高宇 郝森

摘 要：為了捕捉股票價(jià)格波動(dòng)中的跳躍成分，更精確的為期權(quán)定價(jià)，莫頓在布萊克和斯科爾斯的模型的基礎(chǔ)上提出了跳躍擴(kuò)散模型，拓展了期權(quán)定價(jià)的研究。后續(xù)學(xué)者在莫頓的跳躍擴(kuò)散模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展了對(duì)該模型的研究。本文梳理了應(yīng)用跳躍擴(kuò)散模型為不同的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，通過(guò)文獻(xiàn)綜述說(shuō)明莫頓的跳躍擴(kuò)散模型在期權(quán)定價(jià)方面是更加符合現(xiàn)實(shí)情況的模型，有著良好的應(yīng)用前景和可操作性。

關(guān)鍵詞：跳躍擴(kuò)散模型；期權(quán)定價(jià)；參數(shù)估計(jì)

1引言

在布萊克和斯科爾斯的期權(quán)定價(jià)模型中，通過(guò)對(duì)股票服從的價(jià)格過(guò)程建模，認(rèn)為股票價(jià)格服從一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。然后通過(guò)伊藤引理求出歐式期權(quán)價(jià)格所服從的一個(gè)伊藤過(guò)程。在這兩個(gè)描述價(jià)格過(guò)程的偏微分方程中，有一個(gè)共同的波動(dòng)項(xiàng)。通過(guò)消除這個(gè)波動(dòng)項(xiàng)，布萊克和斯科爾斯建立了著名的布萊克-斯科爾斯微分方程。通過(guò)求解該微分方程，求出了歐式看漲期權(quán)的顯示解。

在布萊克-斯科爾斯模型所做的假設(shè)中，第一條就是股票的價(jià)格服從一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。在這之后，許多學(xué)者都對(duì)該模型的假設(shè)條件進(jìn)行了放松，使之能夠更加符合現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)情況。許多模型都側(cè)重于調(diào)整所研究過(guò)程的波動(dòng)率以適應(yīng)動(dòng)態(tài)的波動(dòng)率結(jié)構(gòu)，或者調(diào)整漂移項(xiàng)以模擬市場(chǎng)中的均值回歸特征[1]。但是現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中，價(jià)格和各種比率并不總是連續(xù)變化的，而是會(huì)發(fā)生瞬時(shí)的跳躍。

這些跳躍產(chǎn)生的影響在期權(quán)市場(chǎng)中是很常見(jiàn)的。專家們?cè)缫寻l(fā)現(xiàn)了在股票價(jià)格模型中引入跳躍成分的重要性因此他們做了大量努力來(lái)講價(jià)格跳躍引入模型中，于是就有了泊松型跳躍和跳躍擴(kuò)散等模型。

2 Merton的跳躍擴(kuò)散模型

當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨機(jī)微分方程為：

其中μ是單位時(shí)間的瞬時(shí)期望回報(bào)，σ是單位時(shí)間的瞬時(shí)波動(dòng)率，Wt是標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程。在這個(gè)模型中引入跳躍的方法主要有兩種。第一種是直接加入一個(gè)跳躍項(xiàng)，構(gòu)成所謂的跳躍-擴(kuò)散模型。第二種方法是對(duì)這個(gè)過(guò)程做時(shí)間變換，使維納過(guò)程沿不同概念下的時(shí)間推移，而不是標(biāo)準(zhǔn)的日歷時(shí)間，從而我們就可能是過(guò)程產(chǎn)生跳躍。

連續(xù)時(shí)間的資產(chǎn)定價(jià)模型有兩塊基石：一是維納過(guò)程，即布朗運(yùn)動(dòng)，它是路徑連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程。如果市場(chǎng)上主要是“普通”事件，“極端”波動(dòng)僅偶然發(fā)生且符合正態(tài)分布尾部對(duì)應(yīng)的概率，那么就適合用維納過(guò)程。第二個(gè)就是上面提到的泊松過(guò)程，可以對(duì)罕見(jiàn)事件導(dǎo)致的系統(tǒng)性跳躍建模，泊松過(guò)程是路徑非連續(xù)的過(guò)程。

如果將資產(chǎn)的價(jià)格變化看做一個(gè)事件，那么所謂的“普通”事件所具有的特征就是，資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的幅度與我們觀察的時(shí)間長(zhǎng)短成正比。與“普通”事件相對(duì)應(yīng)的就是“罕見(jiàn)”時(shí)間。對(duì)于“罕見(jiàn)”事件來(lái)說(shuō)，當(dāng)我們觀察的時(shí)間區(qū)間趨于零時(shí)，這類時(shí)間發(fā)生的概率也是趨于零的。但是事件發(fā)生的規(guī)模，或者說(shuō)資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生“罕見(jiàn)”變化的幅度，并不會(huì)隨著我們所觀察的時(shí)間區(qū)間的縮短而變小。如果“罕見(jiàn)”時(shí)間發(fā)生，那么無(wú)論是十分鐘觀察一次還是一整天觀察一次，波動(dòng)的幅度都差不多。

泊松計(jì)數(shù)過(guò)程似乎是對(duì)“罕見(jiàn)”事件進(jìn)行建模的很好選擇[2]。我們假設(shè)隨機(jī)變量會(huì)在不同的時(shí)刻ti（i=1，2，…）發(fā)生跳躍，這些時(shí)刻彼此獨(dú)立，不可預(yù)測(cè)，且跳躍幅度一致。在很小的時(shí)間區(qū)間Δ，發(fā)生兩次或者兩次以上跳躍的概率忽略不計(jì)。在某一段時(shí)間t（假設(shè)初始時(shí)刻記為0時(shí)刻）內(nèi)發(fā)生跳躍的總次數(shù)稱為泊松記數(shù)過(guò)程，記為Nt。

對(duì)于一個(gè)泊松過(guò)程，在一段小的時(shí)間區(qū)間Δ內(nèi)發(fā)生一次跳躍的概率約為

上式可以表明，泊松計(jì)數(shù)過(guò)程具有以下性質(zhì)：

1）在一段很短的時(shí)間區(qū)間Δ內(nèi)，事件至多發(fā)生一次的概率非常接近于1

2）t時(shí)刻的已知信息無(wú)法預(yù)測(cè)下一個(gè)Δ時(shí)間內(nèi)是否會(huì)發(fā)生跳躍事件

3）單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)為λ

泊松過(guò)程雖然模擬了一些罕見(jiàn)事件發(fā)生，但是泊松過(guò)程的假設(shè)中，每次發(fā)生跳躍的幅度是1，這就與實(shí)際中觀察到的跳躍行為不一致，所以需要對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行修正。我們接下來(lái)引入復(fù)合泊松過(guò)程。

延續(xù)前面的符號(hào)，Nt是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，Y1，Y2，…是一列均值為k的隨機(jī)變量。這一系列隨機(jī)變量度量了當(dāng)“罕見(jiàn)”事件發(fā)生時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)發(fā)生的變化。例如，在t時(shí)刻的股票價(jià)格為St，在一段很小的時(shí)間區(qū)間Δ之內(nèi)，“罕見(jiàn)”時(shí)間發(fā)生了一次，那么在t+Δ時(shí)刻，股票價(jià)格變?yōu)镾t+Δ=St×Y。因此，Y-1就衡量了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生變動(dòng)的比例。

有了這些說(shuō)明，我們就可以定義復(fù)合泊松過(guò)程：

如果設(shè)Qt是復(fù)合泊松過(guò)程，則補(bǔ)償復(fù)合泊松過(guò)程Qt-kλt是一個(gè)鞅過(guò)程[3]。

在介紹完幾何布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過(guò)程之后，我們就可以說(shuō)明由莫頓提出的跳躍-擴(kuò)散模型：

其中μ是在泊松事件沒(méi)有發(fā)生時(shí)資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率，σ2是在泊松事件沒(méi)有發(fā)生時(shí)回報(bào)的瞬時(shí)方差，dWt是標(biāo)準(zhǔn)的高斯-維納過(guò)程，dQt是獨(dú)立于維納過(guò)程的復(fù)合泊松過(guò)程，λ是單位時(shí)間內(nèi)“罕見(jiàn)”事件發(fā)生的次數(shù)，k=E[Y-1]表明了資產(chǎn)價(jià)格當(dāng)泊松事件發(fā)生時(shí)，由泊松事件所帶來(lái)的變化的比例（幅度）。

莫頓的跳躍擴(kuò)散模型的原始形式應(yīng)該是如下所示：

這個(gè)式子表明了，莫頓的跳躍擴(kuò)散模型是在幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上直接加上了一項(xiàng)表示跳躍的補(bǔ)償復(fù)合泊松過(guò)程。之所以加上這一項(xiàng)，而不是直接加上一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程的項(xiàng)，是因?yàn)橐c有效市場(chǎng)假說(shuō)保持一致[5]。因?yàn)樵谟行袌?chǎng)中，股票價(jià)格的時(shí)間序列應(yīng)該是一個(gè)鞅過(guò)程。所以對(duì)復(fù)合泊松過(guò)程進(jìn)行了去趨勢(shì)的處理，使之成為一個(gè)鞅。

跳躍擴(kuò)散模型將市場(chǎng)發(fā)生罕見(jiàn)的極端事件時(shí)的情況納入了模型的分析框架，相比較于僅僅使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)建模，跳躍擴(kuò)散模型更加符合真實(shí)的情況。但是在該模型中，仍然有一些問(wèn)題需要解決。第一，就是跳躍的頻率λ需要確定；第二，跳躍的幅度需要確認(rèn)；第三，跳躍的方差需要確認(rèn)[6]。

3 利用跳躍擴(kuò)散模型對(duì)金融衍生產(chǎn)品定價(jià)

學(xué)者們將莫頓提出來(lái)的這種建模方法應(yīng)用在了各種不同的衍生品定價(jià)的過(guò)程中。

在對(duì)浮動(dòng)利率抵押貸款支持證券進(jìn)行定價(jià)時(shí)，王明好等考慮到利率受人為或突發(fā)事件的干擾而產(chǎn)生跳躍不連續(xù)的情形，利用跳躍-擴(kuò)散模型模擬利率隨機(jī)過(guò)程， 結(jié)合我國(guó)借款人行為特點(diǎn)建立提前償還比例危險(xiǎn)模型， 運(yùn)用蒙特卡洛模擬方法， 研究了浮動(dòng)利率抵押貸款支持證券的定價(jià)， 討論了利率模型各參數(shù)的變化對(duì)定價(jià)的影響。經(jīng)模擬發(fā)現(xiàn)：利率跳躍的頻率、跳躍幅度的波動(dòng)越大， 證券價(jià)格越大， 而利率跳躍幅度的均值越大， 證券價(jià)格卻越小[7]。在他們所應(yīng)用的跳躍擴(kuò)散模型中，模型的泊松過(guò)程強(qiáng)度和跳躍幅度等參數(shù)值是先驗(yàn)設(shè)定的，并沒(méi)有給出這樣設(shè)定的依據(jù)。在對(duì)利率進(jìn)行跳躍擴(kuò)散模型建模時(shí)，各個(gè)參數(shù)的選取仍有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

任玉超等人利用雙冪次變差方法檢測(cè)期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是存在跳躍，針對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格存在跳躍這種情況，借助泊松跳躍擴(kuò)散模型（JD）與BS定價(jià)模型進(jìn)行對(duì)比分析。運(yùn)用累積量擬合法估計(jì)JD的參數(shù)，選取上交所、中金所、香港交易所交易或仿真交易的8只歐式期權(quán)的日收盤(pán)數(shù)據(jù)，按照期權(quán)收盤(pán)價(jià)樣本的篩選規(guī)則進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得到27371個(gè)日收盤(pán)數(shù)據(jù)作為研究樣本，借助實(shí)證分析檢驗(yàn)BS模型與JD模型的定價(jià)效果。實(shí)證結(jié)果表明：JD模型是一個(gè)比BS模型更現(xiàn)實(shí)的模型，其定價(jià)效果優(yōu)于BS模型，但兩者均存在普遍低估的現(xiàn)象[8]。

黃國(guó)安等假定市場(chǎng)股價(jià)滿足跳躍擴(kuò)散模型，應(yīng)用測(cè)度變換法給出了歐式任選期權(quán)的一般均衡價(jià)格公式，并提供了兩種數(shù)值方法： Newton-Raphso n迭代和Monte-Carlo模擬法來(lái)計(jì)算該類期權(quán)的價(jià)格，分析了模型中一些參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響[9]。他們的研究中，并沒(méi)有說(shuō)明模型參數(shù)的選擇標(biāo)準(zhǔn)，同樣也沒(méi)有給出能說(shuō)嗎定價(jià)方法精度的比較標(biāo)準(zhǔn)。所以該方法對(duì)歐式任選期權(quán)的定價(jià)效果有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

張靜等研究不完備市場(chǎng)中，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格出現(xiàn)不連續(xù)跳躍時(shí)，亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。推導(dǎo)出當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從跳躍-擴(kuò)散過(guò)程時(shí)，具有固定敲定價(jià)格算術(shù)平均亞式期權(quán)的價(jià)格下界公式，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了該下界公式可以近似作為亞式期權(quán)的定價(jià)公式[10]。他們?cè)谖恼轮幸蔡岬?，這種運(yùn)用蒙特卡洛方法計(jì)算的是亞式期權(quán)的價(jià)格下界，以這個(gè)下界作為期權(quán)價(jià)格的近似，更加精確的定價(jià)方法仍然有待探索。

李素麗在她的碩士學(xué)位論文中分析了在完全外匯市場(chǎng)的假設(shè)下，對(duì)遵循跳躍擴(kuò)散過(guò)程的匯率模型，研究了外匯期權(quán)的定價(jià)公式。在利率隨機(jī)的情況下，論文分別討論了國(guó)內(nèi)外利率受同一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)的影響和受不同的布朗運(yùn)動(dòng)影響時(shí)的外匯期權(quán)定價(jià)公式，并出平價(jià)公式[11]。但是直到今天我國(guó)采取的仍然是有管理的浮動(dòng)匯率制度，匯率的波動(dòng)情況有自己獨(dú)特的規(guī)律，和研究中假設(shè)的跳躍擴(kuò)散模型是否相符仍然需要進(jìn)一步驗(yàn)證。

4 結(jié)論

在考慮到股票價(jià)格波動(dòng)中的跳躍現(xiàn)象后，莫頓提出了跳躍擴(kuò)散模型來(lái)對(duì)歐式期權(quán)的定價(jià)方法進(jìn)行了研究。在他提出該模型之后，眾多學(xué)者對(duì)這種模型進(jìn)行了拓展研究。在應(yīng)用跳躍擴(kuò)散模型對(duì)各種金融衍生工具，尤其是各種奇異期權(quán)定價(jià)方面，學(xué)者們研究了對(duì)壓式期權(quán)、任選期權(quán)、外匯期權(quán)等衍生產(chǎn)品的定價(jià)效率問(wèn)題。本文通過(guò)文獻(xiàn)梳理說(shuō)明了莫頓提出的跳躍擴(kuò)散模型在期權(quán)定價(jià)方面有著廣泛的應(yīng)用前景，并且模型中的參數(shù)是可以通過(guò)現(xiàn)有的參數(shù)估計(jì)方法得到較好的推斷，說(shuō)明了莫頓的跳躍擴(kuò)散模型的實(shí)用性。

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作者簡(jiǎn)介：

高宇（1993-），女，漢族，吉林省敦化市人，學(xué)生，金融學(xué)碩士，單位：蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院金融學(xué)專業(yè)，研究方向：風(fēng)險(xiǎn)管理.

郝森（1992-），男，漢族，河北省石家莊人，學(xué)生，金融工程學(xué)碩士，單位：蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院金融工程專業(yè)，研究方向：資產(chǎn)定價(jià)，風(fēng)險(xiǎn)管理.