李穆遠(yuǎn) 全惠敏 吳桂清

(湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

并聯(lián)機(jī)器人位姿正解優(yōu)化算法及其仿真

李穆遠(yuǎn) 全惠敏*吳桂清

(湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

選取3-6結(jié)構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人為研究模型，根據(jù)構(gòu)型間的約束關(guān)系，建立機(jī)構(gòu)的位姿正解的求解模型，并采用改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行求解，將復(fù)雜的位姿正解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多元非線性方程的尋優(yōu)過(guò)程。為提高求解精度，利用混沌序列的不可預(yù)測(cè)性與無(wú)序性以及在一定范圍內(nèi)不重復(fù)遍歷所有狀態(tài)的特性，提出一種基于混沌序列調(diào)整慣性權(quán)重的改進(jìn)粒子群算法，將其用于求解位姿正解的計(jì)算。計(jì)算實(shí)例表明，該算法能求解出全部的位姿正解，且相較于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法能達(dá)到更高的收斂精度。最后采用SolidWorks和Adams進(jìn)行聯(lián)合仿真，驗(yàn)證了這種優(yōu)化算法的可行性。

位姿正解 粒子群算法 混沌序列 慣性權(quán)重 Adams仿真

0 引 言

并聯(lián)機(jī)器人相對(duì)于串聯(lián)機(jī)器人具有較高的精度、很強(qiáng)的承載能力及較快的響應(yīng)速度等優(yōu)點(diǎn)，故現(xiàn)在已被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域[1]。目前較新的應(yīng)用領(lǐng)域有：應(yīng)用于虛擬現(xiàn)實(shí)的4D或5D影院運(yùn)動(dòng)座椅，應(yīng)用于互動(dòng)游戲的模擬運(yùn)動(dòng)平臺(tái)等。給定并聯(lián)機(jī)器人的桿長(zhǎng)變量求解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位姿，稱為并聯(lián)機(jī)器人的位置正解，并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿正解是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)[2]。在這一求解過(guò)程中，由于構(gòu)型的復(fù)雜性和耦合性，采用一般的數(shù)值計(jì)算方法很難求解，所以正解問(wèn)題已成為并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的難點(diǎn)和重點(diǎn)之一，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了大量的研究，并提出了多種解法[3-7]。常見解法有代數(shù)法和數(shù)值法[8-9]。傳統(tǒng)的數(shù)值法主要是通過(guò)Newton 法或Newton-Raphson 法迭代求解[10-11]。粒子群算法由于其搜索速度快、效率高，算法簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用在并聯(lián)機(jī)器人的正解問(wèn)題的求解之中。劉偉銳等提出采用一種改進(jìn)的粒子群算法求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿正解[12]，耿明超等提出采用一種基于擬newton法求解位姿正解的方法[13]。本文提出改進(jìn)的粒子群算法——混沌序列調(diào)整慣性權(quán)重的粒子群算法，并將其用于求解3-6結(jié)構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人平臺(tái)的位置正解解算之中。

1 并聯(lián)機(jī)器人位姿正解的數(shù)學(xué)模型

圖1所示為3-6結(jié)構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人平臺(tái)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。

圖1 3-6結(jié)構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

如圖1所示該機(jī)構(gòu)由上面運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，下面固定平臺(tái)和6臺(tái)可伸縮的電缸構(gòu)成，上下平臺(tái)和電缸之間采用鉸鏈來(lái)連接，上下平臺(tái)分別為一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形。在定平臺(tái)上建立定坐標(biāo)系O-XYZ，原點(diǎn)O位于定平臺(tái)的幾何中心，Y軸與B1B4重合，Z軸與定平臺(tái)垂直，X軸遵守右手坐標(biāo)系規(guī)則。O-XYZ為動(dòng)坐標(biāo)系，原點(diǎn)O位于動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)，Y軸與A1A2平行，Z軸與動(dòng)平臺(tái)垂直，X軸同樣遵守右手坐標(biāo)系規(guī)則。上平臺(tái)邊長(zhǎng)為a，下平臺(tái)邊長(zhǎng)為b，第i臺(tái)電缸的長(zhǎng)度為L(zhǎng)i(i=1,2,…,6)。上平臺(tái)三個(gè)頂點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量為：

下面正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)在O-XYZ中的坐標(biāo)矢量為：

設(shè)上平臺(tái)的幾何中心點(diǎn)O在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量為OA=[XA,YA,ZA]T,用Z-Y-X型Euler角(α,β,γ)表示動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，則動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于定坐標(biāo)系的方向余弦矩陣可表示為：

式中：“s”表示“sin”,“c”表示“cos”。則點(diǎn)Ai(i=1,2,3)的坐標(biāo)可以通過(guò)如下變換公式轉(zhuǎn)換成定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量：

AOi=TAi+oAi=1,2,3

(1)

根據(jù)電缸的約束條件得：

‖AO1-Bi‖=Lii=1,2‖AO2-Bi‖=Lii=3,4‖AO3-Bi‖=Lii=5,6

(2)

令x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T=[α,β,γ,XA,YA,ZA]T，則式(2)轉(zhuǎn)換為非線性方程組：

F(x)=[f1(x),f2(x),…,f6(x)]T=0

(3)

其中：

根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束關(guān)系，方程組fi(x)取值為零是最理想的狀態(tài)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的方程解代表最精確的正解位姿，所以將方程組fi(x)轉(zhuǎn)換為求解最小值的無(wú)約束優(yōu)化模型：

(4)

根據(jù)無(wú)約束優(yōu)化模型，可以求出用來(lái)描述上平臺(tái)位姿的六個(gè)最優(yōu)參數(shù)P=[α,β,γ,XA,YA,ZA]。即在給定電缸的伸長(zhǎng)度時(shí)，可用上述模型求解出平臺(tái)的位姿參數(shù)。由于上下平臺(tái)坐標(biāo)信息是根據(jù)不同的坐標(biāo)系確定的，以及平臺(tái)尺寸的標(biāo)示單位可能不同，在進(jìn)行計(jì)算之前先要進(jìn)行參數(shù)的無(wú)量綱化。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的改進(jìn)粒子群算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法(PSO)

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法采用文獻(xiàn)[14]中的表述，假設(shè)搜索空間是n維的，粒子群中第i個(gè)粒子的位置用xi(xi1,xi2,…,xin)表示，第i個(gè)粒子的速度用vi=(vi1,vi2,…,vin)表示，第i個(gè)粒子的個(gè)體最好位置為pi=(pi1,pi2,…,pin)，整個(gè)粒子群目前搜索到的最好位置為pg=(pg1,pg2,…,pgn)，下一代粒子的第d(1≤d≤n)維的速度和位置根據(jù)下面的方程來(lái)更新：

(5)

(6)

式中：c1和c2是學(xué)習(xí)因子，是兩個(gè)非負(fù)常數(shù)，r1和r2是介于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，為了使粒子在有效的區(qū)域內(nèi)搜索，通常將粒子速度限定在[-vmax,vmax]之間，vmax是由用戶設(shè)定的常數(shù)，ω為慣性權(quán)重。慣性權(quán)重較大有利于提高算法的全局搜索能力，而慣性權(quán)重較小會(huì)增強(qiáng)算法的局部搜索能力，因此其值的選取直接關(guān)系算法的開發(fā)能力和探索能力[15]。為提高算法的收斂性能，避免早熟問(wèn)題和陷入局部最優(yōu)問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行各種改進(jìn)。姜長(zhǎng)元等提出一種正弦調(diào)整慣性權(quán)重的方法[16]。許少華等通過(guò)自適應(yīng)的慣性權(quán)重來(lái)改進(jìn)粒子群算法[17]。

2.2 基于混沌序列調(diào)整權(quán)重的粒子群算法

混沌運(yùn)動(dòng)具有無(wú)序性、不可預(yù)測(cè)性、對(duì)初值的敏感性，能按其自身的“規(guī)律”在一定范圍內(nèi)不重復(fù)遍歷所有狀態(tài)，Coelho等將混沌序列應(yīng)用到不同進(jìn)化過(guò)程的變異操作，以增強(qiáng)算法的尋優(yōu)能力[18]。

由于混沌序列具有較好的遍歷性和隨機(jī)性的特性，且可以不重復(fù)遍歷所有的狀態(tài)，故可以通過(guò)一維混沌自映射產(chǎn)生混沌序列來(lái)調(diào)整粒子慣性權(quán)重，方程表述如公式：

ω(t)=f(ω(t-1))

(7)

(8)

其中：ω(t)是第t次迭代的慣性權(quán)重，粒子的速度按式(8)進(jìn)行更新。由式(7)生成的慣性權(quán)重，將具有混沌特性。最常用的混沌映射就是Logistic映射[19]：

Zg+1=μZg(1-Zg) 0

(9)

其中：μ是控制參量，隨著μ的改變會(huì)呈現(xiàn)復(fù)雜多變的狀態(tài)，μ的取值決定著慣性權(quán)重Z的變化規(guī)律。取μ=0.4，由于混沌序列對(duì)初值的敏感性，為保證算法收斂，根據(jù)文獻(xiàn)[6]中得出的經(jīng)驗(yàn)值，取初值Z0=0.54，式(9)處于完全混沌狀態(tài)。式(7)中t為1 000次時(shí)慣性權(quán)重L1的分布情況如圖2所示，由該圖可知，Logistic映射所產(chǎn)生的慣性權(quán)重遍歷性較好,且產(chǎn)生的權(quán)重分布在經(jīng)驗(yàn)值[0，1]的范圍之中,故相較于一般的線性減少策略能更好地調(diào)整搜索空間。

圖2 Logistic映射生成的慣性權(quán)重

為了進(jìn)一步分析混沌權(quán)重分布的特性，對(duì)Logistic混沌映射進(jìn)行了1 000次的迭代后對(duì)其值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分布情況如表1所示。我們發(fā)現(xiàn)得到的混沌慣性權(quán)重在兩頭分布的概率較大，這滿足我們希望慣性權(quán)重在“某一時(shí)期”較大或較小的要求，而在其他區(qū)間則相對(duì)均勻，這有利于全局搜索的遍歷性。

表1 混沌權(quán)重迭代1 000次分布情況統(tǒng)計(jì)

3 3-6結(jié)構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人正解實(shí)例計(jì)算

將3-6結(jié)構(gòu)并聯(lián)機(jī)器人的邊長(zhǎng)量及電缸的變化量相對(duì)于動(dòng)平臺(tái)邊長(zhǎng)無(wú)量綱化，得到本次實(shí)例計(jì)算的無(wú)量綱參數(shù)如表2所示。

表2 邊長(zhǎng)量及電缸的變化量

將待求參數(shù)P=[α,β,γ,XA,YA,ZA]看作為粒子位置，將式(5)視為粒子群的適應(yīng)度函數(shù)，采用第2節(jié)給出的基于混沌慣性權(quán)重的粒子群算法求解該機(jī)構(gòu)的位姿正解。

仿真實(shí)驗(yàn)中，取最大測(cè)試次數(shù)為50次，c1和c2取為2，種群個(gè)數(shù)n=50，迭代次數(shù)取為1 000，維數(shù)取為6。采用Visual Studio 2013編程求解。運(yùn)行結(jié)果顯示：適應(yīng)度函數(shù)最優(yōu)值為0，最差值為1.380 507E-30，最優(yōu)平均值為2.051 038E-31，圖3所示為適應(yīng)度函數(shù)的收斂曲線。由于優(yōu)化算法是在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，為了證明算法的優(yōu)化性，對(duì)改進(jìn)算法和標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行收斂精度與迭代速度上的比較。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的粒子群算法能達(dá)到的收斂精度明顯高于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，且收斂曲線的下降速度快于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，從仿真結(jié)果來(lái)看，這種改進(jìn)算法具有更加良好的優(yōu)化效果，說(shuō)明在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法基礎(chǔ)上采用混沌序列來(lái)調(diào)整慣性權(quán)重這種優(yōu)化方法是行之有效的。表3所示為采用基于混沌慣性權(quán)重的粒子群算法求解的一組對(duì)應(yīng)于本次計(jì)算給定邊長(zhǎng)量及電缸的變化量的全部運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。

圖3 適應(yīng)度函數(shù)的收斂曲線

序號(hào)α(°)β(°)γ(°)XAYAZA179．67547．46810．0640-0．2820．1301．571279．78750．3087．7630-0．3180．1111．561380．29148．62512．2600-0．2990．1421．566481．06344．8618．1520-0．2730．1801．562584．68245．78914．2520-0．2620．1601．575679．07944．77311．9680-0．2460．1461．579781．45844．9278．7450-0．23470．1241．573878．14343．8362．9010-0．2440．1431．560977．52141．1164．8860-0．2080．1591．5691080．60642．23610．5150-0．1980．1391．5821181．88247．7606．6130-0．2710．1061．5631273．10047．5103．9540-0．2740．1511．5971378．66446．1918．4010-0．2560．1831．6001475．11844．8922．4540-0．2660．2031．5871585．29148．62512．2600-0．2990．1421．5661682．69445．81017．6010-0．2730．1831．5771781．06344．8618．1520-0．2730．1801．5621879．07944．77311．9680-0．2460．1461．5791981．45844．9278．7450-0．2350．1241．573

續(xù)表3

4 SolidWorks和Adams聯(lián)合仿真分析

本文采用SolidWorks構(gòu)建并聯(lián)機(jī)器人模擬平臺(tái)，然后將模型導(dǎo)入Adams仿真軟件中進(jìn)行位姿仿真，模型白色條狀部分為下平臺(tái)，黑色條狀部分為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，如圖4所示。

圖4 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)模型結(jié)構(gòu)圖

本次聯(lián)合仿真試驗(yàn)選取運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)為測(cè)量對(duì)象，在Adams模型中中心點(diǎn)被標(biāo)記為CM點(diǎn)，本次仿真分析CM點(diǎn)在給定的驅(qū)動(dòng)下，XYZ方向上的位移和時(shí)間的關(guān)系，以及歐拉角三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間的變化關(guān)系，以此來(lái)驗(yàn)證算法的可行性。

在Adams仿真試驗(yàn)中采用的驅(qū)動(dòng)方程為：

TraX=0.25sin(0.2πt)TraY=0.25sin(0.3πt)TraZ=0.25sin(0.1πt)

(10)

本次仿真時(shí)間設(shè)置為20 s,CM點(diǎn)在XYZ方向上速度變化隨時(shí)間的關(guān)系如圖5所示。

圖5 CM點(diǎn)XYZ方向上的速度隨時(shí)間變化曲線圖

最后得到CM點(diǎn)的位移、角度隨時(shí)間變化曲線如圖6-圖8所示。

圖6 CM點(diǎn)在X方向上隨時(shí)間變化曲線圖

圖7 CM點(diǎn)在Y方向上隨時(shí)間變化曲線圖

圖8 CM點(diǎn)在Z方向上隨時(shí)間變化曲線圖

CM點(diǎn)歐拉角三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間變化情況如圖9-圖11所示。

圖9 CM點(diǎn)歐拉角第1旋轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線圖

圖10 CM點(diǎn)歐拉角第2旋轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線圖

圖11 CM點(diǎn)歐拉角第3旋轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線圖

由仿真曲線可以看到，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的CM點(diǎn)在XYZ方向上的位移范圍分別為：[-0.30，-0.15]，[0.10,0.22]，[1.52,1.66],CM點(diǎn)歐拉角的三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度的變化范圍分別為：[70.0°,80.0°]，[40.0°,52.0°]，[2.0°,20.0°]。在第3節(jié)中實(shí)例計(jì)算得到的最優(yōu)解的結(jié)果全落在CM點(diǎn)的位移和旋轉(zhuǎn)角度變化的范圍之內(nèi)，由此驗(yàn)證了優(yōu)化算法的可行性。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文將動(dòng)平臺(tái)位姿的六個(gè)參數(shù)直接看作為未知數(shù)，根據(jù)機(jī)構(gòu)的約束條件，構(gòu)造無(wú)約束優(yōu)化模型，將原來(lái)計(jì)算復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)過(guò)程。相較于文獻(xiàn)[20]中使用的建立位置參數(shù)模型的方法，本文的模型構(gòu)造較為簡(jiǎn)單，且能將上平臺(tái)中心的坐標(biāo)矢量作為未知數(shù)直接求解，然后采用一種混沌序列調(diào)整慣性權(quán)重的改進(jìn)粒子群算法求解出位姿正解的全部解。且由適應(yīng)度函數(shù)的迭代進(jìn)化曲線可知，改進(jìn)的粒子群算法達(dá)到的收斂精度明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，收斂曲線的下降速度也快于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法。最后采用SolidWorks和Adams進(jìn)行聯(lián)合仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證了優(yōu)化算法的可行性。

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OPTIMIZATIONALGORITHMOFFORWARDPOSESOLUTIONTOPARALLELROBOTANDITSSIMULATION

Li Muyuan Quan Huimin*Wu Guiqing

(CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniversity,Changsha410082,Hunan,China)

In this paper, 3-6 structure parallel manipulators are chosen as the research model. According to the constraint relation between configurations, an unconstrained optimization model is established for solving the forward position problem of the parallel platform. The complicated kinematics problem is transformed into a multiple nonlinear equations optimization process. In order to improve the convergence precision of the algorithm, an improved particle swarm optimization based on the chaotic sequence was proposed. Ergodic, stochastic and regular properties are the characteristics of chaos, which means it can track any state in a certain scope without repetition according to its regularity, using chaotic sequence to adjust the inertia weight was proposed in this paper, And used this improved particle swarm optimization to solve the forward position problem. Results of a numerical for the forward position analysis of the parallel platform show that, the improved particle swarm algorithm could solve all the position positive solutions, and compared to the standard particle swarm optimization algorithm can achieve higher convergence accuracy. At last, SolidWorks and Adams were used for co-simulation test. And the feasibility of the algorithm was verified.

Forward pose solution Particle swarm optimization algorithm Chaotic sequence Inertia weight Adams simulation

2016-12-08。 國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2014BAK08B01)。李穆遠(yuǎn)，碩士生，主研領(lǐng)域：人工智能算法。全惠敏，副教授。吳桂清，副教授。

TP242

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.12.050