陳 聰, 孫嘉慶, 危玉倩, 李定國

(海軍工程大學(xué)， 武漢 330031)

【航空和航海工程】

艦船靜態(tài)電場(chǎng)微分遞推換算法的泰勒展開優(yōu)化

陳 聰, 孫嘉慶, 危玉倩, 李定國

(海軍工程大學(xué)， 武漢 330031)

針對(duì)艦船靜態(tài)電場(chǎng)的微分遞推換算法在遞推換算過程中誤差不斷積累這一問題，提出運(yùn)用泰勒展開定理對(duì)其優(yōu)化。推導(dǎo)出垂向二階偏導(dǎo)數(shù)與水平二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將其代入泰勒二階展開后的遞推公式，然后利用拉格朗日五點(diǎn)插值法，求得水平二階偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)遞推公式的優(yōu)化。對(duì)改進(jìn)前與改進(jìn)后的微分遞推法的換算精度進(jìn)行仿真比較，結(jié)果表明改進(jìn)后的微分遞推換算法的換算精度更高，說明了泰勒展開法對(duì)其進(jìn)行精度優(yōu)化可行。

艦船靜態(tài)電場(chǎng)；微分遞推；深度換算；泰勒展開

隨著艦船探測(cè)技術(shù)和隱身技術(shù)的發(fā)展，國內(nèi)外對(duì)艦船靜態(tài)電場(chǎng)的研究也越來越多，在這其中，艦船電場(chǎng)的深度換算作為掌握艦船靜態(tài)電場(chǎng)分布的重要手段也越來越受到關(guān)注[1-3]。微分遞推法從艦船靜態(tài)電場(chǎng)換算問題中換算區(qū)域內(nèi)無源無旋這一特征出發(fā)，通過尋找兩相鄰中間層之間的遞推關(guān)系，在逐步遞推中由一個(gè)測(cè)量平面上的電場(chǎng)分布特征得到一定深度平面上電場(chǎng)的分布特征，相比于電性模擬體法[4]和拉氏方程法[5]，微分遞推換算法[6]的計(jì)算過程簡單且同時(shí)適用于由遠(yuǎn)及近與由近及遠(yuǎn)兩類換算問題。但由于在遞推過程中，誤差的累積效應(yīng)也越來越明顯，影響了換算結(jié)果的精度。泰勒公式作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)公式，廣泛應(yīng)用于各類數(shù)學(xué)、物理問題的近似逼近處理當(dāng)中[7-8]，本文首先從換算區(qū)域內(nèi)的物理規(guī)律入手，推導(dǎo)了換算區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度三分量的水平二階偏導(dǎo)數(shù)與垂向二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，然后運(yùn)用泰勒公式對(duì)遞推公式進(jìn)行泰勒展開，得到了改進(jìn)后的遞推公式，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，經(jīng)過泰勒展開改進(jìn)后的遞推誤差要低于未修正的遞推誤差，從而說明了這一改進(jìn)方法的可行性。

1 微分遞推法簡介

艦船靜態(tài)電場(chǎng)的深度換算問題分為兩類，一類是由近源平面向遠(yuǎn)源平面換算稱為由近及遠(yuǎn)換算，如圖1(a)所示；另一類則是由遠(yuǎn)源平面向近源平面換算稱為由遠(yuǎn)及近換算。如圖1(b)所示。以由近及遠(yuǎn)換算中電場(chǎng)強(qiáng)度的x分量Ex的換算為例，根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，兩中間層平面上的Ex值有如下關(guān)系：

(1)

圖1 換算示意圖

若遞推步長Δz足夠小則有：

(2)

又測(cè)量平面與目標(biāo)平面之間的換算區(qū)域內(nèi)靜態(tài)電場(chǎng)無源、無旋，所以：

(3)

也即：

(4)

得:

(5)

代入式(2)可得：

(6)

類似得可以得到：

(7)

(8)

這一方法運(yùn)算簡單，實(shí)用性較強(qiáng)，但由于在逐步遞推的過程中，換算誤差的累積效應(yīng)增大，降低了換算精度。

2 微分遞推法的改進(jìn)

為了提高微分遞推法的換算精度，本文提出利用泰勒公式對(duì)遞推公式進(jìn)行二階泰勒展開，來實(shí)現(xiàn)對(duì)算法的優(yōu)化。仍以由近及遠(yuǎn)換算中電場(chǎng)強(qiáng)度的x分量Ex的換算為例,對(duì)式(2)進(jìn)行二階泰勒展開即有：

(9)

同理可得Ey和Ez的換算公式:

(10)

(11)

將式(5)所得結(jié)果代入式(9)、(10)、(11)得到:

(12)

(13)

(14)

與一階導(dǎo)數(shù)相類似，只根據(jù)一個(gè)測(cè)量平面的測(cè)量值無法得到垂向二階偏導(dǎo)數(shù)的初始值，因此必須找到垂向二階偏導(dǎo)數(shù)與水平二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

對(duì)式(5)等式兩邊對(duì)z求偏導(dǎo)，分別得到Ex，Ey，Ez對(duì)z的二階偏導(dǎo)：

(15)

交換求偏導(dǎo)次序，結(jié)合式(5)得:

(16)

即得到了垂向二階偏導(dǎo)數(shù)與水平二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，代入式(11)、(12)、(13)得到

(17)

(18)

(19)

根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的五點(diǎn)公式[12]，結(jié)合測(cè)量平面上電場(chǎng)三分量的測(cè)量值，可以求得水平二階偏導(dǎo)數(shù)的初始值，代入式(17)、(18)、(19)逐層遞推得即可到待求平面上電場(chǎng)強(qiáng)度三分量的數(shù)值。

3 對(duì)改進(jìn)效果的評(píng)價(jià)

在艦船靜態(tài)電場(chǎng)的研究當(dāng)中，國內(nèi)外很多學(xué)者利用電偶極子模型對(duì)產(chǎn)生艦船靜態(tài)電場(chǎng)的場(chǎng)源進(jìn)行等效[10-11]。本文以一個(gè)水平電偶極矩為1 A·m的水平直流電偶極子在三層海洋模型中產(chǎn)生的電場(chǎng)模擬艦船靜態(tài)電場(chǎng)，海水電導(dǎo)率設(shè)為4 S/m，海床電導(dǎo)率為0.4 S/m，選取大小為60 m×60 m的測(cè)量平面，按照?qǐng)D1所示建立坐標(biāo)系(以海水-空氣界面為xoy平面)，對(duì)改進(jìn)后與改進(jìn)前微分遞推算法對(duì)兩類換算問題的換算精度的改進(jìn)效果進(jìn)行研究。

3.1 對(duì)由近及遠(yuǎn)換算的改進(jìn)效果

設(shè)定參數(shù)如表1，對(duì)改進(jìn)前后由近及遠(yuǎn)換算的換算精度的變化進(jìn)行研究。

表1 模擬參數(shù)設(shè)定

圖2為未進(jìn)行改進(jìn)的微分遞推法換算得到的待求平面上的電場(chǎng)強(qiáng)度的換算值與理論值在y=10 m處的曲線圖，由圖中可以看出，換算結(jié)果與理論值之間存在一定的誤差，Ey與Ex的換算誤差尤其明顯。

圖3為進(jìn)行改進(jìn)后的微分遞推法換算得到的待求平面上的電場(chǎng)強(qiáng)度的換算值與理論值在y=10 m處的曲線圖，由圖中可以看出，換算結(jié)果與理論值契合的較好，相較于圖2而言，換算值與理論值之間的差距大大減小。

圖2 y=10 m處改進(jìn)前由近及遠(yuǎn)換算時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度三分量換算值與理論值

圖3 y=10 m處改進(jìn)后由近及遠(yuǎn)換算時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度三分量換算值與理論值

采用相對(duì)均方根誤差對(duì)換算誤差進(jìn)行量化得到表2，由表2可以看出改進(jìn)后的換算誤差明顯小于改進(jìn)前的誤差，這也說明了在當(dāng)前換算參數(shù)條件下泰勒展開對(duì)微分遞推法改進(jìn)的可行性。

表2 由近及遠(yuǎn)換算中算法改進(jìn)前后誤差

為了進(jìn)一步考察由近及遠(yuǎn)換算中泰勒展開改進(jìn)后的遞推算法取不同遞推步長時(shí)的改進(jìn)效果，保持表1中其他參數(shù)不變，分別取Δz為0.1 m、0.3 m、0.5 m、0.6 m、1.5 m、2 m、3 m，考察電場(chǎng)強(qiáng)度三分量的換算誤差在換算前后的變化，得到圖4。

由圖4可以看出，當(dāng)Δz小于0.6 m時(shí)，改進(jìn)后的電場(chǎng)三分量換算誤差大于改進(jìn)之前;當(dāng)Δz大于0.6 m時(shí)，改進(jìn)后換算誤差小于改進(jìn)之前，且改進(jìn)后換算誤差維持在一個(gè)比較低的水平上。

這是由于用拉格朗日五點(diǎn)插值法所求的一階水平偏導(dǎo)數(shù)值和二階水平偏導(dǎo)數(shù)值與其理論值之間存在誤差，且這一誤差隨著水深z的增大而減小。由近及遠(yuǎn)換算是由誤差較大的一階水平偏導(dǎo)數(shù)值和二階水平偏導(dǎo)數(shù)值向誤差較小的方向換算，一階水平偏導(dǎo)數(shù)值和二階水平偏導(dǎo)數(shù)值的誤差積累的較快，當(dāng)Δz小于0.6 m時(shí)，遞推次數(shù)較多，由于改進(jìn)算法引入了二階導(dǎo)數(shù)的誤差，遞推次數(shù)越多，二階導(dǎo)數(shù)的誤差逐步累積，故改進(jìn)效果不明顯。但隨著遞推步長的增大，二階導(dǎo)數(shù)誤差的影響效果被弱化，換算精度得到改善，換算誤差維持在一個(gè)較低的水平。

3.2 對(duì)由遠(yuǎn)及近換算的改進(jìn)效果

設(shè)定測(cè)量平面位置為26 m，待求平面為20 m，Δz=-3(負(fù)號(hào)代表方向，以下均取其絕對(duì)值)維持3.1中其他參數(shù)設(shè)定不變，對(duì)泰勒展開優(yōu)化后的微分遞推算法的換算效果進(jìn)行考察，得到圖5，圖6。

圖4 改進(jìn)后前后由近及遠(yuǎn)換算時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度三分量換算值與理論值

圖5 y=10 m處改進(jìn)前由遠(yuǎn)及近換算時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度三分量換算值與理論值

圖6 y=10 m處改進(jìn)后由遠(yuǎn)及近換算時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度三分量換算值與理論值

圖7 改進(jìn)前后由遠(yuǎn)及近換算時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度三分量換算值與理論值

對(duì)比圖5、6，可以看出，在由遠(yuǎn)及近換算中，改進(jìn)后的微分遞推算算法的換算出的換算值與理論值的契合程度要優(yōu)于改進(jìn)之前。用相對(duì)均方根誤差對(duì)換算誤差進(jìn)行量化，得到表3所得結(jié)果。

以相對(duì)均方根誤差超過50%時(shí)的換算深度為極限換算深度，改進(jìn)后由遠(yuǎn)及近換算的極限換算深度由改進(jìn)前的40 m提升到49 m。進(jìn)一步考察遞推步長為0.1 m、0.3 m、0.5 m、0.6 m、1 m、1.5 m、2 m、3 m時(shí)泰勒展開對(duì)微分遞推算法的優(yōu)化效果，得到圖7。由圖7可以看出，由遠(yuǎn)及近換算時(shí)，改進(jìn)后的微分遞推法的換算誤差始終小于改進(jìn)前算法的換算誤差。這是因?yàn)?，與由近及遠(yuǎn)換算相比，由遠(yuǎn)及近換算是由誤差較小的一階水平偏導(dǎo)數(shù)值和二階水平偏導(dǎo)數(shù)值得到誤差較大的一階水平偏導(dǎo)數(shù)值和二階水平偏導(dǎo)數(shù)值，因此誤差積累的較慢，二階導(dǎo)數(shù)誤差的引入對(duì)換算的影響較小。

表3 由遠(yuǎn)及近換算中算法改進(jìn)前后誤差

4 結(jié)論

依據(jù)泰勒公式對(duì)微分遞推法中離散化的遞推公式進(jìn)行泰勒展開，在理論上推導(dǎo)出水平二階偏導(dǎo)數(shù)與垂向偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得到了改進(jìn)后的遞推公式，弱化微分遞推法中誤差的累積效應(yīng)。仿真分析表明，改進(jìn)后的微分遞推算法用于艦船靜態(tài)電場(chǎng)的深度換算時(shí)，換算精度更高，尤其是應(yīng)用于由遠(yuǎn)及近的換算當(dāng)中。但也可以發(fā)現(xiàn)，泰勒展開優(yōu)化引入了二階偏導(dǎo)數(shù)，而通過五點(diǎn)插值法求得的二階偏導(dǎo)數(shù)值存在一定的誤差，這使得泰勒展開法在解決誤差累積效應(yīng)問題中展現(xiàn)出了一定的局限性。為解決這一問題，今后的研究中，可以嘗試采用理查德森外推法對(duì)五點(diǎn)插值法求導(dǎo)過程進(jìn)行優(yōu)化處理，以求獲得更高的換算精度，從而弱化引入的二階偏導(dǎo)誤差的影響，提高其優(yōu)化效果。

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TaylorExpansionOptimizationofDifferentialRecursiveAlgorithmforStaticElectricFieldofShips

CHEN Cong， SUN Jiaqing， WEI Yuqian， LI Dingguo

(Naval university of engineering, Wuhan, Hubei 330031, China)

In order to solve the problem of constant accumulation of errors in the recursive conversion algorithm for static electric field of ships, a Taylor expansion theorem was proposed to optimize the algorithm.The recursive formula of recursive conversion algorithm was put forward based on a second-order expansion of Taylor theorem,and the vertical second-order partial derivatives in the formula was converted to horizontal second-order partial derivatives which could be calculated by using the Lagrange five point interpolation method.In comparison of the improved recursive algorithm and the unimproved recursive algorithm,the simulation calculation was done, and result showed that the conversion accuracy of the improved recursive algorithm is higher than the unimproved one which showed the feasibility of the Taylor expansion method.

static electric field of ship; differential recursion; depth conversion; Taylor expansion

2017-09-05；

2017-09-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51109215)；學(xué)校科研發(fā)展基金自主立項(xiàng)(425517k101)

陳聰(1971—),女，博士，教授，主要從事水下軍用目標(biāo)特性及信息融合研究。

孫嘉慶(1993—)，男，碩士研究生，主要從事艦船水下電場(chǎng)目標(biāo)特性研究。

10.11809/scbgxb2017.12.049

本文引用格式：陳聰, 孫嘉慶, 危玉倩, 等.艦船靜態(tài)電場(chǎng)微分遞推換算法的泰勒展開優(yōu)化[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(12):221-226.

formatCHEN Cong，SUN Jiaqing，WEI Yuqian，et al.Taylor Expansion Optimization of Differential Recursive Algorithm for Static Electric Field of Ships[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(12):221-226.

TJ6

A

2096-2304(2017)12-0221-06

(責(zé)任編輯楊繼森)