張良 唐駕時

摘要： 對混沌系統(tǒng)進行反控制可以實現(xiàn)分岔提前或者延遲發(fā)生，滿足工程實際需要。以一個類Lorenz混沌系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)Routh-Hurwitz準則和高維Hopf分岔理論，分析了系統(tǒng)Hopf分岔特性；提出了一種動態(tài)狀態(tài)反饋控制法，對系統(tǒng)進行Hopf分岔反控制。通過調控控制參數(shù)，可以在預定任意位置產(chǎn)生Hopf分岔，使Hopf分岔提前或延遲發(fā)生，達到了預期的反控制目的。從分析結果看出，提出的動態(tài)狀態(tài)反饋控制法可以避免復雜的計算過程，能夠有效地實現(xiàn)對混沌系統(tǒng)的Hopf分岔反控制。

關鍵詞： 非線性振動； 混沌系統(tǒng)； Routh-Hurwitz準則； Hopf分岔反控制； 動態(tài)狀態(tài)反饋控制法

中圖分類號： O322 文獻標志碼：A 文章編號1004-4523（2018）05-0752-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.004

引 言

自1963年，E N Lorenz實驗中偶然發(fā)現(xiàn)混沌吸引子，即Lorenz系統(tǒng)以來，對于混沌系統(tǒng)的認識和研究取得了極大的進步。現(xiàn)在人們不僅關注發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)，更關注系統(tǒng)自身混沌和分岔特性的研究。楊啟貴等[1]提出了一個新的類Lorenz系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的規(guī)范型。Mello等[2]研究了一個三維類Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子，通過第一李雅普諾夫系數(shù)分析了系統(tǒng)的分岔特性。Li等[3]提出了一個新的類Lorenz混沌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)的同宿軌道，以及系統(tǒng)在不同平衡點下的分岔特性。Shan Wang等[4]提出了一個五維類Lorenz系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)分數(shù)階分岔。

分岔控制與反控制已成為非線性動力學研究的重點方向之一。而分岔反控制是分岔控制的逆過程，其主要目的是通過控制系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)在預先設置的臨界值上出現(xiàn)預期的分岔現(xiàn)象，是產(chǎn)生分岔的過程，而不是避免或者消除[5-10]。

不少學者對分岔反控制做了研究，程尊水[11]采用Washout filter法對Chen系統(tǒng)進行Hopf分岔反控制，通過調控控制參數(shù)，可以實現(xiàn)在預定的臨界值發(fā)生Hopf分岔；劉素華等[12]根據(jù)Hopf分岔理論，采用線性與非線性狀態(tài)反饋法對四維Qi系統(tǒng)零平衡點處的Hopf分岔進行了反控制，分岔參數(shù)的不同，可以實現(xiàn)不同的反控制方案。Yu等[13]提出了一個新的反控制法，并以該控制法為基礎，實現(xiàn)了一般自治系統(tǒng)的混沌化。伍新等[14]對三自由度含間隙雙面碰撞振動系統(tǒng)的Poincaré映射叉式分岔進行反控制，通過對控制參數(shù)的調整，可以實現(xiàn)穩(wěn)定的叉式分岔解。吳志強等[15]對Rssler 系統(tǒng)設置了非線性Washout控制器，對系統(tǒng)的Hopf分岔臨界值、分岔類型以及極限環(huán)等進行了分岔控制。Zhang等[16]對一維Logistic映射設置了線性控制器，根據(jù)反饋控制法對系統(tǒng)二周期倍分岔點進行了反控制，實現(xiàn)了預期目的。

文獻[17]提出了一種反饋控制方法，受控系統(tǒng)的平衡點與預設分岔臨界值有關，具有一定的特殊性。以此為基礎，本文提出了一種動態(tài)狀態(tài)反饋控制法，不改變平衡點的情況下，可對系統(tǒng)進行Hopf分岔反控制。文中以文獻[3]提出的三維自治類Lorenz系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)Routh-Hurwitz準則和高維Hopf分岔理論，分析了系統(tǒng)的Hopf分岔特性，采用動態(tài)狀態(tài)反饋控制法對系統(tǒng)進行Hopf分岔反控制，通過調控控制參數(shù)，實現(xiàn)了預設的Hopf分岔現(xiàn)象的發(fā)生，達到了反控制的目的。