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(廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程系，廣東廣州 510510)

一種基于高階梯度理論的微構(gòu)件力學(xué)尺度效應(yīng)模型*

原波，丘永亮，何顯運(yùn)，徐勇軍

(廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程系，廣東廣州 510510)

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)微構(gòu)件的力學(xué)性能存在尺度效應(yīng)，傳統(tǒng)力學(xué)模型無(wú)法解釋這一現(xiàn)象。該論文基于高階應(yīng)變梯度理論構(gòu)建了一種針對(duì)微構(gòu)件在三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)中的彈性性能的尺度效應(yīng)模型，該模型包含一個(gè)與材料自身相關(guān)的一個(gè)參數(shù)，可以解釋微構(gòu)件在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中彈性力學(xué)性能的尺度效應(yīng)。通過(guò)對(duì)比該理論模型與已有模型之間的關(guān)系，分析了模型的適用性。

微構(gòu)件，尺度效應(yīng)，高階梯度理論

1 引言

許多針對(duì)微構(gòu)件的力學(xué)實(shí)驗(yàn)證實(shí)，其力學(xué)性能會(huì)隨著其特征尺寸的減小而發(fā)生顯著變化[1]。由于經(jīng)典力學(xué)中不存在材料尺度參量，因此無(wú)法解釋微構(gòu)件力學(xué)性能的尺度效應(yīng)，在經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展包含材料尺度參量的高階應(yīng)變梯度理論，有望為微構(gòu)件的力學(xué)研究提供新思路。有研究指出，微構(gòu)件的尺度效應(yīng)可能是由材料內(nèi)部的非局部效應(yīng)導(dǎo)致。該方面的開(kāi)創(chuàng)性工作可以追溯到由Toupin 和 Mindlin 等人建立的非局部應(yīng)變梯度理論模型[2]，F(xiàn)leck 和 Hutchinson等人對(duì)該模型做了進(jìn)一步完善，簡(jiǎn)化了模型尺度參數(shù)[3]。Yang 等人進(jìn)一步簡(jiǎn)化了Fleck 和 Hutchinson 的理論模型，并建立了各向同性介質(zhì)材料的應(yīng)變梯度線彈性力學(xué)模型[4]。Lam 等人又提出了針對(duì)環(huán)氧樹(shù)脂懸臂梁彎曲變形的高階應(yīng)變彈性理論模型[5]。本論文利用最小勢(shì)能原理，基于Toupin 和 Mindlin的高階應(yīng)變梯度理論(High order strain gradient，HSGE)構(gòu)建了一種新的非局部理論模型，該模型包含一個(gè)與材料自身相關(guān)的一個(gè)參數(shù)，可以解釋微構(gòu)件在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中彈性力學(xué)性能的尺度效應(yīng)。

2 理論模型

+b1φiijjφkkll+b2φijkkφijll+b3φiijkφjkll+b4φiijkφl(shuí)lkj+b5φiijkφl(shuí)ljk+b6φijklφijkl+b7φijklφjkli

+c1εiiφjjkk+c2εijφijkk+c3εijφkkjj+b0φiijj

(1)

其中：λ和μ為拉梅常數(shù)，an，bn和cn(n=1，2，3，…)為 HSGE 模型中的常數(shù)，詳見(jiàn)Toupin和 Mindlin的模型[2，6-7]。εij、ηijk和φijkl(i，j，k，l=x，y，z)分別表示一階、二階和三階變形梯度的分量。

在載荷q(x)的作用下，圖1所示的微結(jié)構(gòu)纖維的位移分量可以表示為：

u≈-z?w(x)/?x，v=0，w=w(x)

(2)

其中：u、v和w分別表示位移矢量u在x、y和z方向的分量?？梢杂?jì)算出變形梯度一階、二階和三階分量中非零項(xiàng)為：

圖1 微結(jié)構(gòu)纖維在外載荷作用下的彎曲示意圖Fig.1 Schematic for general bending test ofmicrofiber under external force

(3)

將式(3)代入式(1)中，對(duì)整個(gè)微結(jié)構(gòu)纖維進(jìn)行體積積分，可以得到應(yīng)變能U的表達(dá)式為：

(4)

引入如下的關(guān)系式(5)：

(5)

其中E和v分別表示微結(jié)構(gòu)材料的楊氏模量及泊松比，式(4)可以表示為：

(6)

其中I和A分別為材料的慣性矩和橫截面積。

如圖1所示，外載荷的外力功可以表示為：

(7)

受力微結(jié)構(gòu)纖維的總勢(shì)能可以表示為：

∏ =U-W

(8)

根據(jù)最小勢(shì)能原理δ∏=0，通過(guò)變分計(jì)算可以得到如下的平衡方程：

(9)

研究如圖2所示的兩端固支微結(jié)構(gòu)受力模型，對(duì)于直徑為D，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的桿狀纖維結(jié)構(gòu)，在中部集中載荷 的作用下，利用邊界條件，可以得到式(9)的解為：

圖2 兩端固支單根微結(jié)構(gòu)在集中載荷作用下的彎曲示意圖Fig.2 Coordinate system for a single-strandmicro-structure loaded in three-point bendingby external force

(10)

從表達(dá)式(10)中可以看出，纖維位移量的計(jì)算結(jié)果與材料參數(shù)an(n=1，2，3，4)有關(guān)，如果忽略材料內(nèi)部非均勻效應(yīng)的影響，則材料參數(shù)均為零，表達(dá)式回歸為：

(11)

式(11)即為經(jīng)典力學(xué)體系中歐拉-伯努利梁在三點(diǎn)彎曲變形條件下的理論解。材料的最大變形量發(fā)生在中部，即x=L/2處。忽略泊松效應(yīng)，則材料的最大變形量表示為：

(12)

(13)

(14)

3 總結(jié)

為了解釋微結(jié)構(gòu)在三點(diǎn)彎曲變形中所存在的尺度效應(yīng)，基于HSGE理論建立了一種尺度效應(yīng)模型。通過(guò)該模型可以計(jì)算出材料在彎曲變形中的尺度效應(yīng)。

[1] Lim C T，Tan E P S，Ng S Y. Effects of crystalline morphology on the tensile properties of electrospun polymer nanofibers[J]. Applied Physics Letters. 2008，92(14)：141908.

[2] Mindlin R D. Second gradient of strain and surface tension in linear elasticity[J]. International Journal of Solids and Structures. 1965，1：417-438.

[3] Fleck N A，Hutchinson J W. A reformulation of strain gradient plasticity[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2001，49(10)：2245-2271.

[4] Yang F，Chong A C M，Lam D C C，et al. Couple stress based strain gradient theory for elasticity[J]. International Journal of Solids and Structures. 2002，39(10)：2731-2743.

[5] Lam D C C，Yang F，Chong A C M，et al. Experiments and Theory in Strain Gradient Elasticity[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2003，51(8)：1477-1508.

ASizeEffectModelforMicro-componentBasedonHighOrderStrainGradientTheory

YUAN Bo，QIU Yong-liang，HE Xian-yun，XU Yong-jun

(Department of Mechanical Engineering，Guangdong Polytechnic of Industry & Commerce，Guangzhou 510510，Guangdong，China)

Size effect has been observed from the mechanical testing of micro-components，classical mechanical model cannot be used to explain this phenomenon. In this paper，a model based on high order strain gradient (HSGE) theory is constructed to predict the bending size dependence of the elastic property of microfibers under three-point tests. The model contains a length scale material parameter and can be applied to explain the size dependency in bending test for micro-components. The applicability of the model was analyzed by comparing with published model.

micro-component，size effect，high order strain gradient

廣東省高等職業(yè)院校珠江學(xué)者崗位計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No.51202069)

TQ 317.3