李 暢， 李 欣， 聶 宏

(遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

控制器失效下時(shí)滯系統(tǒng)L∞可靠控制器設(shè)計(jì)

李 暢， 李 欣， 聶 宏

(遼寧石油化工大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

研究一類(lèi)控制器失效下時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒L∞可靠控制問(wèn)題?；谇袚Q的思想，將控制器可能發(fā)生失效的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為含有兩個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)，其中一個(gè)子系統(tǒng)是控制器未發(fā)生失效時(shí)穩(wěn)定的子系統(tǒng)，另一個(gè)是控制器發(fā)生失效時(shí)不穩(wěn)定的子系統(tǒng)。利用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時(shí)間方法，得到線性矩陣不等式(LMI)表出的系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定且具有L∞性能的條件及相應(yīng)的L∞可靠切換控制器的設(shè)計(jì)方案，最后通過(guò)仿真驗(yàn)證方案的有效性。

時(shí)滯系統(tǒng)； 控制器失效； 多Lyapunov函數(shù)； 指數(shù)鎮(zhèn)定；L∞可靠控制

在控制理論中，當(dāng)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)變化與系統(tǒng)當(dāng)前及過(guò)去狀態(tài)都相關(guān)時(shí)，系統(tǒng)被稱(chēng)為時(shí)滯系統(tǒng)。時(shí)滯的存在經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能衰減,甚至造成系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，近年來(lái)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題得到了廣泛關(guān)注[1-3]。其中,文獻(xiàn)[1]研究了不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)控制問(wèn)題,給出了控制器的設(shè)計(jì)方案；文獻(xiàn)[2]對(duì)執(zhí)行器失效下一類(lèi)不確定時(shí)變時(shí)滯離散切換系統(tǒng)的可靠控制問(wèn)題進(jìn)行了討論,給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件及可靠控制器的設(shè)計(jì)方案；文獻(xiàn)[3]研究了一類(lèi)切換系統(tǒng)在異步狀態(tài)時(shí)滯反饋控制器作用下的指數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題，給出了滿(mǎn)足平均駐留時(shí)間指數(shù)鎮(zhèn)定的條件。

在實(shí)際的工業(yè)過(guò)程中，控制器失效是普遍存在的。文獻(xiàn)[4]指出，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是由于系統(tǒng)和控制器之間的信號(hào)不能完美地傳輸，或出于經(jīng)濟(jì)效益的考慮需要控制器不時(shí)地發(fā)生中斷等。一直以來(lái)，控制器失效問(wèn)題是控制界研究的熱點(diǎn)，尤其是執(zhí)行器部分失效的開(kāi)關(guān)型故障模型[5-6]。近年來(lái)，一類(lèi)控制器存在短暫失效的故障問(wèn)題也得到了重視。這里的失效指的是控制器的暫時(shí)性的完全失效，且經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后可恢復(fù)正常工作[7-8]。通過(guò)使用多Lyapunov方法，文獻(xiàn)[7]對(duì)一類(lèi)帶有控制器失效的系統(tǒng)進(jìn)行了H∞性能分析,文獻(xiàn)[8]研究了控制器發(fā)生失效下時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，并給出了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

為了提高系統(tǒng)的性能，L∞魯棒可靠控制器引起了人們極大的興趣，并取得了許多研究成果[9-10]。其中，文獻(xiàn)[9]研究了不確定非線性時(shí)滯切換系統(tǒng)的L∞可靠控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[10]利用平均駐留時(shí)間方法，給出不確定非線性系統(tǒng)魯棒L∞可靠控制器設(shè)計(jì)方案。但到目前為止，對(duì)于控制器失效下時(shí)滯系統(tǒng)的L∞可靠控制問(wèn)題卻鮮有報(bào)道。

本文研究控制器失效下時(shí)滯系統(tǒng)的L∞可靠控制問(wèn)題。首先，基于切換的思想，將帶有控制器失效故障的時(shí)滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)。然后，使用多Lyapunov函數(shù)及平均駐留時(shí)間方法，給出了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定且具有L∞性能的充分條件，并通過(guò)求解線性矩陣不等式(LMI)給出了狀態(tài)反饋L∞控制器的設(shè)計(jì)方案。本文將文獻(xiàn)[8]的方法運(yùn)用到帶有非線性項(xiàng)及擾動(dòng)的系統(tǒng)，還給出了系統(tǒng)具有加權(quán)L∞增益的分析，這是以往研究控制器失效問(wèn)題的相關(guān)文獻(xiàn)中沒(méi)有涉及的。最后，運(yùn)用數(shù)值仿真驗(yàn)證了獲得結(jié)果的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮如下一類(lèi)時(shí)滯非線性系統(tǒng)：

(1)

式中，x(t)∈Rn為狀態(tài)；u(t)∈Rm為控制輸出；ω(t)∈Rq為屬于L∞的外部擾動(dòng)輸入；τ為時(shí)滯常數(shù)且τ>0；A、Ad、B、D、G為具有適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣，f(t,x(t))為非線性項(xiàng)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系：

‖f(t,x(t))‖≤‖Lx(t)‖

(2)

式中，L為已知常值矩陣。

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器為：

u(t)=Kx(t)

(3)

式中，K為控制器增益矩陣。

考慮到控制器可能存在失效的情形[u(t)=0]，在狀態(tài)反饋控制器(3)(即式(3))的作用下，系統(tǒng)(1)(即式(1))的閉環(huán)系統(tǒng)可視為1個(gè)含有2個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)：

(4)

式中，σ(t):[0,+∞)→1,2為切換信號(hào)，它是1個(gè)關(guān)于時(shí)間t的分段常值函數(shù)，σ(t)=i表示在t時(shí)刻第i個(gè)子系統(tǒng)處于被激活狀態(tài)，i=1,2 表示系統(tǒng)(4)含有2個(gè)子系統(tǒng)；A1=A+BK，A2=A，系統(tǒng)(4)子系統(tǒng)1表示控制器正常工作，系統(tǒng)(4)子系統(tǒng)2表示控制器完全失效。

本文旨在設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的且滿(mǎn)足L∞性能指標(biāo)。為了后續(xù)論述的需要，給出了如下定義。

定義1[11]如果存在常數(shù)κ>0，λ>0使系統(tǒng)的任意解滿(mǎn)足：

‖x(t)‖≤κ‖x(t0)‖ce-λ(t-t0)

(5)

式中，‖x(t0)‖c=sup-τ≤θ≤0‖x(t+θ)‖；e-λ為衰減率。

則稱(chēng)系統(tǒng)(4)在切換信號(hào)σ(t)下是指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2[12]對(duì)任意切換信號(hào)σ(t)，以及t2>t1>0，Nσ(t1,t2)表示在時(shí)間段(t1,t2)上的切換次數(shù)。如果存在N0≥0，τa>0，可得：

(6)

式中，τa為平均駐留時(shí)間；N0為抖振界，N0=0。

定義3[10]對(duì)于給定的正常數(shù)γ>0，對(duì)具有控制器故障的系統(tǒng)(1)，如果在零初始條件下，即x(t)=0，t∈[-τ,0]有：

‖x(t)‖∞≤γ‖ω(t)‖∞，?ω(t)∈L∞

(7)

則稱(chēng)系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足L∞性能水平γ。

定義4 在時(shí)間段t0,t，令T-(t0,t)、T+(t0,t)分別表示控制器未發(fā)生失效的總時(shí)間、控制器發(fā)生失效的總時(shí)間，Ni(t0,t)表示切換到第i個(gè)子系統(tǒng)的次數(shù)，i∈1,2。

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于給定的常數(shù)α>0，β>0，γ>0，如果存在正定矩陣P1、P2、W1、W2，使：

(8)

(9)

成立，則對(duì)任意0<ε<ε*<α(式中，I為單位陣；*為相應(yīng)元素的轉(zhuǎn)置)，系統(tǒng)(4)對(duì)駐留時(shí)間滿(mǎn)足：

(10)

(11)

式中，θ=μe(α+β)τ；μ>1。

對(duì)于任意切換信號(hào)都是指數(shù)穩(wěn)定且滿(mǎn)足L∞指標(biāo)：

(12)

Pi≤μPj，Wi≤μWj，i,j∈1,2

(13)

且系統(tǒng)(4)的狀態(tài)估計(jì)滿(mǎn)足。

(14)

可得：

(15)

證明：不失一般性,假設(shè)當(dāng)t∈[t2k,t2k+1)時(shí)，控制器未發(fā)生失效，即系統(tǒng)(4)的第1個(gè)子系統(tǒng)被激活，選取Lyapunov泛函：

(16)

式中，P1、W1為待設(shè)計(jì)的正定矩陣。

沿系統(tǒng)(4)第1個(gè)子系統(tǒng)的軌跡求導(dǎo)可得：

xT(t)W1x(t)-xT(t-τ)e-ατW1x(t-τ)。

由式(2)可得：

=2xT(t)P1A1x(t)+Adx(t-τ)+Dω(t)+Gf(t,x(t))+xT(t)W1x(t)-xT(t-τ)e-ατW1x(t-τ)-γ2ωT(t)ω(t)+αxT(t)P1x(t)-fT(t,x(t))f(t,x(t))+xT(t)LTLx(t)

≤ξT(t)Π1ξ(t)。

ξ(t)=xT(t),xT(t-τ),ωT(t),fT(t,x(t))T。

根據(jù)式(8)可得Π1<0。因此，

(17)

且當(dāng)ω(t)=0時(shí)，可得：

(18)

從而：

V1(t)≤e-α(t-t0)V1(t0)

(19)

當(dāng)t∈[t2k+1,t2k+2)時(shí)控制器發(fā)生失效，即系統(tǒng)(4)的第2個(gè)子系統(tǒng)被激活，選取Lyapunov泛函：

(20)

式中，P2、W2為待設(shè)計(jì)的正定矩陣。

同理可證：

根據(jù)式(9)可得Π2<0。因此，

(21)

且當(dāng)ω(t)=0時(shí)，可得：

(22)

從而：

(23)

由式(13)、式(16)和式(20)可得：

V1(t)≤μV2(t)，V2(t)≤θV1(t)

(24)

式中，θ=μe(α+β)τ。

進(jìn)而根據(jù)式(10)和式(11)，可得：

(25)

由式(15)、式(16)和式(20)可得：

a‖x(t)‖2≤V(t)，V(t0)≤b‖x(t0)‖2

(26)

根據(jù)式(25)和式(26)可得：

根據(jù)定義1可知系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的。

下面證明系統(tǒng)(1)滿(mǎn)足L∞性能指標(biāo)。由穩(wěn)定性證明可得：

(27)

在零初始條件下有：

根據(jù)式(7)、式(10)和式(11)，當(dāng)滿(mǎn)足0<ε<ε*<α?xí)r有：

(28)

由式(28)可推出：

(29)

由于定理1給出的矩陣不等式不便于求解，下面將定理1中的矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式。

定理2 對(duì)于給定的常數(shù)α>0、β>0、γ>0，如果存在正定矩陣P1、P2、W1、W2，使得：

(30)

(31)

成立。那么對(duì)任意0<ε<ε*<α，系統(tǒng)(4)對(duì)駐留時(shí)間滿(mǎn)足：

(32)

(33)

的任意切換信號(hào)都是指數(shù)穩(wěn)定的且滿(mǎn)足L∞指標(biāo)。

(34)

(35)

且系統(tǒng)(4)的狀態(tài)估計(jì)滿(mǎn)足：

(36)

這里，

(37)

3 仿 真

考慮具有如下參數(shù)的時(shí)滯系統(tǒng)(1)，參數(shù)為：

圖1 u(t)=0時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡

滿(mǎn)足式(32)和式(33)切換信號(hào)(見(jiàn)圖2)。切換系統(tǒng)(1)在具有暫時(shí)性失效的狀態(tài)反饋控制器(3)作用下的狀態(tài)軌跡(見(jiàn)圖3)。從圖3可以看出，系統(tǒng)在本文所設(shè)計(jì)的控制器下是穩(wěn)定的。

圖2 切換信號(hào)

圖3 控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡

4 結(jié) 論

針對(duì)一類(lèi)帶有時(shí)滯的不確定非線性系統(tǒng)，考慮控制器失效下的魯棒L∞可靠控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題?；谖墨I(xiàn)[8]對(duì)具有多Lyapunov函數(shù)和線性確定項(xiàng)和擾動(dòng)的系統(tǒng)進(jìn)行了討論，利用矩陣不等式的可解性給出系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，同時(shí)給出L∞可靠控制器的設(shè)計(jì)方案，結(jié)果表明所給方案的有效性。

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Design ofL∞Reliable Controller for Delayed Systems with Controller Failure

Li Chang， Li Xin， Nie Hong

(SchoolofSciences，LiaoningShihuaUniversity，F(xiàn)ushunLiaoning113001，China)

The problem of robustL∞r(nóng)eliable control for a class of time-delay systems with controller failures is investigated. Based on the idea of switching, the system with possible failure of the controller is transformed into a switching system with two subsystems, one of which is a stable subsystem without controller failure and the other is unstable in the event of controller failure subsystem. By using the multiple Lyapunov function theory and the average dwell-time method, the exponential stabilization andL∞performance of LMI are obtained, and the design scheme of theL∞r(nóng)eliable switching controller is obtained. Finally, the effectiveness of the scheme is verified by simulation.

Time-delay systems； Controller failure； Multiple Lyapunov function； Exponential stabilization；L∞r(nóng)eliable control

2017-09-07

2017-10-10

國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目(201610148059)。

李暢(1995-)，女，本科生，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，從事網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的容錯(cuò)控制研究；E-mail：1690370210@qq.com。

聶宏(1965-)，女，博士，教授，從事切換系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)的混雜控制、模糊系統(tǒng)混雜自適應(yīng)控制等研究；E-mail：hongnie_001@163.com。

1672-6952(2017)06-0060-07

投稿網(wǎng)址：http://journal.lnpu.edu.cn

TP273

A

10.3969/j.issn.1672-6952.2017.06.013

(編輯 陳 雷)