康達(dá)

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江溫州325003）

三種損失函數(shù)下系統(tǒng)可靠度的Bayes算法*
——以串并聯(lián)系統(tǒng)為例

康達(dá)

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江溫州325003）

損失函數(shù)是一種衡量損失和錯(cuò)誤程度的函數(shù)，將損失函數(shù)與Bayes統(tǒng)計(jì)相結(jié)合，構(gòu)建出系統(tǒng)可靠度及后驗(yàn)分布參數(shù)的三種損失函數(shù)的算法。文中選取雙邊截尾的樣本，當(dāng)參數(shù)的先驗(yàn)分布服從伽瑪分布時(shí)，以串并聯(lián)系統(tǒng)為例，推導(dǎo)三種損失函數(shù)下的系統(tǒng)可靠度及后驗(yàn)分布參數(shù)的Bayes算法。并采用Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)法隨機(jī)產(chǎn)生多組數(shù)值取均值后，計(jì)算出該三種損失函數(shù)可靠性的估計(jì)值。

串并聯(lián)系統(tǒng)；可靠度；Bayes估計(jì)；損失函數(shù)

Bayes理論方法在可靠性方面的研究比較廣泛，原因在于利用Bayes理論方法，可以大大減少在可靠性分析中試驗(yàn)的次數(shù)，這樣不但可以節(jié)省成本而且還可以加快產(chǎn)品上市的時(shí)間，深受人們的歡迎。對(duì)可靠性高、壽命長(zhǎng)的產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)時(shí)，人們通常用截尾試驗(yàn)，因?yàn)榻匚苍囼?yàn)可以減小進(jìn)入市場(chǎng)的周期，還可以節(jié)約資金降低成本。

串并聯(lián)系統(tǒng)是可靠性理論中的一個(gè)重要模型，它是由n個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)串聯(lián)而成，第i個(gè)子系統(tǒng)又由mi個(gè)獨(dú)立的元件并聯(lián)而成，如圖1所示，對(duì)于i=1,2,…,n ；j=1,2,…,mi，第 i個(gè)子系統(tǒng)的第 j個(gè)元件的可靠性為Rij(t)，于是第i個(gè)子系統(tǒng)的可靠度為， 由 文 獻(xiàn) [1]可 知 ，當(dāng)所有所有mi=m時(shí)，有

1 雙邊定數(shù)截尾試驗(yàn)

在眾多截尾試驗(yàn)中，雙邊定數(shù)截尾是用得比較廣泛的，它假定選取n個(gè)產(chǎn)品投入試驗(yàn)，規(guī)定試驗(yàn)進(jìn)行到有r(1≤r≤n)個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)終止，也即為定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，設(shè)觀測(cè)到的次序失效數(shù)據(jù)為假設(shè)前s-1個(gè)數(shù)據(jù)丟失，則此時(shí)我們觀測(cè)的次序統(tǒng)計(jì)量為1≤s≤r≤n，此截尾方法得到的樣本，即為雙邊定數(shù)截尾樣本。[2-3]

圖 1

每個(gè)試驗(yàn)的部件服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布似然函數(shù)如下：

表示如下：[4]

2 系統(tǒng)可靠度算法

2.1 SE損失函數(shù)Bayes可靠度

在 SE損失函數(shù) L(λ,δ(x))=(δ(x)-λ)2，它是一種對(duì)稱的損失函數(shù)，它的參數(shù)的估計(jì)就是其后驗(yàn)期望，由此可直接對(duì)μ和R(t)求Bayes估計(jì)。[5]

2.2 BL損失函數(shù)Bayes可靠度

BL損失函數(shù)是非對(duì)稱損失函數(shù)，在日常生活中，我們都知道高估計(jì)對(duì)低估計(jì)來(lái)講，高估計(jì)帶來(lái)的損失要大些。因此，非對(duì)稱的損失函數(shù)，逐漸受到了人們的重視，BL損失函數(shù)為L(zhǎng)(λ,δ(x))∝exp(a(δ(x)-λ))-a(δ(x)-λ)-1,a ≠0 下 λ 的Bayes估計(jì)為 λBL=-a-1ln{Eλ[exp(-aλ)]}。因此 μ 和R(t)的Bayes估計(jì)如下：

2.3 GE損失函數(shù)Bayes可靠度

因此， μ和R(t)的Bayes估計(jì)如下：

3 實(shí)驗(yàn)?zāi)M

根據(jù)具體情況，確定串并聯(lián)k和第i個(gè)子系統(tǒng)的mi的個(gè)數(shù)，給定α和λ的值確定指數(shù)分布參數(shù)μ的先驗(yàn)分布，之后根據(jù)（4）式的計(jì)算過(guò)程，通過(guò)MATLAB等軟件，求出μ的后驗(yàn)分布 f(|μ x)，利用Monte-Carlo法隨機(jī)產(chǎn)生多組 μ值取均值后，分別在SE損失函數(shù)、BL損失函數(shù)、GE損失函數(shù)的條件下進(jìn)行對(duì) μ進(jìn)行Bayes估計(jì)和R(t)的Bayes估計(jì)得到μBS， RBS(t)， μBL， RBL(t)， μBG， R(t)BG。

假設(shè)是k=2和mi=2串并聯(lián)系統(tǒng)，在不同的α和 λ下，計(jì)算出 μBS， RBS(t)， μBL， RBL(t)，μBG，R(t)BG的值如1所示。

通過(guò)上述模擬結(jié)果上來(lái)看，可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)SE損失函數(shù)、BL損失函數(shù)、GE損失函數(shù)的串并聯(lián)系統(tǒng)可靠度估計(jì)值依次升高。SE損失函數(shù)為對(duì)稱性的損失函數(shù)，其對(duì)稱性的特性與系統(tǒng)可靠度走勢(shì)吻合度不高，從數(shù)據(jù)上來(lái)看，確實(shí)效果不佳。BL損失函數(shù)、GE損失函數(shù)為非對(duì)稱的損失函數(shù)都比較合適系統(tǒng)可靠性的研究工作，從結(jié)果上來(lái)看，GE損失函數(shù)更合適串并聯(lián)系統(tǒng)。

表1 三種損失函數(shù)下Bayes估計(jì)值

4 總結(jié)

在工程上最關(guān)心的是系統(tǒng)的可靠度或耐用能力，如果可靠性的比較高，說(shuō)明該系統(tǒng)比校穩(wěn)定而且耐用。因此，系統(tǒng)的可靠度的研究是十分必要且意義重大的。串并聯(lián)系統(tǒng)是可靠性數(shù)學(xué)里一個(gè)常見的系統(tǒng)，很多網(wǎng)絡(luò)和電子產(chǎn)品都可以認(rèn)為是一個(gè)串并聯(lián)系統(tǒng)，從而利用該系統(tǒng)評(píng)定產(chǎn)品和網(wǎng)絡(luò)的可靠性。Bayes方法簡(jiǎn)便實(shí)用，而且極大地提高了已有參數(shù)估計(jì)方法的精度，在工程實(shí)際中有很大的應(yīng)用價(jià)值。Bayes理論方法在可靠性方面的研究發(fā)展比較廣范，利用Bayes理論方法，可以減小在可靠性分析中試驗(yàn)的次數(shù)，深受人們歡迎。

[1]李凌,師義民,李明海.逐步增加的II型截尾下冷貯備串聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(5):895-901.

[2]馮艷,師義民,嚴(yán)惠元.定數(shù)截尾兩參數(shù)指數(shù)——威布爾分布形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2007,37(5):37-45.

[3]師義民.雙邊截?cái)嘈头植甲鍏?shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯,2000.15A(4):475-483.

[4]李秀春,師義民,魏杰瓊.冷貯備串聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes近似置信限[J].系統(tǒng)工程,2005,23(3):101-104.

[5]康達(dá).并串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的Bayes估計(jì)及Bayes置信限[J].溫州大學(xué)學(xué)報(bào),2010,31(3):17-23.

BayesAlgorithm of System Reliability Degree under three Kinds of Loss Functions

KANG Da
(Zhejiang Industry&Trade Vocational College,Wenzhou,325003,China)

Making use of the loss function is a property of measuring loss degree and error degree.The loss function is combined with Bayes statistics,which constructs three kinds of loss functions algorithm about system reliability and posterior distribution parameters.In this paper,we select bilateral truncated samples.when the prior distribution of the parameters obeys gamma distribution,and we take series-parallel system as an example to derive system reliability degree and the posterior distribution parameter of the Bayes algorithm under three kinds of loss function.Moreover,adopting Monte Carlo experiment method to generate the mean of multiple sets of values at random,the estimate of the reliability of the three kinds of loss functions is calculated.

series-parallel system;reliability degree;Bayes statistics;loss function

O213.2

A

1672-0105(2017)03-0058-03

10.3969/j.issn.1672-0105.2017.04.013

2017-09-26

2016年度浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院第二期教師科技創(chuàng)新活動(dòng)計(jì)劃項(xiàng)目（G160211）

康達(dá)，男，碩士，浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，研究方向：系統(tǒng)可靠性。

尹清杰）