韓 俊，任國全，李冬偉

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

考慮運動受限的履帶式移動機器人軌跡跟蹤控制

韓 俊，任國全，李冬偉

(軍械工程學(xué)院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

針對履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行研究，首先，建立了履帶式移動機器人的運動學(xué)模型和跟蹤誤差模型；其次，設(shè)計了轉(zhuǎn)速有限時間控制和線速度滑?？刂频能壽E跟蹤控制律，并給出了考慮運動受限作用下的控制律修正表達式；最后，基于MATLAB對所提控制律進行仿真，對比分析了不考慮運動受限情況下跟蹤控制效果;結(jié)果表明，設(shè)計的跟蹤控制律能夠?qū)崿F(xiàn)履帶式移動機器人對圓軌跡的有效跟蹤，且考慮運動受限作用的控制律更加符合實際;文章研究分析了運動受限作用對于移動機器人軌跡跟蹤控制的影響，分析結(jié)果對其他移動機器人的運動控制研究具有參考價值。

履帶式移動機器人；軌跡跟蹤；有限時間控制；滑?？刂疲贿\動受限

0 引言

近年來，由于良好的地面適應(yīng)能力，履帶式移動機器人在災(zāi)難救援、反恐防暴、深海采礦等非結(jié)構(gòu)化環(huán)境中應(yīng)用得越來越廣泛，其運動控制的研究也受到人們越來越多的關(guān)注[1-3]。在移動機器人的運動控制研究中，軌跡跟蹤問題一直是一個的重要課題，很多學(xué)者都對移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行了深入研究[4-7]。Amidi最早提出了3種比較實用的跟蹤控制律[4]，并闡述了一種純追趕(Pure Pursuit)的軌跡跟蹤控制方法。該方法設(shè)計的控制器較為簡單，且跟蹤存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差，控制效果不佳。徐俊艷等采用分層控制的思想[5]，將移動機器人的軌跡跟蹤控制分為兩層，并分別基于Backstepping時變狀態(tài)反饋方法和Lyapunov理論設(shè)計驅(qū)動電機轉(zhuǎn)速控制器，實現(xiàn)了移動機器人的軌跡跟蹤，并取得了很好的實驗效果。該方法要求電機速度跟蹤精度較高，且所建模型并未考慮車輪滑轉(zhuǎn)等因素的影響，實際難以調(diào)節(jié)。駱德淵等針對移動機器人動力學(xué)的高度非線性和運動環(huán)境的不確定，提出了基于模糊邏輯的移動機器人路徑跟蹤控制方法[6]，方法對于差動轉(zhuǎn)向移動機器人的運動控制具有普適性，但其對較大曲率的軌跡跟蹤效果一般。周波等對野外環(huán)境下履帶式移動機器人的滑動效應(yīng)進行了建模研究，采用基于SR-UKF的聯(lián)合估計方法對滑動參數(shù)和機器人姿態(tài)進行在線辨識和估計，并根據(jù)估計的參數(shù)設(shè)計跟蹤控制器，實現(xiàn)了移動機器人的軌跡跟蹤控制[7]。該方法考慮到了履帶的滑動效應(yīng)，跟蹤控制精度較高，但其滑動參數(shù)的估計容易累計誤差，需要較高精度的位姿傳感器。張揚名等設(shè)計了基于有限時間控制的滑模跟蹤控制器[8]，實現(xiàn)了對輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制。該方法基于有限時間的控制使得跟蹤誤差收斂最為理想化，但其并未考慮控制量超過機器人最大限度的問題，即運動受限問題。

所謂運動受限，是指在實際情況下，由于機器人的電機功率、機械結(jié)構(gòu)、地面力學(xué)以及保護機器人的要求等等原因，移動機器人不可能以任意大的速度和加速度平動或轉(zhuǎn)動[12]?？紤]到移動機器人的運動學(xué)約束，引入運動受限策略對移動機器人的跟蹤控制律進行修正，對保證機器人的運動平滑是十分必要的。但目前的研究大多忽視了這一約束條件[7-10]，或者只考慮到速度約束而沒有到考慮加速度受限[11]。

本文對履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行研究，首先基于機器人的運動學(xué)模型和有限時間控制，設(shè)計了機器人的滑?？刂破?，然后給出了考慮運動受限作用的控制律修正表達式。通過仿真實驗，對比分析了考慮運動受限和不考慮運動受限，兩種情況下的跟蹤控制效果，研究了運動受限作用的影響。

1 運動學(xué)模型和跟蹤誤差模型

1.1 坐標系及運動學(xué)建模

圖1 坐標系及跟蹤誤差示意圖

根據(jù)圖1所示，履帶式移動機器人的運動學(xué)方程可描述為：

(1)

若履帶式移動機器人的兩側(cè)履帶的主動輪轉(zhuǎn)速分別為ωL和ωR，主動輪半徑均為r，履帶中心距為B，忽略履帶的滑動效應(yīng)，則有：

(2)

式(1)和式(2)便組成了履帶式機器人的簡單運動學(xué)模型。該模型簡單實用，便于運動控制器的設(shè)計，是目前應(yīng)用最為廣泛的移動機器人模型。

將式(2)改寫為矩陣的形式，可得η=T·u。式中η=(v,ω)T為履帶式移動機器人的中間控制輸入，u=(ωL,ωR)T為履帶式移動機器人的直接控制輸入，T為兩者的變換矩陣，且:

(3)

由上式，可在求得中間控制輸入η后，通過變換公式：

u=T-1·η

(4)

求出履帶式移動機器人兩側(cè)履帶主動輪實際的控制輸入(ωL,ωR)T。

1.2 跡跟蹤問題的描述及跟蹤誤差模型

(5)

對 (5) 式兩邊求導(dǎo)，可得履帶式移動機器人軌跡跟蹤的誤差微分方程為[5]：

(6)

履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題可描述為：在任意初始位姿下，尋求合適的有界控制輸入q=(v,ω)T，使得位姿誤差向量pe=(xe,ye,θe)T有界，且有:

(7)

2 軌跡跟蹤控制律設(shè)計

張揚名等[8]針對輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題，通過設(shè)計ω的控制律，使機器人先在有限時間內(nèi)跟蹤到參考軌跡期望的方向，并在確定方向的情況下，通過設(shè)計v的控制律，使移動機器人運動到參考軌跡期望的位置。本文參考這個控制律設(shè)計的思想，將履帶式移動機器人的跟蹤控制分為兩個部分，分別為角速度有限時間控制律設(shè)計和線速度滑模跟蹤控制律設(shè)計。

2.1 角速度有限時間控制律設(shè)計

所謂有限時間控制，就是指在有限時間將系統(tǒng)控制到平衡點。單從系統(tǒng)收斂性能來看，有限時間收斂的控制律是最理想的，但是有限時間系統(tǒng)對應(yīng)的微分方程常常是分數(shù)冪的微分方程，從而導(dǎo)致其穩(wěn)定性分析十分復(fù)雜，因此有限時間控制往往只用于低階系統(tǒng)。為此，本文先只針對航向角誤差θe的一階系統(tǒng)，進行有限時間控制律設(shè)計。首先給出相關(guān)引理。

(8)

由式(8)可解得初始狀態(tài)x(0)≠0時，任意時刻的系統(tǒng)狀態(tài)變量x(t)，系統(tǒng)可在有限時間ts內(nèi)達到平衡狀態(tài)x=0，其中：

(9)

考慮到移動機器人的運動學(xué)特性，可將移動機器人系統(tǒng)的航向角誤差θe按照引理中的一階系統(tǒng)設(shè)計有限時間控制律進行鎮(zhèn)定。這里選擇ω的控制律為：

(10)

其中：θe為狀態(tài)變量，α>0，p、q為正奇數(shù)且p

(11)

由引理可知，θe可在ω的控制律(10)的作用下在有限時間ts內(nèi)達到θe=0的平衡態(tài)，而此時有ω=ωd?？梢郧蟮茫?/p>

(12)

這樣就完成了航向角θ和期望角速度ωd在有限時間內(nèi)的跟蹤控制。

2.2 線速度滑模變結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計

對履帶式移動機器人軌跡跟蹤系統(tǒng)(6)式而言，在角速度有限時間控制律(10)的作用下，只要時間t>ts，則就有θe=0，ω=ωd，這時就只需考慮xe和ye這兩個狀態(tài)誤差的控制律設(shè)計，此時有：

(13)

針對式(13)描述的系統(tǒng)，現(xiàn)需要使用滑?？刂萍夹g(shù)來設(shè)計v的控制律。設(shè)計步驟如下：

1)切換函數(shù)設(shè)計。

可設(shè)計切換函數(shù)為：

s=xe-ye

(14)

通過設(shè)計滑?？刂坡?，使s→0，即使xe收斂到y(tǒng)e，可實現(xiàn)ye→0和xe→0。證明如下：

證明：當xe=ye時，考察Lyapunov函數(shù)：

(15)

對上式求導(dǎo)可得：

(16)

當且僅當xe=ye=0時式(16)右端取等號，因此可以得出結(jié)論：當xe與ye相等時，系統(tǒng)狀態(tài)ye收斂到0，從而xe也收斂到0。

2)選擇滑模趨近律。

選擇等速趨近律，令：

(17)

為減弱抖振，采用連續(xù)函數(shù)代替符號函數(shù)：

(18)

3)滑模控制律設(shè)計。

由式(13)和式(14)，可得：

(19)

整理可得線速度v的控制律：

(20)

以上各式中，k、δ均為大于0的常數(shù)。

需要指出的是，線速度v的控制律(20)是在航向角誤差取0的條件下得到的，因此只有在θ→0的情況下，線速度v的控制律才開始發(fā)揮作用。

3 運動受限作用

這里假設(shè)履帶式移動機器人運動時最大的轉(zhuǎn)向角速度和線速度分別為ωmax和vmax，相應(yīng)的最大加速度分別為βmax和amax，則根據(jù)式(10)和式(20)可對移動機器人的跟蹤控制律給出如下修正表達式：

(21)

(22)

4 仿真結(jié)果與分析

為驗證軌跡跟蹤控制器的有效性，并考察運動受限作用對軌跡跟蹤控制效果的影響，在Matlab環(huán)境下，對履帶式移動機器人進行了圓周軌跡跟蹤的仿真實驗。

跟蹤的參考軌跡為線速度和轉(zhuǎn)動角速度均為勻速的圓軌跡。取期望的參考速度vd=1.5m/s，ωd=0.6rad/s，設(shè)置速度限制為ωmax=0.8rad/s，vmax=4m/s，加速度限制為βmax=15rad/s2，a=20m/s2。圓軌跡半徑r=vd/ωd=2.5m，則參考圓軌跡位姿pd=(xd,yd,θd)T為：

(23)

設(shè)履帶式移動機器人的初始位姿為(1,1,0)，初始運動狀態(tài)為(v0,ω0)T=(1,0)T?？刂茀?shù)取α=6，p=9，q=11，k=2，δ=0.02。則采用控制律(10)和(20)的不考慮運動受限的跟蹤控制，同采用控制律(21)和(22)的考慮運動受限的跟蹤控制的仿真結(jié)果對比如圖2～圖6(每組圖的(a)圖為不考慮運動受限的情況，(b)圖為考慮運動受限的情況)。

圖2 跟蹤軌跡對比圖

圖3 跟蹤狀態(tài)誤差變化曲線圖

圖4 兩側(cè)履帶主動輪轉(zhuǎn)速變化曲線圖

由以上的仿真結(jié)果，對履帶式移動機器人在考慮運動受限和不考慮運動受限兩種情況下的軌跡跟蹤討論分析如下：

1)由圖2、3可知，兩種情況下，履帶式移動機器人通過本文設(shè)計的跟蹤控制律，均可快速有效地跟蹤上參考圓軌跡，且相對位置誤差均只有一次超調(diào)；

2)由圖2可以看出，考慮運動受限的圖2(b)在跟蹤剛開始時的軌跡更加平滑，但軌跡跟蹤的超調(diào)量也更大。這是因為在運動受限作用下，移動機器人的運動速度變化的劇烈程度也相應(yīng)降低。

3)由圖3可知，兩種情況下方向角誤差θe都非常很快地趨于零，這表明有限時間控制律能夠使機器人在很短的時間內(nèi)跟蹤上期望的航向角，這對于航向角跟蹤要求較高的場合非常適用；

4)由圖3可以看出加入運動受限策略后，對移動機器人跟蹤控制精度影響不大，但超調(diào)量更大，完全跟蹤上參考圓軌跡的時間更長。這是因為運動受限作用使得機器人達不到原控制所需的控制速度，跟蹤的速度必然相應(yīng)的變“慢”。

5)由圖4(b)可明顯的看出，左右主動輪轉(zhuǎn)速出現(xiàn)上限而不再繼續(xù)增大。這是因為在控制過程中觸發(fā)了運動受限的條件，移動機器人已經(jīng)達到了其運動的極限。因此圖4(a)中的跟蹤狀態(tài)是以超過機器人的運動極限為前提的。由此可以看出，引入運動受限策略是十分必要的，也是更加符合實際的。

5 總結(jié)

運動受限作用是移動機器人運動控制過程中一項基本的約束，然而很多運動控制器的設(shè)計都忽略了運動受限作用。本文對履帶式移動機器人的軌跡跟蹤控制問題進行了研究，設(shè)計了履帶式移動機器人轉(zhuǎn)向角速度的有限時間控制律和縱向線速度的滑?？刂坡?，并著重對比分析了考慮運動受限作用和不考慮運動受限作用下對于參考圓軌跡的跟蹤控制效果。討論分析的結(jié)果表明：

1)本文設(shè)計的軌跡跟蹤控制律，可實現(xiàn)移動機器人對參考軌跡的有效跟蹤；

2)運動受限作用使得移動機器人的跟蹤軌跡更加平滑；

3)有限時間控制律對于航向角跟蹤要求較高的場合十分適用；

4)運動受限作用并不影響跟蹤控制的跟蹤精度，但會增加控制時間；

5)在移動機器人跟蹤控制器設(shè)計的過程中，考慮運動受限作用是防止機器人超過其運動極限的必然要求。

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Trajectory Tracking Control for Tracked Mobile Robot with Moving Limitation

Han Jun, Ren Guoquan, Li Dongwei

(Vehicle and Electrical Engineering Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

To solve the trajectory tracking control problem of tracked mobile robots, firstly, the kinematic model and error model were established. Secondly, a finite-time controller of turning velocity and a sliding model controller of longitudinal velocity were designed for trajectory tracking, and the moving limitation expressions was given as well. Finally, based on Matlab, the simulation comparison results of the designed controllers with moving limitation and without moving limitation were analyzed. And the results show that the designed controller can track the reference circle trajectory effectively, and the controller with moving limitation is closer to fact. The paper studies and analyzes the influence of moving limitation on the trajectory tracking control of a mobile robot, and the analysis results have reference value for the motion control of other mobile robots.

tracked mobile robot; trajectory tracking; finite-time control; sliding model control; moving limitation

2017-03-01；

2017-03-15。

武器裝備預(yù)研基金(714005798)。

韓 俊(1991-)，男，安徽阜陽市人，碩士研究生，主要從事地面無人平臺技術(shù)方向的研究。

1671-4598(2017)12-0086-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.12.023

TP242

A