韓坤

【摘 要】運(yùn)用指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型進(jìn)行時(shí)序數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)分析時(shí)，關(guān)于指數(shù)平滑系數(shù)α最優(yōu)估計(jì)是研究者們長(zhǎng)期以來(lái)需要解決的關(guān)鍵性問(wèn)題。本文提出基于非線性最小二乘法的指數(shù)平滑系數(shù)α選取方法，其核心思想在于根據(jù)預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值之間的擬合誤差平方和最小值，利用非線性最小二乘法中具有松弛性質(zhì)的搜索算法，通過(guò)高斯-牛頓迭代程序估計(jì)最優(yōu)指數(shù)平滑系數(shù)α，使得指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型在預(yù)測(cè)過(guò)程中達(dá)到更為精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)精度。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型；平滑系數(shù)；非線性最小二乘法

中圖分類號(hào)： U461.51 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2017）26-0012-002

Based on nonlinear least-squares index smoothing coefficient alpha estimation

HAN Kun

（School of Advanced Manufacturing Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing，400065，China）

【Abstract】Using exponential smoothing prediction model to predict the time sequence data，optimal

estimation of exponential smoothing coefficient is the key problems researchers have needed to solve.In this paper，an exponential smoothing coefficient alpha selection method based on the nonlinear least squares is proposed，the core idea lies in the minimum sum of squared error between the predicted value and the measured value，using the search algorithm with relaxation property in nonlinear least square method，the optimal smoothness coefficient is determined by the Gaussian-Newton iteration procedure，the prediction accuracy of the exponential smoothing prediction model is achieved in the prediction process.

【Key words】Exponential smoothing prediction model；Smoothing coefficient；Nonlinear least square method

0 引言

Robert G.Brown[1]于1959年在《庫(kù)存管理的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)》一書中首次提出指數(shù)平滑法的概念，且將其常用于生產(chǎn)預(yù)測(cè)以及中短期經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)中。指數(shù)平滑系數(shù)α是用指數(shù)平滑法計(jì)算預(yù)測(cè)趨勢(shì)值是否符合實(shí)際的關(guān)鍵，因?yàn)槠交禂?shù)α即代表指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)變化的反映速度，又決定了預(yù)測(cè)模型修勻誤差的能力；平滑系數(shù)α的大小體現(xiàn)了各期觀察值在指數(shù)平滑值中所占的比重，權(quán)衡各期觀察值所起的不同影響作用。許多學(xué)者提出了各種對(duì)于指數(shù)平滑系數(shù)α的最優(yōu)估計(jì)方法，其原則是使預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值之間的誤差最小[3-4]；本文提出了一種新的基于非線性最小二乘法中具有松弛性質(zhì)的搜索算法確定平滑系數(shù)的最優(yōu)值。

1 一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型簡(jiǎn)述

1.1 水平型指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

設(shè)水平型時(shí)序數(shù)據(jù)實(shí)測(cè)值為y1，y2，…，yt-1，yt；按下式計(jì)算得到一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值[5]：

t+1=St（1）=αyt+（1-α）S =α（yt-S ）+S （1）

式中，yt—時(shí)間t的實(shí)測(cè)觀察值（t=1，2，…，t）

t+1—時(shí)間t+1的預(yù)測(cè)值（或擬合值）

St（1）—時(shí)間t的一次指數(shù)平滑值

α—指數(shù)平滑系數(shù)，且0<α<1

從公式（1）中可以看出，下一期預(yù)測(cè)值 t+1是根據(jù)本期預(yù)測(cè)誤差yt-S 對(duì)本期預(yù)測(cè)值S 的修正而得，α的大小決定了預(yù)測(cè)模型修正誤差的程度。

將式（1）展開[2]：

S =αyt+（1-α）[αyt-1+（1-α）S ]

=αyt+α（1-α）yt-1+（1-α）2S

=αyt+α（1-α）yt-1+…+α（1-α）t-1y1+（1-α）tS

=α∑ （1-α）jyt-j+（1-α）tS （2）

當(dāng)資料數(shù)據(jù)足夠多，t趨于無(wú)窮時(shí)，隨著t的增大（1-α）t會(huì)逐漸趨于零，從而在平滑過(guò)程中S 對(duì)S 式（2）的變形式為：

S =α∑ （1-α）jyt-j（3）

本文僅探討一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)過(guò)程中平滑系數(shù)α最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題，并且所采用的一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型要求時(shí)序數(shù)據(jù)符合平穩(wěn)序列特點(diǎn)，即水平型指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型，后續(xù)討論研究均建立在預(yù)測(cè)公式（1）的基礎(chǔ)上。

2 基于非線性最小二乘法平滑系數(shù)α問(wèn)題

本文運(yùn)用非線性最小二乘法估計(jì)平滑系數(shù)α最優(yōu)值是根據(jù)其具有松弛性質(zhì)的搜索算法，以預(yù)測(cè)值（指數(shù)平滑值）與實(shí)測(cè)值之間的擬合誤差（預(yù)測(cè)誤差）平方和最小值，確定出最優(yōu)平滑系數(shù)α。endprint

假設(shè)S0已知，則t-1期指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值St-1= t與t期實(shí)測(cè)值yt之間的擬合誤差平方和，其表示形式為：Q=∑ （yi- i）2。

設(shè)函數(shù)fi（α）=yi- i， （i=2，3，…，t）

根據(jù)公式（2）：

fi（α）=yi-Si-1=yi-[α∑ （1-α）jyi-1-j+（1-α）i-1S0]（4）

即，fi（α）是關(guān)于α的i-1次多項(xiàng)式函數(shù)，以擬合誤差平方和最小值確定平滑系數(shù)α的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成為基于函數(shù)fi（α）的非線性最小二乘問(wèn)題。

F（α）=[f1（α），f2（α），…，ft（α）]T是關(guān)于fi（α）的列向量函數(shù)；其轉(zhuǎn)化關(guān)系表示形式為：

minα∈（0，1）Q=minα∈（0，1）FT（α）F（α）（5）

由于fi（α）在α∈（0，1）上任意階可導(dǎo)，按向量導(dǎo)數(shù)的定義，向量函數(shù)F（α）可微，則F（α）的Jacobi矩陣為：

J（α）= … ┇ ？塤 ┇ …

其中，j（α）的第i列（1≤i≤n）表示形式為：

JiT（α）= ， ，…， （7）

對(duì)于Q（α）一階，二階導(dǎo)數(shù)表示形式為：

Q（ ）=JT（α）F（α）（8）

Q（ ）=JT（α）J（α）+W（α）（9）

其中W（α）是一個(gè)n×n階矩陣，其表示形式為：

W（α）=∑ fi（α）fi（ ）（10）

根據(jù)非線性最小二乘理論且具有松弛性質(zhì)的搜索算法，對(duì)公式（4）逐次使用一維高斯-牛頓迭代程序步驟如下所示：

首先，定義搜索次序?yàn)椋篿k=k（mod n），k=1，2，…；

1°確定初始近似α0

2°假設(shè)αk-1為已知，則αk可按下述高斯-牛頓迭代程序進(jìn)行計(jì)算：

αk=αk-1+ωkp

p =-[J （αk-1）TF（αk-1）/||J （αk-1）|| ]e

ik=k（mod n），k=1，2，…（11）

針對(duì)步長(zhǎng)因子ωk，其滿足：Q（αk）

3°對(duì)于某一給定精度ε>0，成立：

|Q（αk）-Q（αk-1）|<ε或maxik|J （αk）TF（αk）|<ε

則計(jì)算停止， 確定出α的最優(yōu)估計(jì)值。

3 結(jié)束語(yǔ)

首先運(yùn)用一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型針對(duì)符合平穩(wěn)序列特點(diǎn)的時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析時(shí)，本文將指數(shù)平滑法中對(duì)于平滑系數(shù)的最優(yōu)估計(jì)轉(zhuǎn)化成為一個(gè)非線性最小二乘問(wèn)題，根據(jù)其中具有松弛性質(zhì)的搜索算法，通過(guò)高斯–牛頓迭代程序得到更為精確的平滑系數(shù)，幫助實(shí)現(xiàn)最佳預(yù)測(cè)效果。

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