蔣銘陽(yáng)

（成都七中嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 四川 成都 610000）

靜電場(chǎng)中的鏡像電荷對(duì)偶方法

蔣銘陽(yáng)

（成都七中嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 四川 成都 610000）

通過(guò)庫(kù)侖定律研究靜電場(chǎng)問(wèn)題，基本出發(fā)點(diǎn)是電荷的帶電量無(wú)限集中于一點(diǎn)，兩電荷之間受力的規(guī)律與物體間的萬(wàn)有引力形式上是統(tǒng)一的，從這個(gè)形式出發(fā)，可以采用相似的方法研究點(diǎn)電荷的受力規(guī)律，質(zhì)點(diǎn)與點(diǎn)電荷對(duì)等，本文在此基礎(chǔ)上引入虛擬的鏡像電荷，按照電場(chǎng)疊加等效的原則，利用邊界條件認(rèn)識(shí)鏡像電荷的物理意義，有助于研究靜電場(chǎng)中感應(yīng)電荷電場(chǎng)分布。

靜電場(chǎng)；庫(kù)侖定律；鏡像電荷；感應(yīng)電荷

本文討論了幾種不同的場(chǎng)景，通過(guò)研究靜電場(chǎng)中電荷分布的規(guī)律，引入了像電荷的觀點(diǎn)，像電荷是虛擬的電荷，具有數(shù)學(xué)上的意義，同時(shí)根據(jù)電場(chǎng)可以疊加的原理，鏡像電荷并未改變局部電場(chǎng)的分布，即像電荷也具有其特定的物理意義。從存在性上講，引入像電荷是為方便計(jì)算而來(lái)，它并不存在，但引入像電荷之后，靜電場(chǎng)可以看著是原電荷和像電荷的矢量疊加，根據(jù)靜電場(chǎng)的疊加原理，可以分別求出原電荷和像電荷在空間某點(diǎn)處產(chǎn)生的庫(kù)侖力，方便了問(wèn)題的分析和計(jì)算。

先考慮一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)接地金屬導(dǎo)體球組成的系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)就是由質(zhì)點(diǎn)與非質(zhì)點(diǎn)物體構(gòu)成的，不能像對(duì)兩個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)之間的分析一樣。由于庫(kù)侖定律表達(dá)式

有類(lèi)似的形式，考慮到在處理質(zhì)點(diǎn)與均勻球體之間萬(wàn)有引力時(shí)采用的是等效的方法，即將質(zhì)點(diǎn)對(duì)均勻球體的力等效在等效作用點(diǎn)（球心）上，在對(duì)一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)接地金屬導(dǎo)體球組成的系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，可以采用類(lèi)似的等效法，從而轉(zhuǎn)換為較為方便的、對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)的分析。需要注意的是，當(dāng)我們分析萬(wàn)有引力時(shí)，將球體的總質(zhì)量等效為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，不影響球體之間的萬(wàn)有引力的關(guān)系。球體的質(zhì)量分布是不會(huì)因質(zhì)點(diǎn)的存在而改變的，但分析金屬球體時(shí)，其表面會(huì)不均勻地帶上感應(yīng)電荷，可以肯定的是，這個(gè)等效點(diǎn)不再是球心。

根據(jù)這種對(duì)應(yīng)的形式，本文考慮了點(diǎn)電荷模型，其中點(diǎn)電荷在球殼外，點(diǎn)電荷在球殼內(nèi)三種場(chǎng)景，討論應(yīng)用靜電荷中基本定律，求解電場(chǎng)問(wèn)題的一般方法，在此基礎(chǔ)上用虛擬的像電荷等效的概念，將球殼等效為一個(gè)未知電量及位置的點(diǎn)像電荷。

為了方便分析，先考慮以下模型：

空間中存在的兩個(gè)點(diǎn)電荷，相距為d，分別帶電+Q與-q。此時(shí)理論上可以畫(huà)出空間中電場(chǎng)線(xiàn)以及等勢(shì)面，為方便起見(jiàn)，先考慮以無(wú)窮遠(yuǎn)為零電勢(shì)時(shí)電勢(shì)為零的等勢(shì)面。若重疊于等勢(shì)面放置一塊金屬接地薄板，可以肯定，空間中電場(chǎng)線(xiàn)、等勢(shì)面分布不會(huì)發(fā)生改變，金屬板所分割成的兩個(gè)空間的電場(chǎng)因靜電屏蔽而不變。此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)撤去一個(gè)電荷，另一個(gè)電荷所在的分割后的空間電場(chǎng)仍不會(huì)變化。

下面對(duì)這個(gè)等勢(shì)面進(jìn)行分析。

利用點(diǎn)電荷在空間中產(chǎn)生的電勢(shì)U與距點(diǎn)電荷的距離R的關(guān)系

以及電勢(shì)的疊加原理，得到空間中任意一點(diǎn)、距+Q、-q分別為R、r的一點(diǎn)（由于此系統(tǒng)具有二維對(duì)稱(chēng)性，所以確定兩個(gè)坐標(biāo)量就可以確定該點(diǎn)情況）電勢(shì)為

建立，以-q為原點(diǎn)，-q指向+Q方向?yàn)閤軸正方向的坐標(biāo)系，在二維坐標(biāo)內(nèi)一點(diǎn)（X，Y)到兩點(diǎn)距離關(guān)系有：

由于X2、Y2的系數(shù)相等，故上述方程軌跡為一個(gè)圓，推廣到三維坐標(biāo)系中，將會(huì)形成一個(gè)球。在此基礎(chǔ)上，可以反向利用該結(jié)論，即一個(gè)點(diǎn)電荷與一個(gè)接地金屬導(dǎo)體球組成的系統(tǒng)在球外產(chǎn)生的電場(chǎng)可以等效為兩個(gè)點(diǎn)電荷的合作用，只是等效的那個(gè)電荷的位置和帶電量尚未確定。以下將討論其確定方法。

在此基礎(chǔ)上，用以下方法求解：

如圖1所示，以球心為原點(diǎn)，考慮一個(gè)過(guò)球心、實(shí)際存在的+Q、虛擬的-q的一個(gè)面

圖1 鏡像電荷計(jì)算閉合曲面模型

設(shè)-q（x，0），由兩個(gè)點(diǎn)在球表面上任意一點(diǎn)合電勢(shì)為零，考慮離+Q最近的球面上的點(diǎn)和離+Q最遠(yuǎn)的球面上的點(diǎn)電勢(shì)為零，可以列出下列式子

由上述模型可以發(fā)現(xiàn)，金屬球殼可以將空間分為兩個(gè)相互獨(dú)立的兩部分，起到了靜電屏蔽的作用，實(shí)際上點(diǎn)電荷在金屬球殼內(nèi)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)仍然遵循庫(kù)侖定律，并沒(méi)有消失，只是被球殼帶的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)所抵消了。在此基礎(chǔ)上，可以知道球殼內(nèi)一點(diǎn)的電勢(shì)表達(dá)式：

也就是說(shuō)球內(nèi)表面所帶總電荷量就等于球殼內(nèi)像電荷所帶電荷量，這符合對(duì)感應(yīng)電荷的認(rèn)知。即電荷不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失。

通過(guò)以上的討論，在靜電場(chǎng)中，電荷是感應(yīng)出來(lái)的，感應(yīng)現(xiàn)象只是改變了原有電荷的分布，可見(jiàn)電荷總代數(shù)和始終是守恒的，鏡像電荷的引入，只是一種數(shù)學(xué)方法，并沒(méi)有改變物理定律的普遍適用性。

以下對(duì)該模型進(jìn)行討論

由q、x的表達(dá)式可知，q、x均趨近于零，其意義是金屬球足夠小的情況下，對(duì)空間電場(chǎng)分布幾乎沒(méi)有影響，類(lèi)似于質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)量的無(wú)線(xiàn)集中，在萬(wàn)有引力定律中，將質(zhì)量集中在一處，也不會(huì)改變物體之間的萬(wàn)有引力的大小。在坐點(diǎn)電荷近似后，可以忽略其存在。此處有明確的物理意義，這種近似也是比較合理的。

可以知道此時(shí)的像電荷相當(dāng)于在距球心無(wú)限遠(yuǎn)處放一個(gè)電荷，而球心也在無(wú)限遠(yuǎn)處，無(wú)法直接分析，為了分析這種情況，先借助以下模型進(jìn)行分析

空間中存在相距為2L的電荷+q、-q，類(lèi)似于上面的模型，根據(jù)分布的幾何對(duì)稱(chēng)性，易知此時(shí)的零等勢(shì)面為垂直于兩電荷連線(xiàn)的中垂面，是一個(gè)平面。在該平面上，原電荷和鏡像電荷激發(fā)出來(lái)的電場(chǎng)，大小相等，方向相反，可以等效為接地面。同樣地若在這個(gè)平面處放上一塊接地金屬板，將會(huì)把空間分為兩個(gè)互相獨(dú)立的部分，且兩部分關(guān)于金屬板對(duì)稱(chēng)。于是易得+q、-q可以互為像電荷，而且此時(shí)的金屬板為無(wú)限大平面，可以認(rèn)為是圓心在無(wú)限遠(yuǎn)處、半徑無(wú)窮大的球的對(duì)應(yīng)立體角極小的球冠，當(dāng)對(duì)應(yīng)的圓心角足夠小時(shí)，每一段弧線(xiàn)就是一段線(xiàn)性微元，滿(mǎn)足可積分的條件，這正是所討論的的情況。

反過(guò)來(lái)再看q、x的表達(dá)式

同理

此結(jié)論與上述分析相符。

上述推導(dǎo)過(guò)程中，用到了多項(xiàng)式展開(kāi)的泰勒公式，作為合理的近似，截去高階無(wú)窮小量，僅保留前兩項(xiàng)。

在此基礎(chǔ)上，理論上可以得到點(diǎn)電荷與無(wú)限大接地金屬平板組成的系統(tǒng)在空間中產(chǎn)生的電場(chǎng)，這里按照金屬板表面附近的電場(chǎng)分析金屬板上電荷分布。

由于該系統(tǒng)具有二維對(duì)稱(chēng)性，其中y軸在金屬板上，x軸通過(guò)像電荷與點(diǎn)電荷連線(xiàn)的場(chǎng)景。

分析y軸上一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)與點(diǎn)電荷q的連線(xiàn)與x軸夾角為θ，此點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

考慮一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的位于金屬板上的一個(gè)極細(xì)圓環(huán)，其寬度對(duì)應(yīng)q處的夾角為dθ微元。

環(huán)上任意一點(diǎn)與電荷的連線(xiàn)與x軸夾角可以認(rèn)為是不變的，均為θ，可以得到此圓環(huán)的面積

對(duì)此圓環(huán)運(yùn)用高斯定理，取一個(gè)封閉曲面即圓環(huán)柱，其高度很小，可以得到

解得

此時(shí)已經(jīng)得到平板作為一個(gè)非質(zhì)點(diǎn)物體的帶電面密度關(guān)于θ的關(guān)系，說(shuō)明平板的帶電情況已經(jīng)確定，在此基礎(chǔ)上，可以求出平板的帶電總量

代入σ(θ)、dS的表達(dá)式，將上式寫(xiě)為積分形式

求出金屬平板的總帶電量為-q，同樣可以利用之前點(diǎn)電荷在球殼上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷的結(jié)論，只不過(guò)這個(gè)球殼半徑無(wú)窮大，其總的感應(yīng)電荷為-q，是符合之前的結(jié)論的。

（3）點(diǎn)電荷在金屬球殼內(nèi)

由于之前的模型中被球殼分割的兩部分互不影響，所以接地球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷的像電荷為以點(diǎn)電荷作為像電荷在模型“點(diǎn)電荷在球殼外”中所對(duì)應(yīng)原來(lái)的電荷。設(shè)此時(shí)點(diǎn)電荷帶電量為q，接地球殼半徑為R，點(diǎn)電荷距球心距離為x，像電荷距球心為d，帶電量為Q，有

由此確定了像電荷大小以及虛擬的位置。

①鏡像電荷使用需要注意的幾個(gè)問(wèn)題：

②鏡像電荷不能和原電荷在同一側(cè)，否則就不是鏡像電荷了；

③鏡像電荷和原電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，在邊界處不改變?cè)瓉?lái)的場(chǎng)線(xiàn)的分布；

④系統(tǒng)總的電荷代數(shù)和要守恒；

⑤鏡像電荷一般處于與原電荷對(duì)稱(chēng)的位置，但不絕對(duì)；

⑥鏡像電荷的個(gè)數(shù)可能不唯一；

本文從三個(gè)不同的場(chǎng)景分析了鏡像電荷的位置和大小的確定方法，總的原則是從系統(tǒng)總的電荷量代數(shù)和不變出發(fā)，感應(yīng)電荷只是改變了正負(fù)電荷的分布，其總量不變。根據(jù)高斯定理，電場(chǎng)屬于有源場(chǎng)，即任意一個(gè)閉合曲面內(nèi)無(wú)點(diǎn)電荷源，則電通量為0。研究感應(yīng)電荷的分布時(shí)，這個(gè)視角可以提供一種方便的分析方法。對(duì)于非點(diǎn)電荷的情形，用微元法思想，結(jié)合積分等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行分析，電場(chǎng)力適用矢量的分解與合成，對(duì)于更加復(fù)雜的情形，分解成本文總結(jié)的三種特殊情形后，再矢量疊加即可；本文討論了一種普遍的分析方法。

像電荷等效的本質(zhì)是電場(chǎng)的疊加性，通過(guò)模擬等效電場(chǎng)，從數(shù)學(xué)意義上引入了一個(gè)位置上對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)電荷，在用像電荷替換掉球殼之后，電場(chǎng)的分布和大小并未發(fā)生變化，但像電荷相當(dāng)于把電場(chǎng)源等效為一點(diǎn)，這樣場(chǎng)的問(wèn)題就簡(jiǎn)化為了兩個(gè)點(diǎn)電荷的矢量疊加，點(diǎn)電荷適用的庫(kù)侖定律在此情景下就簡(jiǎn)便很多。

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TP319 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1009-5624（2018）02-0104-03