邵俊倩 李成鳳 孫 劍

（綏化學(xué)院信息工程學(xué)院 綏化 152061）

帶領(lǐng)導(dǎo)者和不同時滯的多無人機(jī)系統(tǒng)編隊控制?

邵俊倩 李成鳳 孫 劍

（綏化學(xué)院信息工程學(xué)院 綏化 152061）

基于多智能體系統(tǒng)時滯一致性理論，對有領(lǐng)導(dǎo)者和不同時滯的多無人機(jī)系統(tǒng)編隊控制問題進(jìn)行研究，改進(jìn)了系統(tǒng)的控制協(xié)議，使多無人機(jī)系統(tǒng)在獲得很少信息的情況下就能實現(xiàn)一致。在變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，采用時域LMI方法得到不同時滯二階多無人機(jī)系統(tǒng)達(dá)到一致的充分條件，通過解線性矩陣不等式得到了時滯的最大容許值。進(jìn)一步，對無人機(jī)間通信時滯和無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者間通信時滯相同的情況加以討論，并通過仿真實驗驗證了控制器設(shè)計的有效性。

多無人機(jī)系統(tǒng)；通信時滯；控制器；一致性理論

1 引言

多智能體系統(tǒng)的時滯一致性理論由于其應(yīng)用的廣泛性，已受到諸多專家學(xué)者的關(guān)注，成為多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的研究熱點之一［1］。然而，對于時滯一致性來說，其研究歷史相對較短。Olfati-Sa?ber等［2］在2004年首次對動態(tài)系統(tǒng)的時滯一致性問題進(jìn)行了建模，通過頻域分析法，獲得了傳輸為單常時滯的多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的充要條件。2005年，Bliman［3］等進(jìn)一步對時變時滯及多時滯問題進(jìn)行研究，得到了單時變時滯情況下的充要條件及多時變時滯情況下的充分條件。由于處于時滯一致性研究的初期，上述研究的智能體系統(tǒng)模型均為一階積分器。然而，從控制一致性的角度來看，二階積分器模型較一階積分器模型能更精確地刻畫系統(tǒng)的動態(tài)［1］。早在 2005年，Ren［4］等就對無通信時滯二階積分器型智能體系統(tǒng)一致性進(jìn)行了理論研究，但是，對于有時滯的一致性問題，直到2007年，Lin等才對固定拓?fù)湎碌某r滯二階多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行了研究［5］。對二階多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究，真正意義上地將代數(shù)圖論與動力學(xué)理論有機(jī)地結(jié)合起來，為一致性理論的研究與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。針對二階多智能體系統(tǒng)的時滯一致性，人們同樣進(jìn)行了大量的研究，并取得了豐碩的成果［6～14］。

雖然，在文獻(xiàn)［6］中對具有隨機(jī)時滯的多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行了研究，但在控制器的設(shè)計上有一些局限。本文將文獻(xiàn)［6］中的控制器加以改進(jìn)，把智能體具體化為無人機(jī)，研究有領(lǐng)導(dǎo)者和不同時滯的二階多無人機(jī)系統(tǒng)的一致性控制。在變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，采用時域LMI方法對不同時滯多無人機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行研究，通過解線性矩陣不等式得到時滯的最大容許值。

2 圖論基礎(chǔ)

有向圖 G(V，E，A)包含 n 個節(jié)點，其中V={e1，e2，…，en}為節(jié)點集，E?V×V 為圖G 的邊集，其元素eij=(i，j)∈E稱為圖G的邊，邊的權(quán)值矩陣為 A=[aij]稱為鄰接矩陣，其中 aij≥0(i≠j)，aii=0。圖G的節(jié)點在集合 I={1，2，…，n}中取值。如果這個有向圖滿足aij=aji(i，j∈I)，則圖G稱為無向圖。節(jié)點ei的鄰集可以記為Ni={ej∈V:(ei，ej)∈E}，圖 G 的Laplacian矩陣為 L=(lij)，其中。如果存在一個節(jié)點使得任意節(jié)點到這個節(jié)點都有有向路徑，則稱有向圖是強(qiáng)聯(lián)通的。

引理1：設(shè) L是有向圖G的Laplacian矩陣，則L有一個零特征值，其余n-1個特征值全部具有正實部。特別的，若G是無向圖，它的特征值全是正實數(shù)。

3 系統(tǒng)模型

考慮由 n+1個無人機(jī) e0，e1，…，en構(gòu)成的多無人機(jī)系統(tǒng)，其中節(jié)點e0代表領(lǐng)導(dǎo)者且為全局可達(dá)點，其它節(jié)點 e1，e2，…，en代表跟隨者。同樣，定義一個對角矩陣D∈Rn×n為領(lǐng)導(dǎo)者的鄰接矩陣，其對角元素為di=ai0。如果節(jié)點e0是節(jié)點ei的鄰居節(jié)點，則ai0＞0；否則，ai0=0。其余n個跟隨者的系統(tǒng)動態(tài)可描述為

且 初 始 條 件 為 xi(t)=xi(0)，vi(t)=vi(0)，t∈(-∞，0]，其中，xi(t)∈Rn，vi(t)∈Rn分別表示第 i個無人機(jī)的位置和速度狀態(tài)，ui(t)∈Rn為控制協(xié)議。

假定領(lǐng)導(dǎo)者的速度為恒定值，它的運動狀態(tài)是獨立的，不受其它節(jié)點的影響，而跟隨者受領(lǐng)導(dǎo)者和其它跟隨者的影響。領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)方程為

其中，x0(t)為領(lǐng)導(dǎo)者的位置，v0為期望的常值速度。

控制協(xié)議設(shè)計的目的是使跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度趨于相同，即多無人機(jī)系統(tǒng)（1）達(dá)到一致當(dāng)且僅當(dāng)無人機(jī)的位置和速度變量分別滿足：

為了解決上述有領(lǐng)導(dǎo)者的二階多無人機(jī)系統(tǒng)的一致性問題，在變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，考慮無人機(jī)之間的通信時滯和無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者之間通信時滯不相等的情況，選取如下控制協(xié)議：

其中，k1＞0，k2＞0為控制參數(shù)，aij為有向圖邊的權(quán)值，τ是系統(tǒng)中無人機(jī)間的通信時滯，di為領(lǐng)導(dǎo)者鄰接矩陣中的元素，且di=ai0。

當(dāng)無人機(jī)之間的通信時滯τij和無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者之間通信時滯τi0不相等時，設(shè)

令

可得

記

于是，變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下系統(tǒng)動態(tài)可表示為

這里L(fēng)σ是圖G的Laplacian矩陣，Dσ為領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的鄰接矩陣，‘?’表示Kronecker積。

4 帶領(lǐng)導(dǎo)者的不同時滯多無人機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

引理 2［15］設(shè)向量 x，y∈Rn，對任意正定矩陣N∈Rn×n，有 2xTy≤xTN-1x+yTNy。

則多無人機(jī)系統(tǒng)（7）的狀態(tài)能夠達(dá)到一致。其中證明：定義系統(tǒng)（7）的Lyapunov函數(shù)如下：

由于V(t)＜0 的充要條件是

這里

由引理3可知L＜0的充要條件是L＜0。于是，在定理1的條件下有

成立，因此系統(tǒng)（7）是漸近穩(wěn)定的，因此

綜上所述，變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下帶領(lǐng)導(dǎo)者的不同時滯多無人機(jī)系統(tǒng)（7）可以達(dá)到一致。

當(dāng)無人機(jī)之間的通信時滯τij和無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者之間通信時滯τi0相等時，設(shè)

利用控制協(xié)議（4），變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下系統(tǒng)動態(tài)可表示為

定理2 考慮無人機(jī)之間的通信時滯和無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者之間通信時滯相等的有向切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的二階多無人機(jī)系統(tǒng)，利用控制協(xié)議（4），如 果 存 在 對 稱 矩 陣 P＞0，M＞0，N＞0 ，且P，M，N∈R2n×2n滿足

則多無人機(jī)系統(tǒng)（9）能夠達(dá)到一致。其中，

證明：定義系統(tǒng)（9）的Lyapunov函數(shù)如下：

沿著式（9）的解求V(t)的導(dǎo)數(shù)得

于是

由引理3可知L＜0的充要條件是Γ＜0。于是，在定理1的條件下有

成立，因此系統(tǒng)（9）是漸近穩(wěn)定的，因此

綜上所述，切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下帶領(lǐng)導(dǎo)者的相同時滯多無人機(jī)系統(tǒng)（9）可以達(dá)到一致。

推論 對于無時滯有向變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下帶領(lǐng)導(dǎo)者的二階多無人機(jī)系統(tǒng)（9），如果存在對稱矩陣 P＞0，M＞0，N＞0，且 P，M，N∈R2n×2n滿足

那么，二階多無人機(jī)系統(tǒng)（9）可以達(dá)到一致。

5 仿真結(jié)果

考慮包含4個無人機(jī)的有領(lǐng)導(dǎo)者和時滯的變拓?fù)溆邢蚓W(wǎng)絡(luò)，圖1中Ga，Gb，Gc表示三種不同的無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者的連接拓?fù)鋱D，節(jié)點0為全局可達(dá)點，每一邊對應(yīng)的權(quán)值為1，圖2為拓?fù)淝袚Q圖，描述了切換從Ga開始每隔0.02s切換到下一個狀態(tài)。設(shè)領(lǐng)導(dǎo)者的初始狀態(tài)及期望速度為x0=0，v0=0.2，系統(tǒng)狀態(tài)的初始值設(shè)為

取協(xié)議參數(shù)k1=k2=1，應(yīng)用定理2，可知線性矩陣不等式（10）有可行解，并解得系統(tǒng)的最大容許時滯為τ=0.469s。這里取τ=0.3s，變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的位置和速度誤差曲線分別為圖3和圖4，所有智能體（無人機(jī)）與領(lǐng)導(dǎo)者能夠達(dá)到漸近一致。此外，對具有不相同時滯的二階有領(lǐng)導(dǎo)者的多無人機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。依然取k1=k2=1，由定理1，經(jīng)過計算可得最大不相等時滯分別為τ1=0.435s，τ2=0.583s，圖5和圖6分別為 τ1=0.2s，τ2=0.4s時變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的位置和速度誤差曲線。仿真結(jié)果驗證了定理1與定理2結(jié)論的正確性和有效性。

圖1 無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者的連接拓?fù)鋱D

圖2 拓?fù)淝袚Q圖

圖3 τ=0.3s時位置誤差曲線

圖4 τ=0.3s時速度誤差曲線

圖5 τ1=0.2s，τ2=0.4s時位置誤差曲線

圖6 τ1=0.2s，τ2=0.4s時速度誤差曲線

6 結(jié)語

本文研究了帶領(lǐng)導(dǎo)者的不同時滯多無人機(jī)系統(tǒng)一致性控制問題。在變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，針對無人機(jī)間通信時滯和無人機(jī)與領(lǐng)導(dǎo)者間通信時滯相同與不同兩種情況，采用時域LMI方法得到二階時滯多無人機(jī)系統(tǒng)一致性的充分條件，該條件是以線性矩陣不等式形式給出的，通過解該不等式可以得到時滯的最大容許值。最后，仿真結(jié)果驗證了所得理論結(jié)果的正確性和有效性。本文的研究為下一步進(jìn)行有領(lǐng)導(dǎo)者的隨機(jī)時滯多無人機(jī)系統(tǒng)的一致性控制問題打下了堅實的基礎(chǔ)。

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Formation Control of Multi-UAVs System With One Leader and Different Time-Delay

SHAO Junqian LI Chengfeng SUN Jian
（College of Information Engineering，Suihua University，Suihua 152061）

Based on consistency theory of Multi-agent systems with time-delay，the formation control problem is studied for multi-UAVs system with one leader and different time-delay.Control protocol of the system is Improved，it make multi-UAVs sys?tem in the case of a few information to ensure consensus.In the network with switching topology，the time domain linear matrix in?equality（LMI）method is employed，suffcient condition in terms of LMI is derived to ensure consensus of second order multi-UAVs system，which can provide the allowable upper bound of time-delay.Further communication time-delay among unmanned aerial ve?hicles is equal to communication time-delay between unmanned aerial vehicle and the leader that condition is discussed，and a sim?ulation example is provided to show the effectiveness of controllers design.

multi-UAVs system，communication time-delay，controller，consistency theory

Class Number TP18

TP18

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.12.013

2017年6月28日，

2017年7月29日

黑龍江省綏化市科技計劃項目（編號：SHKJ2015-017）；綏化學(xué)院杰出青年基金項目（編號：SJ15005）資助。

邵俊倩，女，碩士，講師，研究方向：多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制。李成鳳，女，碩士，講師，研究方向：多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制。孫劍，女，碩士，副教授，研究方向：多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制。