4根.將鋼筋試件置于質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的稀鹽酸中1～25 min進(jìn)行清洗，經(jīng)清水漂清后，用無(wú)水乙醇清理鋼筋表面殘余污漬，擦干后在電烤箱中進(jìn)行烘干處理.然后稱(chēng)取鋼筋除銹后質(zhì)量m，由于銹蝕鋼筋試樣長(zhǎng)度l為500 mm，則銹蝕鋼筋的平均線密度為

式中：ρc為銹蝕鋼筋的平均線密度，g·cm－1；m為鋼筋除銹后質(zhì)量，g.

設(shè)未銹蝕前鋼筋的平均線密度為ρ0，則銹蝕鋼筋的截面平均銹蝕率ηavg為

經(jīng)計(jì)算，各試件的詳情參數(shù)如表2所示.采用雙尖頭千分尺沿著銹蝕鋼筋試件長(zhǎng)度，每隔10mm測(cè)量鋼筋的直徑，獲取500 mm采樣長(zhǎng)度內(nèi)鋼筋截面直徑分布數(shù)據(jù)，用于分析銹蝕鋼筋截面直徑的分形特征.

表2 各試件的詳情參數(shù)

3 銹蝕鋼筋截面直徑的特征

3.1 截面直徑的分布特征

對(duì)前述4組銹蝕鋼筋試件的截面直徑進(jìn)行頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖4所示.由圖4可知，銹蝕鋼筋截面直徑總體呈非對(duì)稱(chēng)的偏態(tài)分布.

利用Matlab軟件中提供的Kstest檢驗(yàn)函數(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布假設(shè)檢驗(yàn)［16］.

表3為不同假設(shè)（正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布假設(shè)）檢驗(yàn)的K S檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果.

圖4 不同截面直徑銹蝕鋼筋的頻數(shù)分布圖

表3 不同假設(shè)檢驗(yàn)的K S檢驗(yàn)結(jié)果

從表3可以看出，不論選定較小的顯著性水平α＝0.01還是選定較大的顯著性水平α＝0.05，1＃，2＃，3＃和4＃試件均不拒絕正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布.由此可見(jiàn)，在氯鹽侵蝕環(huán)境下，混凝土內(nèi)銹蝕鋼筋的截面直徑分布規(guī)律較為復(fù)雜，這是鋼筋銹蝕的隨機(jī)性和不均勻性導(dǎo)致的.

3.2 截面直徑的分形特征

通過(guò)式（3）的離散化結(jié)構(gòu)函數(shù)表達(dá)式，利用采集到的銹蝕鋼筋截面直徑數(shù)據(jù)計(jì)算截面直徑的分形維數(shù).具體方法如下所示.

如果數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)間隔為Δl，在采樣長(zhǎng)度l上共采集N個(gè)點(diǎn)，則有

令式（3）中τ＝nΔl，n＝0，1，2，…，N－1，則離散化結(jié)構(gòu)函數(shù)表達(dá)式為

通過(guò)Matlab語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)函數(shù)法的數(shù)值求解模型，并計(jì)算S（τ），在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)lnS（τ）－lnτ中整理數(shù)據(jù)，根據(jù)回歸直線斜率α與分形維數(shù)D的關(guān)系得到分形維數(shù)的值.對(duì)4根銹蝕鋼筋試件的截面直徑數(shù)據(jù)進(jìn)行處理計(jì)算.鋼筋試件擬合結(jié)果如圖5所示.

由式（8）及圖5可知，lnC為雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)lnS（τ）－lnτ中直線的截距值.在此雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，大部分散點(diǎn)形成了明顯的線性發(fā)展趨勢(shì).根據(jù)式（9），由圖5中4條趨勢(shì)線的斜率可以計(jì)算出4根銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)分別如下：D1＝1.915，D2＝1.930，D3＝1.935，D4＝1.915.

考察分形維數(shù)與銹蝕率的關(guān)系可知，銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)隨著鋼筋平均截面銹蝕率的增大而增大.理想狀況下的均勻銹蝕指在任何位置的銹蝕深度相同，所有的坑蝕點(diǎn)形成了坑蝕面，面的維數(shù)是2，所以D＝2；理想狀況下的不均勻銹蝕指在任何位置的銹蝕深度都不同，所有的坑蝕點(diǎn)之間形成相對(duì)獨(dú)立的線，線的維數(shù)是1，所以D＝1［7］.

在鋼筋銹蝕初期，新坑蝕的出現(xiàn)與老坑蝕的發(fā)展同步進(jìn)行，新老坑蝕的深度相差較大，鋼筋銹蝕的不均勻性較大，分形維數(shù)D較??；隨著銹蝕的進(jìn)行，新坑蝕的出現(xiàn)速度減緩，銹蝕主要以老坑蝕的發(fā)展為主，銹蝕速度加快，體現(xiàn)為老坑蝕的銹蝕深度逐漸趨于一致，此時(shí)鋼筋銹蝕的不均勻性減小，分形維數(shù)D增加.因此，銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與鋼筋的銹蝕率成正相關(guān)關(guān)系.

由圖5可知，1＃與4＃的直線斜率相同，但截距不同，說(shuō)明銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)與鋼筋表面粗糙程度不是唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系.分形維數(shù)D反映的是銹蝕鋼筋表面輪廓曲線的不規(guī)則性，屬于測(cè)度的相似性參數(shù)，對(duì)鋼筋表面輪廓粗糙程度變化具有很高的靈敏性；尺度系數(shù)C反映的是單位尺度下銹蝕鋼筋表面輪廓測(cè)度的絕對(duì)參數(shù)，對(duì)表征銹蝕鋼筋表面輪廓變化具有很高的靈敏性［17］.

圖5 不同截面直徑銹蝕鋼筋試件的擬合結(jié)果

3.3 特征參數(shù)

結(jié)合分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C，定義特征輪廓參數(shù)θ為當(dāng)銹蝕鋼筋截面直徑的增量方差為單位測(cè)度時(shí)的測(cè)量尺度.根據(jù)定義，令S（τ）＝1，則θ的表達(dá)式為

由于θ值非常小，為了更好地用θ值表征銹蝕鋼筋表面輪廓分布特征，令

式（15）中，參數(shù)M將分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C結(jié)合起來(lái)，既能體現(xiàn)銹蝕鋼筋表面輪廓的相似性，又能體現(xiàn)出其變化的絕對(duì)性.當(dāng)C∈（0，＋∞）確定時(shí)，M隨D∈（1，2）的增加單調(diào)遞增；當(dāng)D確定時(shí)，M隨C的增加單調(diào)遞增，所以M可以確定地表征出銹蝕鋼筋表面輪廓的分布特征.計(jì)算試驗(yàn)樣本M值，結(jié)果見(jiàn)表4.

表4 銹蝕鋼筋特征參數(shù)

由表4可知，隨著分形維數(shù)和尺度系數(shù)的變化，M值變化非常明顯.由于M結(jié)合了分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C的特點(diǎn)，所以比單獨(dú)利用D或者C描述鋼筋表面輪廓特征更為準(zhǔn)確，實(shí)現(xiàn)了銹蝕鋼筋表面輪廓絕對(duì)測(cè)量與相似測(cè)量的統(tǒng)一.

4 結(jié) 論

1）氯鹽環(huán)境中，銹蝕鋼筋截面直徑的分布特征比較復(fù)雜，當(dāng)選定的顯著水平不大于0.06時(shí)，不拒絕正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布.鋼筋截面直徑分布的復(fù)雜性主要是鋼筋銹蝕不均勻?qū)е碌?

2）通過(guò)結(jié)構(gòu)函數(shù)法求解得到4根銹蝕鋼筋樣本截面直徑的分形維數(shù)，結(jié)果表明，銹蝕鋼筋截面直徑的分形維數(shù)D與鋼筋的銹蝕率成正相關(guān)關(guān)系.

3）分形維數(shù)D反映的是銹蝕鋼筋表面輪廓曲線的不規(guī)則性，尺度系數(shù)C反映的是單位尺度下銹蝕鋼筋表面輪廓測(cè)度的絕對(duì)參數(shù)，都不能作為單一表征鋼筋銹蝕特征的理想?yún)?shù).M結(jié)合了分形維數(shù)D與尺度系數(shù)C的特點(diǎn)，所以比單獨(dú)利用D或者C描述鋼筋表面輪廓特征更為準(zhǔn)確，實(shí)現(xiàn)了銹蝕鋼筋表面輪廓絕對(duì)測(cè)量與相似測(cè)量的統(tǒng)一.

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Surface profile distribution characteristics of corroded steel bars based on fractal theory

LU Chunhua，YANG Jinmu，YAN Yongdong，F(xiàn)U Qiaoying
（Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang，Jiangsu 212013，China）

To precisely characterize the surface profile of corroded steel bars，a calculating model of fractal dimension and scale coefficient for the cross sectional diameter of corroded steel bars was derived based on structure functionmethod.Four steel specimenswith different corrosion rateswere obtained from concrete beams eroded by chloride salt.Utilizingmicrometer tomeasure the cross sectional diameter，the distribution characteristicswere analyzed.The results show that the diameter of corroded steel bar does not reject normal distribution，lognormal distribution and Weibull distribution.The fractal dimension and the scale coefficient are calculated by derived calculating model，and the fractal dimension of cross sectional diameter is positively correlated with rebar corrosion rate.Combining with fractal dimension and scale coefficient，the unified relationship between absolute measurement and similar measurement of surface profile of corroded steel bars can be realized by the characteristic parameter of corroded steel bars，which helps to characterize the surface profile of corroded steel barsmore precisely.

corroded steel bars；distribution characteristic；fractal theory；structure function method；characteristic parameter

10.3969／j.issn.1671－7775.2018.01.017

TU511.32

A

1671－7775（2018）01－0102－06

2016－09－28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51378241，51578267）；江蘇省“六大人才高峰”高層次人才選拔培養(yǎng)資助項(xiàng)目（2015－JZ－008）

陸春華（1979—），男，江蘇昆山人，博士，副教授（lch79＠ujs.edu.cn），主要從事混凝土結(jié)構(gòu)耐久性的研究.

楊金木（1992—），男，安徽馬鞍山人，碩士研究生（trlife＠yeah.net），主要從事混凝土結(jié)構(gòu)耐久性的研究.

陸春華，楊金木，延永東，等.基于分形理論的銹蝕鋼筋表面輪廓分布特征［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，39（1）：102－107.

（責(zé)任編輯 趙 鷗）