一、導(dǎo)引

解析函數(shù)是一類具有某種特性的可微函數(shù)，它將我們所熟悉的數(shù)學(xué)分析中的一些內(nèi)容推廣到復(fù)數(shù)域上并研究其性質(zhì)。本文通過搜集材料，系統(tǒng)總結(jié)了解析函數(shù)的幾個主要性質(zhì)：解析函數(shù)的唯一性、零點(diǎn)的孤立性、零點(diǎn)的分布問題、解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)、解析變換的特征及解析函數(shù)、共軛解析函數(shù)和復(fù)調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系，并通過舉例進(jìn)行了深入、詳細(xì)的分析。

二、預(yù)備知識

1.定義 如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)是可微的，則稱 為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)的充要條件有多種形式，最常見的有以下幾種。

2.定理 函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件：

A（1）二元函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)可微；

（2） 在D內(nèi)滿足 方程。

B（3） 在D內(nèi)連續(xù)；

（4） 在D內(nèi)滿足 方程。

C 在D內(nèi)任意一點(diǎn) 的鄰域內(nèi)可以展成 的冪級數(shù)，也就是泰勒級數(shù)。

D C為D內(nèi)任意一條周線，則 。

三、解析函數(shù)的主要性質(zhì)

1.解析函數(shù)的唯一性

定理 （解析函數(shù)的唯一性）如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)解析， 是D內(nèi)彼此不同的點(diǎn)，并且點(diǎn)列 的極限點(diǎn) ，若有 ，則在D內(nèi)必有 。

根據(jù)定理我們可得到以下結(jié)論：

推論1 如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)解析，且在區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)的鄰域內(nèi)有 ，則在D內(nèi)必有 。

推論2 如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)解析，且在區(qū)域D內(nèi)某一曲線上有 ，則在內(nèi)必有 。

2.解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性

定理 如果在 內(nèi)的解析函數(shù) 不恒為零， 是 的一個零點(diǎn)，則必存在 的一個鄰域使得 在其中無其他零點(diǎn)。（即：不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)具有孤立性）

此性質(zhì)是解析函數(shù)的特殊性質(zhì)，實(shí)函數(shù)不具有此性質(zhì)。

3. 解析函數(shù)零點(diǎn)的分布問題

解析函數(shù)的零點(diǎn)的分布問題是復(fù)變函數(shù)論中的一個重要問題，一下就復(fù)多項(xiàng)式 的零點(diǎn)可以全部分布在一個指定的區(qū)域內(nèi)這個問題進(jìn)行討論。

定理1若復(fù)平面上多項(xiàng)式 在虛軸上無零點(diǎn)，則它的零點(diǎn)全分布在右半平面上的充要條件為 。

定理2若復(fù)平面上多項(xiàng)式 在實(shí)軸上無零點(diǎn)，則它的零點(diǎn)全分布在上半平面

的充要條件為 。

四、解析變換的特性

解析函數(shù)的特性是從幾何的角度對解析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行討論。

1.解析變換的保域性

定理1 （保域定理）如果 在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù)，則D的像 也是一個區(qū)域。

由保域定理可得以下定理：

定理2 如果函數(shù) 在點(diǎn) 解析，并且 ，則可得 在 的一個鄰域內(nèi)單葉解析。

2.解析變換的保角性導(dǎo)數(shù)的幾何意義

為了引出保角定理，先給出導(dǎo)數(shù)及其模的幾何意義。

像曲線在點(diǎn) 的切線方向，可由原曲線在點(diǎn) 的切線正向旋轉(zhuǎn)一個角 得出， 只與 有關(guān)，與過 的曲線C的選擇無關(guān)，稱為變換

在點(diǎn) 的旋轉(zhuǎn)角。這就是導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義。

由 可知，像點(diǎn)間的無窮小距離與原像點(diǎn)間的無窮小距離之比的極限是R，它僅與 有關(guān)，與過

的曲線C的方向無關(guān)，稱為變換 在點(diǎn) 的伸縮率。也就是導(dǎo)數(shù)模的幾何意義。

定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)解析， ，在點(diǎn) 有 。則函數(shù) 在點(diǎn) 處具有保角性。

綜上可得：解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的地方具有旋轉(zhuǎn)角不變性和伸縮率不變性。

3.單葉解析變換的共形性

定義 如果 在區(qū)域D內(nèi)是單頁且保角的，就稱此變換 在D內(nèi)是共形的，也稱它為D內(nèi)的共形映射。

注：解析變換 在解析點(diǎn) 如果有 （由

在 的連續(xù)性，必在 的鄰域內(nèi) ），所以 在點(diǎn) 保角，從而在 的鄰域內(nèi)共形；在區(qū)域D內(nèi)

共形，必然在D內(nèi)處處共形。但反過來不一定真。

定理1 設(shè) 在區(qū)域D內(nèi)單葉解析則

（1） 將D共形映射成區(qū)域 。

（2）反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉解析且

注：定理1的逆也真，即“若 將區(qū)域D共形映射成區(qū)域G，則 在D內(nèi)單葉解析”。

共形映射理論的基本任務(wù)是，給定一個區(qū)域D及另一個區(qū)域G，要求找出將D共形映射成G的函數(shù)

以及唯一性條件。

顯然，兩個共形映射的復(fù)合仍然是一個共形映射。具體地說，若將區(qū)域D共形映射成區(qū)域E，而 將共形映射成區(qū)域G，則 將區(qū)域D共形映射成區(qū)域G，利用這一事實(shí)，可以復(fù)合若干基本的共形映射而構(gòu)成較為復(fù)雜的共形映射。此處不作深入討論。

通過以上的歸納總結(jié)，我們知道了解析函數(shù)的幾個主要性質(zhì)，希望從本文的學(xué)習(xí)中有所收獲，為學(xué)習(xí)其他知識奠定良好的基礎(chǔ)。

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（作者單位：臨汾市鄉(xiāng)寧縣第三中學(xué)）